সর্বাধিক আইড গাউসিয়ানদের সম্পর্কে সবচেয়ে শক্তিশালী ফলাফল কী? অনুশীলনে সর্বাধিক ব্যবহৃত হয়?

দেওয়া iid, এলোমেলো ভেরিয়েবল বিবেচনা করুন $X_1, \ldots, X_n, \ldots \sim \mathscr{N}(0,1)$

Z_{n} := max_{1 \leq i \leq n} X_{i} .

$Z_n := \max_{1 \le i \le n} X_i\,.$

প্রশ্ন: এই র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্পর্কে সর্বাধিক "গুরুত্বপূর্ণ" ফলাফল কী?

"গুরুত্ব" স্পষ্ট করার জন্য, কোন ফলাফলটি যুক্তিসঙ্গত ফলাফল হিসাবে সর্বাধিক অন্যান্য ফলাফল রয়েছে? অনুশীলনের ক্ষেত্রে প্রায়শই কোন ফলাফল ব্যবহার হয়?

আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এটি (তাত্ত্বিক) পরিসংখ্যানবিদদের মধ্যে লোককথার জ্ঞান বলে মনে হয় যে $Z_n$ "মূলত" $\sqrt{2 \log n}$ as এর মতো , কমপক্ষে অ্যাসিপোটোটিকভাবে। ( এই সম্পর্কিত প্রশ্ন দেখুন ।)

তবে, এই ধরণের সম্পর্কিত অনেকগুলি ফলাফল রয়েছে এবং এটি মনে হয় যে সর্বাধিক সমতুল্য নয়, একে অপরকে বোঝানোও নয়। উদাহরণস্বরূপ $^*$ ,

\begin{matrix} (1) & \frac{Z_{n}}{\sqrt{2 \log n}} \overset{a . s .}{\to} 1, \end{matrix}

$\frac{Z_n}{\sqrt{2 \log n}} \overset{a.s.}{\to} 1 \,, \tag{1}$

যা অন্য কোনও কিছুই যদি সম্ভাব্যতা এবং বিতরণ সম্পর্কিত ফলাফলকে বোঝায় না।

তবে এটি এমনকি আপাতদৃষ্টিতে সম্পর্কিত ফলাফলগুলি বোঝায় না (যেমন এই অন্যান্য প্রশ্ন দেখুন ), যেমন

\begin{matrix} (2) & lim_{n \to \infty} \frac{E Z_{n}}{\sqrt{2 \log n}} = 1, \end{matrix}

$\lim_{n \to \infty} \frac{\mathbb{E}Z_n}{\sqrt{2 \log n}} =1 \,, \tag{2}$

(এটি 49 on পৃষ্ঠায় অনুশীলন 2.17 ) বা অন্য কোনও লোককাহিনীর ফলাফল : $\dagger$

\begin{matrix} (3) & E Z_{n} = \sqrt{2 \log n} + Θ (1) . \end{matrix}

$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + \Theta(1) \,. \tag{3}$

অ-অসম্প্রদায়িকভাবে, এটি আরও জানা যায় যে প্রতিটি ( প্রমাণের জন্য এখানে দেখুন ), $n$

\begin{matrix} (4) & \sqrt{c \log n} \leq E Z_{n} \leq \sqrt{2 \log n} \end{matrix}

$\sqrt{c \log n} \le \mathbb{E}Z_n \le \sqrt{2 \log n} \tag{4}$

কিছু ছোট । জন্যও অনুরূপ ফলাফলগুলি প্রদর্শিত হতে পারে , যেহেতু ভারীভাবে ডান-স্কিউড। $c$ $|Z_n|$ $Z_n$

এই শেষ ফলাফলের প্রমাণ অন্যান্য ফলাফলের প্রমাণগুলির চেয়ে অনেক বেশি সোজা। আমার আশা ছিল যে প্রথম অ্যাসিম্পটোটিক ফলাফলটি সমস্ত অন্যান্য অ্যাসিপটোটিকগুলিই অন্তর্ভুক্ত করেছিল, যাতে আমি ফলাফলটি বুঝতে আমার সমস্ত সময় এবং শক্তিকে কেন্দ্র করে আত্মবিশ্বাসী বোধ করতে পারি। কিন্তু, আবার, যে আপাতদৃষ্টিতে সত্য নয় , তাই এখন এটি আমার কাছে অস্পষ্ট যা আমার ফোকাস করা উচিত।

$^*$ 1987 সালে মুদ্রিত গ্যালামবসের দ্বিতীয় সংস্করণ, অ্যাসিপটোটিক থিওরি অফ এক্সট্রিম অর্ডার স্ট্যাটিস্টিকস , এর পৃষ্ঠা 265-267 দেখুন It এটি সম্ভবত প্রথম সংস্করণেও কোথাও বলা হয়েছে।

$\dagger$ Boucheron, Lugosi, Massart, ঘনত্ব অসামঞ্জস্য: স্বাধীনতার Nonasymptotic তত্ত্ব । একদিকে: এই বইটি আসলে প্রশ্নের ফলাফলের জন্য গালাম্বোসকে উদ্ধৃত করেছে, তবে গ্যালাম্বোসে কোথাও এটি উল্লেখ করা খুঁজে পাচ্ছি না - কেবলমাত্র প্রথম ফলাফলটি আমি উল্লেখ করেছি।

