কোন সমস্যা বা গেমটি ভেরিয়েন্স এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি অনুকূল সমাধানগুলির জন্য?

Question

প্রদত্ত এলোমেলো পরিবর্তনশীল (বা একটি জনসংখ্যা, বা একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া) জন্য, গাণিতিক প্রত্যাশা একটি প্রশ্নের উত্তর যা কোন পূর্বাভাস প্রত্যাশিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষয়কে হ্রাস করে? । এছাড়াও, এটি কোনও গেমের সর্বোত্তম সমাধান যা এলোমেলো পরিবর্তনশীল (বা একটি জনসংখ্যার নতুন অঙ্কন) পরবর্তী অনুধাবন অনুমান করে এবং মান এবং আপনার অনুমানের মধ্যে বর্গক্ষেত্র দূরত্বের দ্বারা আমি আপনাকে শাস্তি দেব যদি আপনার শর্তে রৈখিক ব্যর্থতা থাকে শাস্তি। মিডিয়ান হ'ল পরম ক্ষতির অধীনে সম্পর্কিত প্রশ্নের উত্তর এবং মোড "সমস্ত বা কিছুই নয়" ক্ষতির অধীনে উত্তর।

প্রশ্ন: ভেরিয়েন্স এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি কি কোনও অনুরূপ প্রশ্নের উত্তর দেয়? তারা কি?

এই প্রবণতাটির প্রেরণা কেন্দ্রীয় প্রবণতা এবং প্রসারের প্রাথমিক ব্যবস্থা শেখানো থেকে শুরু করে ste উপরোক্ত সিদ্ধান্ত-তাত্ত্বিক সমস্যার মাধ্যমে কেন্দ্রীয় প্রবণতার পদক্ষেপগুলি উদ্বুদ্ধ করা যেতে পারে, আমি আশ্চর্য হয়েছি যে কেউ কীভাবে ছড়িয়ে পড়ার ব্যবস্থা গ্রহণ করতে পারে motiv

Comments

খুব মজার প্রশ্ন। আমার প্রাথমিক দৃষ্টিভঙ্গিটি হ'ল "গেম" গুণগতভাবে আপনি ইতিমধ্যে বর্ণিত হিসাবে একই, প্রশ্নটি প্রত্যাশা করে (কোন পাং উদ্দেশ্যে নয়) উত্তরটি একটি বিন্দুর পরিবর্তে মানগুলির বিস্তৃতি সম্পর্কে হতে পারে , যেহেতু বিন্দু ছাড়াই ছড়িয়ে পড়ে তথ্যসূত্র বরং অসম্পূর্ণ (অর্থহীন না হলে) তথ্য।

— এমিল

নোট করুন যে বৈকল্পিকতা নিজেই একটি প্রত্যাশা - যদি তবে । $Y=(X-\mu)^2$$\text{Var}(X)=E(Y)$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেেন_বি, আপনি ঠিক বলেছেন, এবং আমি এটি পেয়েছি (আমার প্রশ্নের উত্তরটিতে এটি অন্তর্ভুক্ত করা উচিত ছিল)। "পরবর্তী মান এবং প্রত্যাশার মধ্যে পার্থক্যটি অনুমান করুন এবং আমি আপনাকে চতুর্ভুজ শাস্তি দেব" গেমটি হবে। সেখানে কি সেরা? আইএমএইচও, খুব ব্যবহারিক বা খুব মজাদার কোনও খেলা শোনায় না।

— রিচার্ড হার্ডি

Answer 1

যদি আমি প্রশ্নটি উদ্দেশ্য হিসাবে বুঝতে পেরেছি তবে আপনার মনে একটি সেটিংস রয়েছে যাতে আপনি কোনও বণ্টন (সীমাবদ্ধ iance ) সহ কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবল স্বাধীন উপলব্ধি অর্জন করতে পারেন । "গেম" বর্ণনা করার জন্য এবং ফাংশন দ্বারা নির্ধারিত হয় । এটি নিম্নলিখিত পদক্ষেপ এবং বিধি দ্বারা গঠিত:$X$$F$$\sigma^2(F)$$h$$\mathcal L$

