কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের জন্য কোন স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা আছে?

Question

বিভিন্ন বিভিন্ন প্রসঙ্গে আমরা কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ উপপাদ্যকে আমরা যে পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি অবলম্বন করতে চাই তার ন্যায্যতা জানাতে অনুরোধ করি (উদাহরণস্বরূপ, একটি সাধারণ বন্টন দ্বারা দ্বিপদী বিতরণ আনুমানিক)। আমি কেন উপপাদ্যটি সত্য তা সম্পর্কে প্রযুক্তিগত বিবরণগুলি বুঝতে পেরেছি তবে এখনই এটি আমার কাছে ঘটে গেছে যে আমি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধতা তত্ত্বের পিছনে অন্তর্দৃষ্টি সত্যই বুঝতে পারি না।

সুতরাং, কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদনের পিছনে অন্তর্নিহিততা কী?

লেম্যানের ব্যাখ্যাগুলি আদর্শ হবে। যদি কিছু প্রযুক্তিগত বিবরণ প্রয়োজন হয় দয়া করে ধরে নিন যে আমি পিডিএফ, সিডিএফ, র্যান্ডম ভেরিয়েবল ইত্যাদির ধারণাগুলি বুঝতে পেরেছি তবে পরিমাপের তত্ত্বের সাথে রূপান্তর ধারণা, চরিত্রগত ফাংশন বা কিছুই করার কোনও জ্ঞান নেই।

Comments

ভাল প্রশ্ন, যদিও আমার তাৎক্ষণিক প্রতিক্রিয়াটি, এটি শেখানোর আমার সীমিত অভিজ্ঞতার দ্বারা সমর্থনিত, সিএলটি প্রাথমিকভাবে বেশিরভাগ মানুষের কাছে স্বজ্ঞাত নয়। যদি কিছু হয়, এটি পাল্টা স্বজ্ঞাত!

— onestop

নিখরচায় আমেন! পি = ১/২ দিয়ে দ্বি দ্বি বিতরণকে n বৃদ্ধি হিসাবে দেখানো সিএলটি লুকিয়ে রয়েছে তা দেখায় - তবে এর জন্য অন্তর্দৃষ্টি সর্বদা আমাকে এড়িয়ে চলেছে।

— রোনাফ

কিছু চমৎকার ধারণার সাথে একই প্রশ্ন: stats.stackexchange.com

কোনও ব্যাখ্যা নয় তবে এই অনুকরণটি এটি বোঝার জন্য সহায়ক হতে পারে।

— ডেভিড লেন

Answer 1

আমি এই পোস্টের দৈর্ঘ্যের জন্য আগাম ক্ষমা চাইছি: এটি কিছুটা হতাশার সাথে আমি এটিকে জনসম্মুখে প্রকাশ করতে দিয়েছি কারণ এটি পড়ার জন্য কিছুটা সময় এবং মনোযোগ লাগে এবং নিঃসন্দেহে টাইপোগ্রাফিক ত্রুটি এবং এক্সপোজিটারি ল্যাপস রয়েছে। তবে এখানে এটি তাদের জন্য যারা আকর্ষণীয় বিষয়টিতে আগ্রহী, তারা এই আশায় প্রস্তাব দিয়েছিল যে এটি আপনাকে নিজের প্রতিক্রিয়াগুলিতে আরও বিস্তৃত করার জন্য সিএলটি-র অনেকগুলি অংশের একটি বা একাধিক চিহ্নিত করতে উত্সাহিত করবে।

---

সিএলটি "ব্যাখ্যা" করার বেশিরভাগ প্রচেষ্টা হ'ল চিত্র বা কেবল পুনরুদ্ধার যা এটি দৃsert়ভাবে দাবি করে। একটি সত্যই অনুপ্রবেশকারী, সঠিক ব্যাখ্যার জন্য একটি ভয়াবহ বিষয়গুলি ব্যাখ্যা করতে হবে।