— Chill2Macht
সূত্র

আপনি কি জানেন যে ম্যাথজ্যাক্সে আপনি যখন \ বিন্দুগুলি ব্যবহার করেন তখন ফলাফলটি কখনও কখনও এমন দেখা যায় যে আপনি you' এলডটস ব্যবহার করেন এবং কখনও কখনও মনে হয় প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে d সিডটস ব্যবহার করেন? আমি এই প্রশ্নে \ এলডটসের সাথে \ বিন্দুগুলি প্রতিস্থাপন করেছি।

\begin{aligned} X_1, \dots, X_n, \dots \sim \mathscr{N}(0,1) & X_{1}, \dots, X_{n}, \dots \sim N (0, 1) \\ X_1, \ldots, X_n, \ldots \sim \mathscr{N}(0,1) & X_{1}, \dots, X_{n}, \dots \sim N (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} & \text{X_1, \dots, X_n, \dots \sim \mathscr{N}(0,1)} & & X_1, \dots, X_n, \dots \sim \mathscr{N}(0,1) \\ \\ & \text{X_1, \ldots, X_n, \ldots \sim \mathscr{N}(0,1)} & & X_1, \ldots, X_n, \ldots \sim \mathscr{N}(0,1) \end{align}$

— মাইকেল হার্ডি

@ মিশেল হার্ডি ওহ আমি ভেবেছিলাম এটি সবসময়ই কেন্দ্রিক। ঠিক করার জন্য ধন্যবাদ!

— চিল

যে কোনও সম্ভাব্য প্রয়োগে, সর্বাধিক মৌলিক বস্তু হ'ল বিতরণ, মুহুর্তগুলি এবং সীমাবদ্ধ বৈশিষ্ট্যগুলি এ থেকে উদ্ভূত হয়। সুতরাং, আপনি যে অর্থে বর্ণনা করেছেন তার মধ্যে সর্বাধিক "গুরুত্বপূর্ণ" ফলাফলটি সম্পূর্ণ বিতরণ ফাংশন (সমানভাবে, সংশ্লিষ্ট ঘনত্বের ক্রিয়া)। অনুশীলনে, ইতিমধ্যে তালিকাভুক্ত আরও কয়েকটি মৌলিক অ্যাসিম্পটোটিক বৈশিষ্ট্যগুলির তুলনায় এই বিতরণের ফলাফল সম্ভবত কম আলোকিত হবে। যদিও এটি যৌক্তিকভাবে এই অ্যাসিপটোটিক ফলাফলগুলি বোঝায়, আমার দৃষ্টিতে, আমরা পরিবর্তন করার সাথে সাথে এই ফলাফলগুলি চূড়ান্ত মানটির পরিবর্তিত প্রকৃতি বুঝতে আরও আলোকিত হতে পারে । $F_{Z_n}(z) = \Phi^n(z)$ $n$

আপনার প্রশ্ন থেকে এটা স্পষ্ট যে সর্বাধিক আইআইডি স্ট্যান্ডার্ড স্বাভাবিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে আপনার চূড়ান্ত মান সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে ভাল ধারণা রয়েছে। এই বৈশিষ্ট্যগুলি এর বিতরণ ফাংশন থেকে সমস্ত যুক্তিযুক্তভাবে , সুতরাং এই সমস্যাটিতে কাজ করা সবচেয়ে মৌলিক অবজেক্ট। অনেক ক্ষেত্রে যেমন সর্বাধিক মৌলিক অবজেক্টটি সর্বাধিক আলোকিত হয় না, এবং তাই আপনি সম্ভবত দেখতে পাবেন যে আপনাকে সমস্ত ফলাফল জেনে এবং করণীয় যে তারা সমস্যার বিভিন্ন দিক আলোকিত করে with $Z_n$

— বেন - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র

এই উত্তরের জন্য ধন্যবাদ - আমি এটি প্রশংসা করি। বিতরণ ফাংশন থেকে কীভাবে এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য অর্জন করতে হয় তার জন্য আপনি কি কোনও রেফারেন্স জানেন ? এটি ব্যাখ্যা করে এমন কিছু খুঁজে পেতে আমার চরম অসুবিধা হচ্ছে, কারণ এটি সবই "লোককাহিনী" বা "হাত ধরে"।

Z_{n}

$Z_n$

— চিল 2ম্যাচট

রেকর্ডের জন্য, আমি লিঙ্কগুলি পড়েছি এবং সেগুলি সহায়তা করে না। এজন্যই আমি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি।

— চিল 2ম্যাচট

সুপারিশ করার জন্য আমার কাছে নির্দিষ্ট রেফারেন্স নেই, তবে আমি মনে করি চূড়ান্ত মান তত্ত্ব সম্পর্কিত বইগুলিতে এই ফলাফলগুলি নেওয়া হবে। আমি আপনাকে সেই বিষয়ে কিছু স্নাতক স্তরের পাঠ্য সন্ধান করার পরামর্শ দিয়েছি এবং সেখানে আবিষ্কারগুলি খুঁজে পেতে পারি কিনা তা দেখুন।

— বেন - মনিকা

ডব্লিউআইপি: কাজ চলছে

অনুসরণ পি। ক্র্যামারের 1946 এর পরিসংখ্যানের গাণিতিক পদ্ধতিগুলির 370 , , সংজ্ঞায়িতএখানে হ'ল মানক বিতরণ, ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন । এর সংজ্ঞাটির ফলাফল হিসাবে, আমরা গ্যারান্টিযুক্ত যে প্রায় অবশ্যই।

Ξ_{n} = n (1 - Φ (Z_{n})) .

