আত্মবিশ্বাসের সাথে এর ন্যায্যতাটি মূল্যায়নের জন্য আমার কতবার ডাই রোল করতে হবে?

(পরিসংখ্যানগত ভাষার চেয়ে লেআর ভাষার ব্যবহারের জন্য আগেই ক্ষমা প্রার্থনা করুন))

যদি আমি নির্দিষ্ট দৈহিক আত্মবিশ্বাসের সাথে প্রায় +/- 2% এর মধ্যে নির্দিষ্ট শারীরিক ছয়তরফা ডাইয়ের প্রতিটি পক্ষের ঘূর্ণায়নের প্রতিক্রিয়াগুলি পরিমাপ করতে চাই তবে কতটি নমুনা ডাই রোলসের প্রয়োজন হবে?

উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি ফলাফল গণনা করে আমার কতবার ডাই রোল করতে হবে, 98% নিশ্চিত হতে যে এটি প্রতিটি পক্ষের ঘূর্ণায়মান সম্ভাবনাগুলি 14.6% - 18.7% এর মধ্যে রয়েছে? (বা কিছু অনুরূপ মাপদণ্ড যেখানে কেউ প্রায় 98% নিশ্চিত হয়ে মারা যায় যে এটি 2% এর মধ্যেই মরে যায় fair)

(ডাইস ব্যবহার করে এবং সুনিশ্চিত ডাইস ডিজাইনগুলি প্রতিটি সংখ্যা ঘূর্ণায়মানের প্রায় 1/6 সুযোগের কাছাকাছি রয়েছে কিনা তা নিশ্চিত হওয়া নিশ্চিত করার জন্য এটি সত্যিকারের বিশ্ব উদ্বেগ। এমন অনেক দাবি রয়েছে যে অনেকগুলি সাধারণ ডাইস ডিজাইনই ২৯% 1 এর ঘূর্ণায়মান মাপানো হয়েছে) এ জাতীয় বেশ কয়েকটি ডাইস প্রতি 1000 বার ঘূর্ণায়মান)

— Dronz
সূত্র

দ্বিপাক্ষিকের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান সন্ধানের চেয়ে এটি অনেক বেশি জটিল, যেহেতু আপনি সমস্ত সম্ভাবনাগুলি পরীক্ষা করে রাখতে চান। বহু-জাতীয় বিতরণের জন্য একযোগে আত্মবিশ্বাসের অন্তরগুলির বিষয়ে হুইসাইং ওয়াংয়ের কাগজটি একবার দেখুন ( মাল্টিভারিয়াল অ্যানালাইসিস জার্নাল ২০০ 2008, 99, 5, 896-911)। আপনি এই ব্লগ পোস্টে কিছু কোড খুঁজে পেতে পারেন , যা এটিতে এই কাজ করা কিছু কাজের একটি দ্রুত সংক্ষিপ্তসার দেয়।

— idnavid

মনে রাখবেন যে আপনি যদি 1 টি সময়ের ন্যায্য পরিমাণে রোলড হয় কিনা তা পরীক্ষা করতে আগ্রহী হন, তবে এটি প্রশ্নটি অনেক সহজ করে তোলে।

— ডেনিস জাহেরউদ্দিন

এটি লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণ যে "আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান" আপনাকে "সঠিক হওয়ার শতকরা সম্ভাবনা" দেয় না। আমি সন্দেহ করি যে আপনি "98% নিশ্চিত" শব্দটির খুব যুক্তিসঙ্গত সাধারণ ব্যবহার করছেন, তবে আপনাকে অবশ্যই যে কোনও সময় অবশ্যই "আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান" উল্লেখ করেছেন যা 98% এর সম্ভাব্যতার মতো নয়

— ব্রায়ানএইচ

@ ব্রায়ান আপনাকে ধন্যবাদ! আমি কেবল চালচলিত অভিব্যক্তি বোঝাতে চাইনি, তবে পরীক্ষার দ্বারা নিহিত নিশ্চয়তার পরিমাণটিও খুঁজছি। আমার কাছে মনে হয় যে একইভাবে আমি কিছুটা মরার ফলাফলকে সময়ের সময়ের গণনীয় শতাংশে রোল করার প্রত্যাশা করেছিলাম তার অর্থটি বোধগম্য হয় যে এর মধ্যেও ফলাফলগুলি রোল করার সম্ভাবনা সম্পর্কে আমি একইরকম (তবে আরও জটিল) গণনা করব আমি বার বার ত্রুটি একটি নির্দিষ্ট মার্জিন, যা আমি মনে করি আমি জিয়ামোর উত্তর বুঝতে পেরেছি (এবং ফলো-আপ মন্তব্য) বলছে। হ্যাঁ?