এটি আরও দেখার আগে, আসুন সিএলটি কী বলে তা পরিষ্কার হয়ে আসুন। আপনারা সবাই জানেন, এমন সংস্করণ রয়েছে যা তাদের সাধারণতার চেয়ে আলাদা হয়। সাধারণ প্রসঙ্গটি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির ক্রম, যা সাধারণ সম্ভাবনার জায়গাতে নির্দিষ্ট ধরণের ফাংশন। কঠোরভাবে ধারণ করে এমন স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যাগুলির জন্য, আমি সম্ভাব্য স্থানটিকে পৃথকযোগ্য বস্তুর বাক্স হিসাবে ভাবতে সহায়তা করি। এই বিষয়গুলি কী তা বিবেচ্য নয় তবে আমি তাদের "টিকিট" বলব। টিকিটগুলি পুরোপুরি মিশ্রিত করে এবং একটি বাইরে এঁকে দিয়ে আমরা একটি বাক্সের একটি "পর্যবেক্ষণ" করি; এই টিকিট পর্যবেক্ষণ গঠন করে। পরবর্তী বিশ্লেষণের জন্য এটি রেকর্ড করার পরে আমরা টিকিটটি বাক্সে ফিরিয়ে দেব যাতে এর সামগ্রীগুলি অপরিবর্তিত থাকে। একটি "র্যান্ডম ভেরিয়েবল" হ'ল মূলত প্রতিটি টিকিটে লিখিত একটি নম্বর।

1733 সালে, আব্রাহাম ডি মাইভ্রে একটি একক বাক্সের ক্ষেত্রে বিবেচনা করেছিলেন যেখানে টিকিটের সংখ্যাগুলি কেবল শূন্য এবং একটি ("বার্নোল্লি ট্রায়ালস") রয়েছে, যেখানে প্রতিটি সংখ্যার উপস্থিত রয়েছে। তিনি কল্পনা করেছিলেন যে শারীরিকভাবে স্বতন্ত্র পর্যবেক্ষণগুলি করে, মানগুলির ক্রম নির্ধারণ করে সেগুলি সবই শূন্য বা এক। এই মানগুলির যোগফল , , এলোমেলো কারণ সমষ্টিটির শর্তগুলি। অতএব, আমরা যদি এই পদ্ধতিটি বহুবার পুনরাবৃত্তি করতে পারি তবে বিভিন্ন পরিমাণগুলি ( থেকে মধ্য দিয়ে সম্পূর্ণ সংখ্যা ) বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সি - মোট অনুপাত সহ উপস্থিত হবে। (নীচে হিস্টোগ্রামগুলি দেখুন))x 1 , x 2 , … , x n y n = x 1 + x 2 + … + x n 0 $n$$x_1, x_2, \ldots, x_n$$y_n = x_1 + x_2 + \ldots + x_n$$0$$n$

এখন একটি আশা করবে - এবং এটি সত্য - যে খুব বড় মানের জন্য , সমস্ত ফ্রিকোয়েন্সিগুলি বেশ ছোট হবে। আমরা যদি তাই সাহসী (অথবা নির্বোধ) হিসাবে "একটা সীমা নেওয়া" বা "যাক প্রচেষ্টা হতে ছিল যেতে ", আমরা সঠিকভাবে এই উপসংহারে যে সব ফ্রিকোয়েন্সি কমাতে । কিন্তু যদি আমরা কেবল একটি হিস্টোগ্রাম আঁকা কিভাবে তার অক্ষ লেবেলযুক্ত কোনো মনোযোগ পরিশোধ ছাড়া ফ্রিকোয়েন্সি, আমরা দেখতে পাই যে বৃহৎ জন্য histograms সব একই দেখুন শুরু করুন: কিছু অর্থে, এই histograms একটা সীমা কাছে এমনকি ফ্রিকোয়েন্সি যদিও নিজেরাই সব শূন্যে চলে যায়।n ∞ 0 $n$$n$$\infty$$0$$n$

এই হিস্টোগ্রামগুলি প্রাপ্তির বহুবার পুনরাবৃত্তি করার ফলাফলগুলি চিত্রিত করে । শিরোনামগুলির মধ্যে "পরীক্ষার সংখ্যা"।$y_n$$n$