$\Xi_n = n(1 - \Phi(Z_n)) \,.$

Φ

$\Phi$

N (0, 1)

$\mathscr{N}(0,1)$

0 \leq Ξ_{n} \leq n

$0\le \Xi_n \le n$

আমাদের নমুনা জায়গার প্রদত্ত উপলব্ধি Consider Consider বিবেচনা করুন । তারপর এই অর্থে উভয় একটি ফাংশন এবং , এবং একটি ফাংশন , এবং । একটি স্থির , আমরা একটি ডিটারমিনিস্টিক ফাংশন এবং এবং এর একটি ফাংশন বিবেচনা করতে পারি , যার ফলে সমস্যাটি সহজ করা যায়। প্রায় সবগুলি জন্য অবশ্যই ফলাফল রাখার লক্ষ্য রাখি আমরা We $\omega \in \Omega$ $Z_n$ $n$ $\omega$ $\Xi_n$ $Z_n, n$ $\omega$ $\omega$ $Z_n$ $n$ $\Xi_n$ $Z_n$ $n$ $\omega \in \Omega$ , আমাদের একটি ফলাফল-নির্জনী বিশ্লেষণ থেকে নন-ডিস্ট্রিমেন্টিক সেটিংয়ে আমাদের ফলাফল স্থানান্তর করতে দেয়।

অনুসরণ পি। ক্র্যামারের 1946 এর পরিসংখ্যানের গাণিতিক পদ্ধতিগুলির 374, এই মুহুর্তের জন্য ধরে নিই (আমি ফিরে এসে আবার একটি প্রমাণ সরবরাহ করার লক্ষ্য নিয়েছি) যা আমরা দেখাতে সক্ষম হয়েছি ( কোনও প্রদত্ত ) নিম্নলিখিত অ্যাসিমেটোটিক সম্প্রসারণ ধারণ করে (ব্যবহার করে) অংশ দ্বারা সংহতকরণ এবং সংজ্ঞা : $\omega \in \Omega$ $\Phi$

\begin{matrix} (~) & \frac{\sqrt{2 π}}{n} Ξ_{n} = \frac{1}{Z_{n}} e^{- \frac{Z_{n}^{2}}{2}} (1 + O (\frac{1}{Z_{n}^{2}})) a s Z_{n} \to \infty . \end{matrix}

$\frac{\sqrt{2\pi}}{n}\Xi_n = \frac{1}{Z_n}e^{-\frac{Z_n^2}{2}}\left( 1 + O \left( \frac{1}{Z_n^2} \right) \right) \quad ~~ as ~~ Z_n \to \infty \,. \tag{~}$

স্পষ্টত আমরা আছে কোন , এবং প্রায় নিশ্চয় একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন যেমন , তাই আমরা কি জন্য (প্রায় নিশ্চয় সব) সংশোধন করা হয়েছে যে সর্বত্র অনুসরণ করে দাবি : $Z_{n+1} \ge Z_n$ $n$ $Z_n$ $n$ $n\to \infty$ $\omega$

Z_{n} \to \infty ⟺ n \to \infty .

$Z_n \to \infty \quad \iff \quad n \to \infty \,.$

সুতরাং এটি অনুসরণ করে যে আমাদের কাছে রয়েছে (যেখানে অ্যাসিপটোটিক সমতুল্যতা বোঝায় ): $\sim$

\frac{\sqrt{2 π}}{n} Ξ_{n} \sim \frac{1}{Z_{n}} e^{- \frac{1}{Z_{n}^{2}}} a s Z_{n} \to \infty n \to \infty .

$\frac{\sqrt{2\pi}}{n} \Xi_n \sim \frac{1}{Z_n} e^{-\frac{1}{Z_n^2}} \quad ~~ as ~~ Z_n \to \infty \quad n \to \infty \,.$

প্রভাবশালী ভারসাম্য পদ্ধতিতে আমরা কীভাবে এগিয়ে চলেছি তা কীভাবে অগ্রসর হয় এবং আমাদের হেরফেরগুলি নিম্নলিখিত লিমা দ্বারা আনুষ্ঠানিকভাবে ন্যায়সঙ্গত হবে:

লেমমা: ধরে নিন যে হিসাবে , এবং (এভাবে )। তারপরে যেকোন ফাংশন দেওয়া হয়েছে যা রচনাগুলি, সংযোজনগুলি এবং লগারিদম এবং শক্তি আইনগুলির মূল গুণগুলি (মূলত কোনও " পল্লগ " ফাংশন) এর মাধ্যমে গঠিত হয়, আমাদের অবশ্যই :অন্য কথায়, এই জাতীয় "পল্লগ" ফাংশন asympotic সমতুলতা সংরক্ষণ করে । $f(n) \sim g(n)$ $n \to \infty$ $f(n) \to \infty$ $g(n) \to \infty$ $h$ $n \to \infty$
$h (f (n)) \sim h (g (n)) .$ $h(f(n)) \sim h(g(n)) \,.$

