হাইপার-এলিপসয়েড (ধ্রুবত মহালানোবিস দূরত্ব) এর পৃষ্ঠ থেকে কীভাবে অভিন্ন নমুনা করবেন?

Question

একটি সত্যিকারের মূল্যবান মাল্টিভারিয়েট ক্ষেত্রে, যেখানে মহলানোবিসের দূরত্বটি মাঝের দিক থেকে স্থির থাকে সেখানে পৃষ্ঠ থেকে সমান পয়েন্টগুলি নমুনার উপায় আছে কি?

সম্পাদনা: এটি কেবল হাইপার-এলিপসয়েডের পৃষ্ঠ থেকে সমানভাবে নমুনা পয়েন্টগুলিতে ফোটায় যা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে,

$$(x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu) = d^2.$$

, আরও ভালো "অবিশেষে" দ্বারা হওয়ার উদ্দেশ্যে আমি নমুনা যেমন প্রতিটি এলাকায় উপাদান মানে $dA$ হাইপার-পৃষ্ঠের একই সম্ভাব্যতা ভর ধারণ করে।

Comments

সঠিক আমাকে যদি আমি ভুল: আপনি জিজ্ঞাসা করা হয় "একটি দৈব চলক দেওয়া , কিভাবে আমি অবিশেষে পয়েন্ট যে একটি প্রদত্ত মহলানবিশ দূরত্ব থেকে নমুনা পারেন গ থেকে দূরে ই [ এক্স ] ?" $X$$c$$\mathbb{E}[X]$

— কেভিন লি

আমি মনে করি আমাদের "অভিন্নভাবে" একটি উপযুক্ত সংজ্ঞা প্রয়োজন হবে। কারণটি হ'ল দুটি মাত্রায়, পয়েন্টগুলির এই সেটটি কিছুটা উপবৃত্তাকার বরাবর অবস্থিত। কেউ কি সেই উপবৃত্ত থেকে এমনভাবে নমুনা দেওয়ার কথা বলে যে সমান দৈর্ঘ্যের সমান সম্ভাবনা থাকে, বা সমান কোণগুলির সমান সম্ভাবনা থাকে, বা যখন ভেরিয়েবলগুলি মানক করা হয় তখন সমান দৈর্ঘ্যের সমান সম্ভাবনা থাকে, বা অন্য কোনও উপায়ে? যদি আপনি এই নমুনাটি অর্জনের লক্ষ্য কী তা ব্যাখ্যা করতে পারেন তবে এটি আমাদের জিজ্ঞাসা করার চেষ্টা করছেন তা জানতে আমাদের যথেষ্ট তথ্য দিতে পারে।

— হোবার

আমি বুঝতে পারি যে গোলকের পৃষ্ঠ থেকে সমানভাবে নমুনা দেওয়া এবং তারপরে এটিকে এলিপসয়েডে ম্যাপিং করা উপবৃত্তাকারে অভিন্ন নমুনা দেয় না। সুতরাং আমার একটি পদ্ধতি প্রয়োজন যা উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ থেকে সমানভাবে নমুনা তৈরি করে।

— sachin vernekar

হাইপার-পৃষ্ঠের প্রতিটি অঞ্চল উপাদান ডিএতে একই সম্ভাবনা ভর রয়েছে এমন অর্থে আপনি কি একটি উপবৃত্তের পৃষ্ঠের উপর নমুনা ইউনিফর্ম রাখতে চান?

— Sextus Empiricus

কেন, আপনি কোথায় এবং কোথায় এই ইউনিফর্ম নমুনা প্রয়োগ করতে যাচ্ছেন? এই জাতীয় তথ্য সেরা / পর্যাপ্ত কৌশল নিয়ে আসতে সহায়তা করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যখন বিভিন্ন উপবৃত্তাকার অক্ষগুলি খুব আলাদা না হয় তবে আপনি (1) একটি গোলকের উপর নমুনা ব্যবহার করে প্রত্যাখ্যানের নমুনা ব্যবহার করতে পারেন, (২) এটিকে একটি উপবৃত্তাকারে ছড়িয়ে দিয়ে, (3) পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে যে হারটি ছেঁটেছিল তার গণনা করুন (4) সেই হারের বিপরীত অনুসারে নমুনাগুলি প্রত্যাখ্যান করুন।

— Sextus এম্পিরিকাস

Answer 1

যখন বিভিন্ন উপবৃত্তাকার অক্ষগুলি খুব বেশি আলাদা না হয় তবে প্রত্যাখ্যানের নমুনা ব্যবহার করা সম্ভব (বড় পার্থক্যের সাথে আপনি এটিকে অনেকটা প্রত্যাখ্যানযোগ্য করে তুলুন)

• (1) হাইপার-গোলকের নমুনা
• (২) এটিকে হাইপার-এলিপসয়েডে আটকানো
• (3) উপরিভাগের ক্ষেত্রফলকে হ্রাস করা হারের গণনা করুন
• (4) সেই হার অনুসারে নমুনা প্রত্যাখ্যান করুন।

2D উদাহরণ

set.seed(1)
#some matrix to transform n-sphere (in this case 2x2)
m <- matrix(c(1, 0.55, 0.55, 0.55), 2)

# sample multinomial with identity covariance matrix
x <- cbind(rnorm(3000, 0, 1), rnorm(3000, 0, 1))
l1 <- sqrt(x[,1]^2 + x[,2]^2)

# perpendicular vector
per <- cbind(x[,2], -x[,1])

# transform x
x <- x %*% m
# transform perpendicular vector (to see how the area transforms)
per2 <- per %*% m

# get onto unit-"sphere"/ellipsoid
x <- x/l1

# this is how the area contracted
contract <- sqrt(per2[,1]^2 + per2[,2]^2) / sqrt(per[,1]^2 + per[,2]^2)

# then this is how we should choose to reject samples 
p <- contract/max(contract)

# rejecting
choose <- which( rbinom(n=length(p), size=1, p=p) == 1)

#plotting
plot(x[1:length(choose), 1], x[1:length(choose), 2],
     xlim=c(-1.2, 1.2), ylim=c(-1.2, 1.2),
     xlab = expression(x[1]), ylab = expression(x[2]),
     bg=rgb(0, 0, 0, 0.01), cex=0.6, pch=21, col=rgb(0, 0, 0, 0.01))
title("squeezed uniform circle \n ")

#plotting
plot(x[choose,1], x[choose,2],
     xlim=c(-1.2, 1.2), ylim=c(-1.2, 1.2),
     xlab = expression(x[1]), ylab = expression(x[2]),
     bg=rgb(0, 0, 0, 0.01), cex=0.6, pch=21, col=rgb(0, 0, 0, 0.01))
title("squeezed uniform circle \n  with rejection sampling")