অন্তর্দৃষ্টিটি হিস্টোগ্রামটি প্রথমে অঙ্কন করা এবং এর অক্ষগুলি পরে লেবেল করা । বৃহত্তর সহ হিস্টোগ্রাম (অনুভূমিক অক্ষের উপরে) এবং ভেন্যালিভাবে ছোট ছোট বিরতি (উল্লম্ব অক্ষের উপরে) কেন্দ্রিক মানের একটি বৃহত পরিসীমা জুড়ে কারণ পৃথক ফ্রিকোয়েন্সিগুলি বেশ ছোট হয় small এই বাঁকটিকে চক্রান্ত ক্ষেত্রের মধ্যে ফিট করার জন্য হিস্টোগ্রামের স্থানান্তর এবং পুনরুদ্ধার উভয়ই প্রয়োজন । এর গাণিতিক বিবরণ হ'ল প্রতিটি আমরা এবং কিছু স্কেল মান অবস্থানের জন্য কিছু কেন্দ্রীয় মান (প্রয়োজনীয় অনন্য নয়!) চয়ন করতেএন / 2 এন এম এন গুলি এন ওয়াই এন z- র এন = ( Y এন - মি এন ) / গুলি $n$$n/2$$n$$m_n$$s_n$এটি অক্ষের মধ্যে ফিট করার জন্য (অগত্যা অনন্য নয়!)। কে পরিবর্তন করে এটি গাণিতিকভাবে করা ।$y_n$$z_n = (y_n - m_n) / s_n$

মনে রাখবেন যে একটি হিস্টোগ্রাম এটির সাথে অনুভূমিক অক্ষের মধ্যবর্তী অঞ্চলগুলি দ্বারা ফ্রিকোয়েন্সিগুলি উপস্থাপন করে । বৃহত্তর মানগুলির জন্য এই হিস্টোগ্রামের শেষ স্থায়িত্ব তাই ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে বলা উচিত should $n$ সুতরাং, আপনার যে কোনও মান অন্তর বেছে নিন, থেকে এবং বাড়ার সাথে সাথে এর হিস্টোগ্রামের অংশের ক্ষেত্রটি ট্র্যাক করুন যা অনুভূমিকভাবে অন্তর বিস্তৃত হয় । সিএলটি বেশ কয়েকটি দেয় জিনিস:b > a $a$$b \gt a$$n$ ( ক , খ $z_n$$(a, b]$

1. কোন ব্যাপার কি এবং হয়,$a$$b$ যদি আমরা নির্বাচন সিকোয়েন্স এবং উপযুক্তভাবে (একটি উপায় যে উপর নির্ভর করে না যে বা সব সময়ে), এই এলাকা প্রকৃতপক্ষে একটা সীমা পন্থা হিসাবে বৃহৎ পায়।s n a a b $m_n$$s_n$$a$$b$$n$

2. এবং সিকোয়েন্সগুলি বেছে নেওয়া যেতে পারে যা কেবলমাত্র উপর নির্ভর করে , বাক্সের মানগুলির গড় এবং সেই মানগুলি ছড়িয়ে দেওয়ার কিছু পরিমাপ - তবে অন্য কিছুই নয় - যাতে বাক্সে যা আছে তা নির্বিশেষে , সীমা সর্বদা একই থাকে। (এই সর্বজনীন সম্পত্তি আশ্চর্যজনক।)এস এন$m_n$$s_n$$n$

3. বিশেষ করে, যে সীমিত এলাকায় বক্ররেখা অধীনে এলাকা মধ্যে এবং : এই যে সার্বজনীন সীমিত হিস্টোগ্রাম এর সূত্র। ক$y = \exp(-z^2/2) / \sqrt{2 \pi}$$a$$b$

   সিএলটির প্রথম সাধারণীকরণ যোগ করে,

4. বাক্সে শূন্য ওগুলি ছাড়াও সংখ্যা থাকতে পারে, ঠিক একই সিদ্ধান্তে ধরা পড়ে (শর্ত থাকে যে বাক্সে অত্যন্ত বড় বা ছোট সংখ্যার অনুপাত "খুব বড়" নয়, একটি মানদণ্ডে যার একটি নির্দিষ্ট এবং সাধারণ পরিমাণগত বিবৃতি রয়েছে) ।

   পরবর্তী সাধারণীকরণ এবং সম্ভবত সবচেয়ে আশ্চর্যজনক এই টিকিটের এই একক বাক্সটিকে টিকিট সহ একটি অনির্দিষ্টকালের জন্য দীর্ঘ দীর্ঘ বাক্সের বাক্সের সাথে প্রতিস্থাপন করে। প্রতিটি বাক্সের টিকিটে বিভিন্ন অনুপাতে বিভিন্ন নম্বর থাকতে পারে। পর্যবেক্ষণটি প্রথম বাক্স থেকে টিকিট আঁকতে তৈরি করা হয়, দ্বিতীয় বাক্স থেকে আসে।x $x_1$$x_2$