এই লেমার সত্যটি উপপাদ্য ২.১ এর একটি পরিণতি । এখানে লিখিত হিসাবে । এছাড়াও নোট করুন যে নিম্নলিখিতটি এখানে পাওয়া যায় একই জাতীয় প্রশ্নের উত্তরের একটি প্রসারিত (আরও বিশদ) সংস্করণ ।

উভয় পক্ষের লগারিদম গ্রহণ করা, আমরা এটি পেয়েছি:

\begin{matrix} (1) & \log (\sqrt{2 π} Ξ_{n}) - \log n \sim - \log Z_{n} - \frac{Z_{n}^{2}}{2} . \end{matrix}

$\log ( \sqrt{2\pi} \Xi_n ) - \log n \sim -\log Z_n - \frac{Z_n^2}{2} \,. \tag{1}$

এখানেই ক্র্যামার কিছুটা খাঁচা; তিনি কেবল " আবদ্ধ " ধরে বলেছেন , আমরা উপসংহার করতে পারি। তবে যথাযথভাবে আবদ্ধ বলে আসলে কিছুটা অপ্রয়োজনীয় বলে মনে হচ্ছে। দেখে মনে হচ্ছে এটির প্রমাণটি মূলত গালামবসের পৃষ্ঠা ২ 26৫-২67। তে যা আলোচনা হয়েছে তার অংশ হতে পারে তবে আমি নিশ্চিত যে আমি এখনও সেই বইয়ের বিষয়বস্তু বোঝার জন্য কাজ করে যাচ্ছি না। $\Xi_n$ $\Xi_n$

যাইহোক, ধরে যে কেউ প্রদর্শন করতে পারে $\log \Xi_n = o(\log n)$ , তারপরে এটি অনুসরণ করে ( শব্দটি পদটি প্রাধান্য দেয় ): $-Z_n^2/2$ $-\log Z_n$

- \log n \sim - \frac{Z_{n}^{2}}{2} ⟹ Z_{n} \sim \sqrt{2 \log n} .

$- \log n \sim - \frac{Z_n^2}{2} \quad \implies \quad Z_n \sim \sqrt{2 \log n} \,.$

এটি কিছুটা দুর্দান্ত, যেহেতু আমরা ইতিমধ্যে যা দেখাতে চাইছি এটি এটি বেশিরভাগই, যদিও আবার এটি মনে রাখা সার্থক যে এটি কেবলমাত্র রাস্তায় ক্যান লাথি মারছে, যেহেতু এখন আমাদের কিছুটা অবশ্যই Xi_n এর নির্দিষ্ট কিছু আবদ্ধতা । অন্যদিকে, এর যে অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য একই বিতরণ রয়েছে, সুতরাং এটি ট্র্যাকটেবল হতে পারে। $\Xi_n$ $\Xi_n$

যাইহোক, যদি হিসাবে থাকে, তবে স্পষ্টভাবে কেউ এই সিদ্ধান্তেও পারে যে কোনও যা হিসাবে । উপরের অ্যাসিম্পটোটিক সমতুল্যতা সংরক্ষণ করে পলিগ ফাংশন সম্পর্কে আমাদের লেমা ব্যবহার করে, আমরা এই অভিব্যক্তিটি ফিরে ফিরে পেতে পারি: $Z_n \sim \sqrt{2 \log n}$ $Z_n \sim \sqrt{2 \log n}(1 + \alpha(n))$ $\alpha(n)$ $o(1)$ $n \to \infty$ $(1)$

\log (\sqrt{2 π} Ξ_{n}) - \log n \sim - \log (1 + α) - \frac{1}{2} \log 2 - \frac{1}{2} \log \log n - \log n - 2 α \log n - α^{2} \log n .

$\log(\sqrt{2 \pi} \Xi _n)- \log n \sim -\log (1 + \alpha) - \frac{1}{2}\log 2 - \frac{1}{2}\log \log n - \log n - 2 \alpha \log n - \alpha^2 \log n \,.$

⟹ - \log (Ξ_{n} \sqrt{2 π}) \sim \log (1 + α) + \frac{1}{2} \log 2 + \frac{1}{2} \log \log n + 2 α \log n + α^{2} \log n .

$\implies -\log(\Xi_n \sqrt{2 \pi}) \sim \log(1 + \alpha) + \frac{1}{2} \log 2 + \frac{1}{2} \log \log n + 2\alpha \log n + \alpha^2 \log n \,.$

এখানে আমাদের আরও আরও এগিয়ে যেতে হবে এবং ধরে নিতে হবে যে প্রায় নিশ্চিতভাবেই $\log \Xi_n = o( \log \log n) ~~ as ~~ n \to \infty$ । আবার, সমস্ত ক্র্যামার বলেছে "ধরে হচ্ছে সীমাবদ্ধ"। কিন্তু সম্পর্কে অবরোহমার্গী যেহেতু সব এক বলতে পারেন যে হিসেবে, এটা কমই স্পষ্ট মনে হচ্ছে যে এক থাকা উচিত প্রায় নিশ্চয়, যা Cramer দাবি পদার্থ বলে মনে হয়। $\Xi_n$ $\Xi_n$ $0 \le Xi_n \le n$ $\Xi_n = O(1)$