— ড্রোনজ

@ ড্রোনজ ন্যায্য কথা বলতে গেলে এটি এমন একটি যা আপনি সত্যিকার অর্থে সর্বাধিক সোপান-ফরোয়ার্ড বলে মনে করেন। শয়তানী কৃপণ, আসলে। কীভাবে অবিশ্বাস্যভাবে সরাসরি- অগ্রিম উত্তর নেই সে সম্পর্কে আপনাকে ধারণা দিতে সহায়তা করতে এখানে অন্য কয়েকটি মূল প্রশ্ন রয়েছে: ফ্রিকোয়েনসিস্ট গণিত .stackexchange.com/questions/ 1578932/… বায়সিয়ান গণিত ststackexchange.com/questions/1584833/… এবং মজাদার: rpg.stackexchange.com/questions/70802/…

— ব্রায়ানএইচ

টিএল; ডিআর: যদি $p$ = ১/6 এবং আপনি জানতে চান যে কত বড় $n$ ৯৯% হওয়া উচিত যাতে নিশ্চিত যে ডাইসটি ন্যায্য (২% এর মধ্যে), $n$ কমপক্ষে $n$ ≥ 766 হওয়া দরকার ।

যাক $n$ রোলস সংখ্যা হতে হবে এবং $X$ রোলস সংখ্যা যে কিছু নিদিষ্ট দিকে জমি। তারপরে $X$ একটি দ্বিপদী (এন, পি) বিতরণ অনুসরণ করে যেখানে $p$ সেই নির্দিষ্ট দিকটি পাওয়ার সম্ভাবনা।

কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্য দ্বারা, আমরা এটি জানি

\sqrt{n} (X / n - p) \to N (0, p (1 - p))

$\sqrt{n} (X/n - p) \to N(0,p(1-p))$

যেহেতু $X/n$ হ'ল $n$ বার্নোল্লি $(p)$ র্যান্ডম ভেরিয়েবলের নমুনা মাধ্যম । সুতরাং বৃহত্তর $n$ জন্য, $p$ জন্য আস্থা অন্তরগুলি হিসাবে নির্মিত যেতে পারে

\frac{X}{n} \pm Z \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}}

$\frac{X}{n} \pm Z \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

যেহেতু $p$ অজানা, আমরা এটা নমুনা গড় প্রতিস্থাপন করতে পারেন , এবং বিভিন্ন অভিসৃতি উপপাদ্য দ্বারা, আমরা জানি ফলে আস্থা ব্যবধান এসিম্পটোটিকভাবে কার্যকর থাকবে। সুতরাং আমরা ফর্মের আস্থা অন্তর পেতে $\hat{p} = X/n$

\hat{p} \pm Z \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}

$\hat{p} \pm Z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

সঙ্গে । আমি ধরে নিচ্ছি যে আপনি স্কোরগুলি কী তা জানেন । উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি 95% আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান চান তবে আপনি । তাই একটি প্রদত্ত আস্থা স্তরের জন্য আমরা আছে $\hat{p} = X/n$ $Z$ $Z=1.96$ $\alpha$

\hat{p} \pm Z_{α} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}}

$\hat{p} \pm Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

এখন আসুন আমরা বলি যে আপনি এই আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি $C_\alpha$ চেয়ে কম দৈর্ঘ্যের হতে চান এবং এটি জানতে আমাদের কতটা বড় নমুনা প্রয়োজন তা জানতে চাই need আচ্ছা এই জিজ্ঞাসা করতে equivelant কি $n_\alpha$ সন্তুষ্ট

Z_{α} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n_{α}}} \leq \frac{C_{α}}{2}

$Z_\alpha \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n_\alpha}} \leq \frac{C_\alpha}{2}$

যা তখন সমাধান করা হয়

n_{α} \geq {(\frac{2 Z_{α}}{C_{α}})}^{2} \hat{p} (1 - \hat{p})

$n_\alpha \geq \left(\frac{2 Z_\alpha}{C_\alpha}\right)^2 \hat{p}(1-\hat{p})$

So plug in your values for $Z_\alpha$ , $C_\alpha$ , and estimated $\hat{p}$ to obtain an estimate for $n_\alpha$ . Note that since $p$ is unknown this is only an estimate, but asymptotically (as $n$ gets larger) it should be accurate.

— Xiaomi
সূত্র

Thanks. As I have not done college-type math in decades, could I trouble you to plug in the numbers and actually give me a ballpark number of times I'd need to roll a die, as an integer?

— Dronz

p = 1 / 6

$p = 1/6$ and you want to know how large

n

$n$ needs to be 98% sure the dice is fair to within 2%,

n

$n$ needs to be at least

n \geq 766

$n \geq 766$ . Ignore my last comment, used incorrect

C_{α}

$C_\alpha$ .

— Xiaomi

It might be more interesting to look at the multinomial distribution, since now we test for each side separately. This does not take into account all the information we have on the problem. For an intiuitive explanation look at stat.berkeley.edu/~stark/SticiGui/Text/chiSquare.htm

— Jan

I agree with @Jan: This answer does not address the question. Moreover, it cannot easily be adapted to construct an answer by applying it separately to all six faces, because the six tests are interdependent.

— whuber

This is a nice answer, but I fully agree with @Jan, whuber. This question deserves an answer based on chi-square statistic and multinomial distribution.

— Łukasz Grad