5. ঠিক একই সিদ্ধান্তে হোল্ডগুলি সরবরাহ করে যে বাক্সগুলির বিষয়বস্তুগুলি "খুব বেশি আলাদা নয়" (সেখানে অনেকগুলি সুনির্দিষ্ট, তবে পৃথক, "খুব বেশি আলাদা নয়" এর অর্থের পরিমাণগত বৈশিষ্ট্য রয়েছে; তারা আশ্চর্যের পরিমাণে অক্ষাংশের অনুমতি দেয়)।

এই পাঁচটি বক্তব্য, কমপক্ষে, ব্যাখ্যা করা দরকার need আরো আছে. সেটআপের বেশ কয়েকটি আকর্ষণীয় দিক সমস্ত বিবৃতিতে অন্তর্ভুক্ত। উদাহরণ স্বরূপ,

• যোগফল সম্পর্কে বিশেষ কী ? কেন আমাদের গাণিতিক সংখ্যার যেমন তাদের পণ্য বা তাদের সর্বোচ্চের সংখ্যার জন্য কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বগুলি নেই? (এটি প্রমাণিত হয় যে আমরা করি, তবে সেগুলি এতটা সাধারণ নয় এবং সিএলটি-তে হ্রাস না করা তারা সবসময় এ জাতীয় একটি পরিষ্কার, সাধারণ উপসংহার পায়)) এবং এর অনন্য নয় তবে তারা প্রায় অনন্য' re এই অর্থে যে অবশেষে তাদের টিকিটের যোগফলের সমান প্রত্যাশা এবং যথাক্রমে যোগফলের প্রমিত বিচ্যুতি ঘটে (যা, সিএলটি-র প্রথম দুটি বিবৃতিতে, এর মান বিচ্যুতির দ্বিগুণ হয়) বাক্স)। এস এন এন $m_n$$s_n$$n$$\sqrt{n}$

  স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হ'ল মানগুলির প্রসারের এক পরিমাপ, তবে এটি কোনওভাবেই এক নয় বা এটি historতিহাসিকভাবে বা অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য সর্বাধিক "প্রাকৃতিক" নয়। ( উদাহরণস্বরূপ, অনেক লোক মধ্যমা থেকে মধ্যমা পরম বিচ্যুততার মতো কিছু বেছে নেবে ))

• এসডি কেন এমন অপরিহার্য উপায়ে উপস্থিত হয়?

• সীমাবদ্ধ হিস্টোগ্রামের সূত্রটি বিবেচনা করুন: কে এইরকম ফর্ম নেবে বলে আশা করেছিল? এটি বলেছে যে সম্ভাবনার ঘনত্বের লগারিদম একটি চতুর্ভুজ ফাংশন। কেন? এর জন্য কিছু স্বজ্ঞাত বা স্পষ্ট, জোরালো ব্যাখ্যা আছে?