তবে যাইহোক, কেউ বিশ্বাস করে যে এটি বিশ্বাস করে, তারপরে এটি অনুসরণ করে যে the নেই এমন প্রভাবশালী শব্দটি হ'ল । যেহেতু , এটি অনুসরণ করে যে , এবং পরিষ্কারভাবে , তাই প্রভাবশালী শব্দটি ধারণকারী হল । অতএব, আমরা পুনর্বিন্যাস করতে পারি এবং ( বা দ্বারা সবকিছু ভাগ করে ) এটি সন্ধান করতে পারি $\alpha$ $\frac{1}{2} \log \log n$ $\alpha = o(1)$ $\alpha^2 = o(\alpha)$ $\log ( 1 + \alpha) = o (\alpha) = o(o(\alpha \log n))$ $\alpha$ $2 \alpha \log n$ $\frac{1}{2}\log\log n$ $2 \alpha \log n$

- \frac{1}{2} \log \log n \sim 2 α \log n ⟹ α \sim - \frac{\log \log n}{4 \log n} .

$- \frac{1}{2} \log \log n \sim 2 \alpha \log n \quad \implies \quad \alpha \sim - \frac{\log \log n}{4 \log n} \,.$

অতএব, এটিকে উপরের স্থানে স্থির করে আমরা তা পেয়েছি:

Z_{n} \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}},

$Z_n \sim \sqrt{2 \log n}- \frac{\log\log n}{2 \sqrt{2 \log n}} \,,$

আবার, ধরে নিই আমরা সম্পর্কে কিছু জিনিস বিশ্বাস করি । $\Xi_n$

আমরা আবার একই কৌশলটি পুনঃস্থাপন করি; যেহেতু , তারপরে এটিও অনুসরণ করে যে $Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}}$

Z_{n} \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} (1 + β (n)) = \sqrt{2 \log n} (1 - \frac{\log \log n}{8 \log n} (1 + β (n))),

$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} (1 + \beta(n)) = \sqrt{2 \log n} \left( 1 - \frac{\log \log n}{8 \log n}(1 + \beta(n)) \right) \,,$

কখন । সরাসরি (1) এ প্রতিস্থাপনের আগে কিছুটা সরলীকরণ করা যাক; আমরা এটি পেয়েছি: $\beta(n)=o(1)$

\log Z_{n} \sim \log (\sqrt{2 \log n}) + \underset{\log (O (1)) = o (\log n)}{\underset{⏟}{\log (1 - \frac{\log \log n}{8 \log n} (1 + β (n)))}} \sim \log (\sqrt{2 \log n}) .

$\log Z_n \sim \log(\sqrt{2 \log n}) + \underbrace{\log \left(1 - \frac{\log \log n}{8 \log n}(1 + \beta(n)) \right) }_{\log(O(1)) = o(\log n)} \sim \log (\sqrt{2 \log n}) \,.$

\frac{Z_{n}^{2}}{2} \sim \log n - \frac{1}{2} \log \log n (1 + β) + \underset{o ((1 + β) \log \log n)}{\underset{⏟}{\frac{(\log \log n)^{2}}{8 \log n} (1 β)^{2}}} \sim \log n - \frac{1}{2} (1 + β) \log \log n .

$\frac{Z_n^2}{2} \sim \log n - \frac{1}{2} \log \log n (1 + \beta) + \underbrace{\frac{(\log \log n)^2}{8 \log n} ( 1 \beta)^2}_{o((1+ \beta) \log \log n)} \sim \log n - \frac{1}{2} (1 + \beta) \log \log n \,.$

এটিকে (1) এর পরিবর্তে, আমরা দেখতে পেলাম:

\log (\sqrt{2 π} Ξ_{n}) - \log n \sim - \log (\sqrt{2 \log n}) - \log n + \frac{1}{2} (1 + β) \log \log n ⟹ β \sim \frac{\log (4 π Ξ_{n}^{2})}{\log \log n} .

$\log ( \sqrt{2 \pi} \Xi_n) - \log n \sim - \log(\sqrt{2 \log n}) - \log n + \frac{1}{2}(1 + \beta) \log \log n \quad \implies \quad \beta \sim \frac{\log (4 \pi \Xi_n^2)}{\log \log n} \,.$

অতএব, আমরা প্রায় নিশ্চিতভাবেই এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি

Z_{n} \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} (1 + \frac{\log (4 π) + 2 \log (Ξ_{n})}{\log \log n}) = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 π)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (Ξ_{n})}{\sqrt{2 \log n}} .

$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n}{2 \sqrt{2 \log n}} \left(1 + \frac{\log(4 \pi) + 2 \log( \Xi_n)}{\log \log n} \right)\\ = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{ 2 \sqrt{2 \log n} } - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} \,.$

এটি ক্র্যামারের 1946 এর পরিসংখ্যানের গাণিতিক পদ্ধতিগুলির p.374 এর চূড়ান্ত ফলাফলের সাথে মিলে যায় এখানে বাদে এখানে ত্রুটি শর্তটির সঠিক আদেশ দেওয়া হয়নি। স্পষ্টতই এই আরও একটি শব্দ প্রয়োগ করা ত্রুটি শর্তটির সঠিক ক্রম দেয়, তবে যাইহোক যাইহোক আমরা আগ্রহী আইড স্ট্যান্ডার্ড নরমালগুলির সর্বোচ্চ সম্পর্কে ফলাফল প্রমাণ করা প্রয়োজন বলে মনে হয় না।

উপরের ফলাফলটি দেওয়া, প্রায় অবশ্যই:

\begin{matrix} (†) & Z_{n} \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 π)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (Ξ_{n})}{\sqrt{2 \log n}} ⟹ Z_{n} = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 π)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (Ξ_{n})}{\sqrt{2 \log n}} + o (1) . \end{matrix}

$Z_n \sim \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} \quad \implies \\ Z_n = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\log (\Xi_n)}{\sqrt{2 \log n}} + o(1)\,. \tag{$\dagger$}$

2. তারপর প্রত্যাশা রৈখিকতা দ্বারা এটা যে অনুসরণ করে:

E Z_{n} = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 π)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{E [\log (Ξ_{n})]}{\sqrt{2 \log n}} + o (1) ⟹ \frac{E Z_{n}}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{E [\log Ξ_{n}]}{2 \log n} + o (1) .