1. আপনার প্রতিপক্ষ ("প্রকৃতি") প্রকাশ করে$F.$

2. প্রতিক্রিয়া হিসাবে আপনি একটি আপনার "পূর্বাভাস"।$t(F),$

গেমের ফলাফলটি মূল্যায়নের জন্য, নিম্নলিখিত গণনাগুলি সম্পাদন করা হয়:

• আইড পর্যবেক্ষণগুলির একটি নমুনা থেকে আঁকা$n$$\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$$F.$

• একটি পূর্বনির্ধারিত ফাংশন নমুনায় প্রয়োগ করা হয়, একটি সংখ্যা "পরিসংখ্যান"।$h$$h(\mathbf{X}),$

• "ক্ষতির ফাংশন" আপনার "ভবিষ্যদ্বাণী" সাথে পরিসংখ্যান সাথে তুলনা করে একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা তৈরি করে$\mathcal{L}$$t(F)$$h(\mathbf{X}),$$\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$

• গেমের ফলাফলটি প্রত্যাশিত ক্ষতির (বা "ঝুঁকি")

  $$R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$$

আপনার উদ্দেশ্য হ'ল ঝুঁকি হ্রাসকারী কিছু নির্দিষ্ট করে প্রকৃতির পদক্ষেপে সাড়া দেওয়া ।$t$

উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন গেমে এবং ফর্ম কোন ক্ষতি কিছু ধনাত্মক সংখ্যা জন্য আপনার অনুকূল পদক্ষেপ বাছাই প্রত্যাশা হতে$h(X_1)=X_1$$\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$$\lambda,$$t(F)$$F.$

আমাদের সামনে প্রশ্নটি হ'ল

এবং অস্তিত্ব রয়েছে যার জন্য কে বৈকল্পিক ?$\mathcal{L}$$h$$t(F)$$\sigma^2(F)$

এটি প্রত্যাশা হিসাবে বৈকল্পিকতা প্রদর্শন করে সহজেই উত্তর দেওয়া হয়। একটি উপায় হ'ল এবং চতুর্ভুজ ক্ষতি loss ব্যবহার অবিরত তা পর্যবেক্ষণ করার পরে

$$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$$ $$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$$

$$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$$

উদাহরণটি আমাদের এই সিদ্ধান্ত নিতে পারে যে এই এবং এই সম্পর্কে প্রশ্নের উত্তর দেয় answer$h$$\mathcal L$

---

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সম্পর্কে কী ? আবার, আমাদের কেবলমাত্র নমুনার পরিসংখ্যানের প্রত্যাশা হিসাবে এটি প্রদর্শন করা দরকার। যাইহোক, সম্ভব না যে কারণ এমনকি যখন আমরা সীমিত বের্নুলির পরিবারকে ডিস্ট্রিবিউশন আমরা কেবল এর বহুপদী ফাংশন পক্ষপাতিত্বহীন estimators পেতে পারেন কিন্তু ডোমেনে কোনও বহুপদী ফাংশন নয় (দেখুন দ্বিপদ বিন্যাস জন্য কেন কোন নিরপেক্ষ মূল্নির্ধারক থাকবেই জন্য করে ? বাইনমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন সম্পর্কে সাধারণ যুক্তি, যা এই প্রশ্নটিকে গড় পর কমে যাবে জন্য$\sigma(F)$$F$$(p)$$p,$$\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$$p\in (0,1).$$1/p$$h$ এর সমস্ত অনুমতি)$X_i.$

Comments

আমার প্রশ্নের স্পষ্ট উক্তি এবং সমানভাবে সুস্পষ্ট উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আপনি কি উদাহরণ পাবেন যা কেবলমাত্র দুটি নয়, সমস্ত নমুনা পয়েন্টের উপর নির্ভর করে ? $h$$n$

— রিচার্ড হার্ডি

থেকে যাওয়ার জন্য একটি স্ট্যান্ডার্ড উপায় রয়েছে : সমস্ত জোড় এবং গড়ের জন্য পরিসংখ্যান গণনা করুন। প্রকৃতপক্ষে, এটি stats.stackexchange.com/a/18200/919 এ আমার ovক্যবদ্ধতার বৈশিষ্ট্য তৈরি করে । এর আনুষ্ঠানিক তত্ত্বের জন্য, ইউ পরিসংখ্যান সম্পর্কে পড়ুন । $2$$n$

— whuber

আপনাকে অনেক ধন্যবাদ!

— রিচার্ড হার্ডি