$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} - \frac{\log \log n + \log (4 \pi)}{2 \sqrt{2 \log n}} - \frac{\mathbb{E}[\log (\Xi_n)]}{\sqrt{2 \log n}} + o(1) \quad \implies \\ \frac{\mathbb{E}Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{\mathbb{E}[\log \Xi_n]}{2 \log n} + o(1) \,.$

অতএব, আমরা এটি দেখিয়েছি

lim_{n \to \infty} \frac{E Z_{n}}{\sqrt{2 \log n}} = 1,

$\lim_{n \to \infty } \frac{\mathbb{E} Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 \,,$

যতক্ষণ না আমরা এটিও প্রদর্শন করতে পারি

E [\log Ξ_{n}] = o (\log n) .

$\mathbb{E}[\log \Xi_n] = o(\log n) \,.$

এটি আবার দেখাতে খুব অসুবিধা নাও হতে পারে প্রতিটি ক্রমাগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য এর একই বিতরণ রয়েছে । এইভাবে উপরে থেকে আমাদের দ্বিতীয় ফলাফল রয়েছে। $\Xi_n$

১. একইভাবে, আমাদেরও উপরের থেকে প্রায় নিশ্চিতভাবেই রয়েছে:

\frac{Z_{n}}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{\log (Ξ_{n})}{2 \log n} + o (1), .

$\frac{Z_n}{\sqrt{2 \log n}} = 1 - \frac{\log(\Xi_n)}{2 \log n} +o(1),.$

অতএব, যদি আমরা তা দেখাতে পারি:

\begin{matrix} (*) & \log (Ξ_{n}) = o (\log n) almost surely, \end{matrix}

$\log(\Xi_n) = o(\log n) \text{ almost surely}, \tag{*}$

তারপরে আমরা উপর থেকে প্রথম ফলাফলটি দেখাব। ফলাফল (*) এর দ্বারা পরিষ্কারভাবে একটি ফোরটিওরিও বোঝানো হবে যা , এর ফলে আমাদের উপর থেকে প্রথম ফলাফল দেয়। $\mathbb{E}[\log (\Xi_n)] = o(\log n)$

এছাড়াও মনে রাখবেন উপরের (প্রমাণ মধ্যে ) আমরা যাহাই হউক না কেন যে অনুমান করা প্রয়োজন (বা অনুরূপ অন্তত কিছু) প্রায় নিশ্চয়, যাতে যদি আমরা দেখাতে (সক্ষম ) তাহলে আমরা সম্ভবত সম্ভবত প্রদর্শন করার জন্য প্রয়োজনীয় প্রক্রিয়াটিও এবং তাই যদি আমরা প্রমাণ করতে পারি আমরা সম্ভবত অবিলম্বে নীচের সমস্ত সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে সক্ষম হব। $\dagger$ $\Xi_n = o(\log n)$ $\dagger$ $\Xi_n = o(\log n)$ $(\dagger)$

৩. তবে, যদি আমাদের এই ফলাফল হয়, তবে আমি বুঝতে পারি না যে একজনের কীভাবে সেই , যেহেতু । তবে খুব কমপক্ষে এটি সত্য বলে মনে হবে যে $\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + \Theta(1)$ $o(1) \not= \Theta(1)$

E Z_{n} = \sqrt{2 \log n} + O (1) .

$\mathbb{E}Z_n = \sqrt{2 \log n} + O(1) \,.$

সুতরাং দেখে মনে হচ্ছে যে আমরা কীভাবে দেখানো যায় সেই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার দিকে মনোনিবেশ করতে পারি

Ξ_{n} = o (\log n) almost surely.

$\Xi_n = o(\log n) \text{ almost surely.}$

আমাদের (~) এর জন্য একটি প্রমাণ সরবরাহ করার কঠোর কাজও করতে হবে, তবে আমার জ্ঞানের সেরাটি যা কেবল ক্যালকুলাস এবং এতে কোনও সম্ভাবনার তত্ত্ব জড়িত না, যদিও আমার এখনও বসে বসে এখনও চেষ্টা করার দরকার নেই।

প্রথমে সমস্যাটিকে পুনরায় সমাধান করার জন্য তুচ্ছতার একটি শৃঙ্খলের মধ্য দিয়ে যাই যা সমাধান করা সহজ করে তোলে (দ্রষ্টব্য definition ): $\Xi_n \ge 0$

Ξ_{n} = o (\log n) ⟺ lim_{n \to \infty} \frac{Ξ_{n}}{\log n} = 0 ⟺ \forall ε > 0, \frac{Ξ_{n}}{\log n} > ε only finitely many times ⟺ \forall ε > 0, Ξ_{n} > ε \log n only finitely many times .

$\Xi_n = o(\log n) \quad \iff \quad \lim_{n \to \infty} \frac{\Xi_n}{\log n} = 0 \quad \iff \quad \\ \forall \varepsilon > 0, \frac{\Xi_n}{\log n} > \varepsilon \text{ only finitely many times} \quad \iff \\ \forall \varepsilon >0, \quad \Xi_n > \varepsilon \log n \text{ only finitely many times} \,.$

একটিতে এটিও রয়েছে:

Ξ_{n} > ε \log n ⟺ n (1 - F (Z_{n})) > ε \log n ⟺ 1 - F (Z_{n}) > \frac{ε \log n}{n} ⟺ F (Z_{n}) < 1 - \frac{ε \log n}{n} ⟺ Z_{n} \leq inf {y : F (y) \geq 1 - \frac{ε \log n}{n}} .

$\Xi_n > \varepsilon \log n \quad \iff \quad n(1 - F(Z_n)) > \varepsilon \log n \quad \iff \quad 1 - F(Z_n) > \frac{\varepsilon \log n}{n} \\ \iff \quad F(Z_n) < 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \quad \iff \quad Z_n \le \inf \left\{ y: F(y) \ge 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \right\} \,.$

অনুসারে, সমস্ত জন্য সংজ্ঞা দিন : $n$

u_{n}^{(ε)} = inf {y : F (y) \geq 1 - \frac{ε \log n}{n}} .

$u_n^{(\varepsilon)} = \inf \left\{ y: F(y) \ge 1 - \frac{\varepsilon \log n}{n} \right\} \,.$

সুতরাং উপরের পদক্ষেপগুলি আমাদের তা দেখায়:

Ξ_{n} = o (\log n) a.s. ⟺ P (Ξ_{n} = o (\log n)) = 1 ⟺ P (\forall ε > 0, Ξ_{n} > ε \log n only finitely many times) = 1 ⟺ P (\forall ε > 0, Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} only finitely many times) = 1 ⟺ P (\forall ε > 0, Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often) = 0 .

$\Xi_n = o(\log n) \text{ a.s.} \quad \iff \quad \mathbb{P}(\Xi_n = o(\log n)) = 1 \quad \iff \quad \\ \mathbb{P}(\forall \varepsilon > 0 , \Xi_n > \varepsilon \log n \text{ only finitely many times}) = 1 \\ \iff \mathbb{P}(\forall \varepsilon > 0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ only finitely many times}) = 1 \\ \iff \mathbb{P}(\forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) =0 \,.$

লক্ষ্য করুন যে আমরা লিখতে পারি:

{\forall ε > 0, Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often} = ⋂_{ε > 0} {Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often} .

$\{ \forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} = \bigcap_{\varepsilon > 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \,.$

সিকোয়েন্স অবিশেষে বৃহত্তর হয়ে , কমে যায় তাই আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে ঘটনা কমে (বা কমপক্ষে একরকম একঘেয়ে) as হিসাবে যায় । অতএব ঘটনার একঘেয়েমিক সিকোয়েন্স সম্পর্কিত সম্ভাবনা অক্ষর আমাদের এই উপসংহারে আসতে দেয়: $u_n^{(\varepsilon)}$ $\varepsilon$

{Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often}

$\{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \}$

ε

$\varepsilon$

0

$0$

P (\forall ε > 0, Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often) = P (⋂_{ε > 0} {Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often}) = P (lim_{ε ↓ 0} {Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often}) = lim_{ε ↓ 0} P (Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often) .

$\mathbb{P}(\forall \varepsilon >0, Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) = \\ \mathbb{P} \left( \bigcap_{\varepsilon > 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \right) = \\ \mathbb{P} \left( \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \{ Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often} \} \right) = \\ \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) \,.$

অতএব এটা যথেষ্ট সবার জন্য যে দেখানোর জন্য , $\varepsilon >0$

P (Z_{n} \leq u_{n}^{(ε)} infinitely often) = 0

$\mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ infinitely often}) = 0$

কারণ অবশ্যই যে কোনও ধ্রুব ক্রমের সীমা হ'ল ধ্রুবক।

এখানে কিছুটা স্লেজহ্যামার ফলাফল রয়েছে:

উপপাদ্য 4.3.1।, পি। গ্যালামবসের 252 , চূড়ান্ত আদেশের পরিসংখ্যানের অসম্পূর্ণ তত্ত্ব , দ্বিতীয় সংস্করণ। যাক সাধারণ nondegenerate এবং একটানা বন্টন ফাংশন IID ভেরিয়েবল হতে , এবং দিন একটি nondecreasing ক্রম যেমন যে হতে এছাড়াও nondecreasing করা হয়। তারপরে, , হিসাবে $X_1, X_2, \dots$ $F(x)$ $u_n$ $n(1 - F(u_n))$ $u_n < \sup \{ x: F(x) <1 \}$
$P (Z_{n} \leq u_{n} infinitely often) = 0 or 1$ $\mathbb{P}(Z_n \le u_n \text{ infinitely often}) =0 \text{ or }1$ $\sum_{j = 1}^{+ \infty} [1 - F (u_{j})] \exp (- j [1 - F (u_{j})]) < + \infty or = + \infty .$ $\sum_{j=1}^{+\infty}[1 - F(u_j)]\exp(-j[1-F(u_j)]) < +\infty \text{ or }=+\infty \,.$

প্রমাণটি প্রযুক্তিগত এবং প্রায় পাঁচটি পৃষ্ঠা নেয়, তবে শেষ পর্যন্ত এটি বোরেল-ক্যান্টেলি লেম্মাসের একটিতে একটি প্রমাণ হিসাবে প্রমাণিত হয়। আমি কেবল এই বিশ্লেষণের জন্য প্রয়োজনীয় অংশটি ব্যবহার করার জন্য প্রমাণটি আরও ঘনীভূত করার চেষ্টা করতে পারি এবং সেই সাথে কেবল গাউসির ক্ষেত্রে ধারণাগুলি রয়েছে যা সংক্ষিপ্ত হতে পারে (তবে এটি সম্ভবত এটি নয়) এবং এটি এখানে টাইপ করুন, তবে আপনার শ্বাস ধারণ করার পরামর্শ দেওয়া হচ্ছে না। মনে রাখবেন যে এই ক্ষেত্রে , সুতরাং সেই শর্তটি শূন্য, এবং হ'ল সুতরাং পরিষ্কারভাবে অ-হ্রাস পাচ্ছে না। $\omega(F)=+\infty$ $n(1-F(n))$ $\varepsilon \log n$

যাইহোক, বিন্দুটি হ'ল, এই উপপাদ্যের প্রতি আবেদন জানাচ্ছে, যদি আমরা তা দেখাতে পারি:

\sum_{j = 1}^{+ \infty} [1 - F (u_{j}^{(ε)})] \exp (- j [1 - F (u_{j}^{(ε)})]) = \sum_{j = 1}^{+ \infty} [\frac{ε \log j}{j}] \exp (- ε \log j) = ε \sum_{j = 1}^{+ \infty} \frac{\log j}{j^{1 + ε}} < + \infty .

$\sum_{j=1}^{+\infty}[1 - F(u_j^{(\varepsilon)})]\exp(-j[1-F(u_j^{(\varepsilon)})]) = \sum_{j=1}^{+\infty}\left[ \frac{\varepsilon \log j}{j} \right]\exp(-\varepsilon \log j) = \varepsilon \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{ \log j}{j^{1 + \varepsilon}} < + \infty \,.$

নোট করুন যেহেতু লগারিদমিক বৃদ্ধির ফলে ধনাত্মক শক্তি আইন ব্যয়কারীদের জন্য কোনও পাওয়ার আইন বৃদ্ধির তুলনায় ধীর গতি রয়েছে (লগারিদম এবং এক্সপেনশনালগুলি একঘেয়েমি সংরক্ষণযোগ্য, তাই so ও সাবেক বৈষম্য সবসময় সবার জন্য ধরে রাখুন দেখা যায় সত্য যে কারণে বৃহৎ যথেষ্ট এবং ভেরিয়েবল পরিবর্তন), আমরা যে আছে: $\log \log n \le \alpha \log n \iff \log n \le n^{\alpha}$ $n$ $\log n \le n$

\sum_{j = 1}^{+ \infty} \frac{\log j}{j^{1 + ε}} \leq \sum_{j = 1}^{+ \infty} \frac{j^{ε / 2}}{j^{1 + ε}} = \sum_{j = 1}^{+ \infty} \frac{1}{j^{1 + ε / 2}} < + \infty,

$\sum_{j=1}^{+\infty} \frac{\log j}{j^{1 + \varepsilon}} \le \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{j^{\varepsilon/2}}{j^{1 + \varepsilon}} = \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{1}{j^{1 + \varepsilon/2}} < +\infty \,,$

যেহেতু পি-সিরিজটি সমস্ত এবং হিসাবে পরিচিত অবশ্যই বোঝায় । $p>1$ $\varepsilon >0$ $1 + \varepsilon/2 > 1$

সুতরাং উপরোক্ত উপপাদ্যটি ব্যবহার করে আমরা দেখিয়েছি যে সমস্ত , , যা অর্থ হওয়া উচিত প্রায় অবশ্যই। $\varepsilon >0$ $\mathbb{P}(Z_n \le u_n^{(\varepsilon)} \text{ i.o.}) = 0$ $\Xi_n = o(\log n)$

আমাদের এখনও এটি দেখাতে হবে যে । এটি উপরের দিক থেকে অনুসরণ করে না, যেমন, যেমন, $\log \Xi_n = o(\log \log n)$

\frac{1}{n} \log n = o (\log n), - \log n + \log \log n \neq o (\log n) .

$\frac{1}{n} \log n = o(\log n) \,, - \log n + \log \log n \not= o(\log n) \,.$

যাইহোক, একটি সিকোয়েন্স দেওয়া হয়েছে , যদি কেউ জন্য যে প্রদর্শন করতে পারে তবে এটি অনুসরণ করে । আদর্শভাবে আমি উপরের লেমা ব্যবহার করে এটি জন্য দেখাতে সক্ষম হতে চাই (এটি এমনকি সত্য বলে ধরে নেওয়া) তবে সক্ষম হয়ে উঠছি না (এখনও হিসাবে)। $x_n$ $x_n = o( (\log n)^{\delta})$ $\delta >0$ $\log(x_n) = o(\log \log n)$ $\Xi_n$

— Chill2Macht
সূত্র