---

আমি স্বীকার করি যে আমি উত্তর সরবরাহের চূড়ান্ত লক্ষ্যে পৌঁছতে পারছি না যা স্বজ্ঞানতা এবং সরলতার জন্য শ্রীকান্তের চ্যালেঞ্জিং মানদণ্ডটি পূরণ করার পক্ষে যথেষ্ট সহজ, তবে আমি এই ব্যাকগ্রাউন্ডটি আঁকিয়ে রেখেছি যে অন্যরা অনেকগুলি শূন্যতার কিছু পূরণ করতে অনুপ্রাণিত হবে। আমি মনে করি যে ভাল একটি বিক্ষোভের পরিণামে কীভাবে এবং মধ্যে এর যোগফল তৈরি করতে পারে তার প্রাথমিক বিশ্লেষণের উপর নির্ভর করতে হবে । সিএলটি-এর একক-বাক্স সংস্করণে ফিরে যাওয়া, প্রতিসামগ্রী বিতরণের ক্ষেত্রে হ্যান্ডেল করা সহজ: এর মাঝারিটি এর গড় সমান হয়, তাই ৫০% সম্ভাবনা রয়েছে যে বাক্সটির গড়ের চেয়ে কম হবে এবং ৫০% সম্ভাবনা রয়েছে যেβ n = বি এস এন + এম এন এক্স 1 + এক্স 2 + ... + এক্স এন এক্স আই এক্স আই$\alpha_n = a s_n + m_n$$\beta_n = b s_n + m_n$$x_1 + x_2 + \ldots + x_n$$x_i$$x_i$তার গড় চেয়ে বড় হবে। তদ্ব্যতীত, যখন পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় হয়, গড় থেকে ইতিবাচক বিচ্যুতিগুলির অর্থ অবশ্যই নেতিবাচক বিচ্যুতির জন্য ক্ষতিপূরণ করা উচিত। (এটির জন্য কেবল হাত বোলানো নয়, কিছু যত্ন সহকারে ন্যায়সঙ্গত হওয়া প্রয়োজন)) সুতরাং আমাদের প্রাথমিকভাবে ইতিবাচক এবং নেতিবাচক বিচ্যুতির সংখ্যা গণনা সম্পর্কে উদ্বিগ্ন হওয়া উচিত এবং কেবল তাদের আকারগুলি সম্পর্কে গৌণ উদ্বেগ থাকতে হবে ।$n$ (আমি এখানে যা লিখেছি সেগুলির মধ্যে, সিএলটি কেন কাজ করে সে সম্পর্কে কিছুটা অন্তর্দৃষ্টি প্রদানের ক্ষেত্রে এটি সবচেয়ে কার্যকর হতে পারে Indeed প্রকৃতপক্ষে, সিএলটি-র সাধারণীকরণকে মূলত মূলত করার জন্য যে প্রযুক্তিগত অনুমান করা দরকার তা হ'ল সম্ভাবনা উড়িয়ে দেওয়ার বিভিন্ন উপায় that বিরল বিশাল বিচ্যুতি সীমাবদ্ধ হিস্টোগ্রাম উত্থান থেকে রোধ করতে যথেষ্ট পরিমাণ ভারসাম্য বিচলিত করবে))

এটি দেখায়, যাইহোক, কিছুটা হলেও, সিএলটি-র প্রথম সাধারণীকরণ কেন এমন কিছু আবিষ্কার করতে পারে না যা ডি মাইভেরের আসল বার্নোল্লি ট্রায়াল সংস্করণে ছিল না।

এই মুহুর্তে দেখে মনে হচ্ছে এটি অল্প গণিত করা ছাড়া আর কিছুই নেই: আমাদের স্বতন্ত্র উপায়গুলির সংখ্যা গণনা করতে হবে যেখানে মধ্য থেকে ধনাত্মক বিচরণের সংখ্যা কোনও পূর্বনির্ধারিত মান দ্বারা নেতিবাচক বিচ্যুতির সংখ্যার থেকে পৃথক হতে পারে সেখানে স্পষ্ট এক । তবে যেহেতু অদৃশ্যভাবে ছোট ত্রুটিগুলি সীমাতে অদৃশ্য হয়ে যাবে, আমাদের সঠিকভাবে গণনা করতে হবে না; আমাদের কেবল হিসাবের আনুমানিক প্রয়োজন। এই লক্ষ্যে এটি জানার পক্ষে যথেষ্টকে - এন , - এন + 2 , … , এন - 2 , $k$$k$$-n, -n+2, \ldots, n-2, n$

$$\text{The number of ways to obtain } k \text{ positive and } n-k \text{ negative values out of } n$$

$$\text{equals } \frac{n-k+1}{k}$$

$$\text{times the number of ways to get } k-1 \text{ positive and } n-k+1 \text { negative values.}$$

(এটি একটি নিখুঁত প্রাথমিক ফলাফল তাই আমি ন্যায়সঙ্গতটি লিখতে বিরক্ত করব না)) এখন আমরা আনুমানিক পাইকার পাই। সর্বাধিক ফ্রিকোয়েন্সি ঘটে যখন যতটা সম্ভব কাছাকাছি থাকে (প্রাথমিকও)। আসুন । তারপরে, সর্বাধিক ফ্রিকোয়েন্সিটির তুলনায় , পজিটিভ বিচ্যুতির ( ) ফ্রিকোয়েন্সিটি পণ্য দ্বারা অনুমান করা হয়এন / 2 মি = ঢ / 2 মি + + ঞ + + 1 ঞ ≥ $k$$n/2$$m = n/2$$m+j+1$$j \ge 0$

$$\frac{m+1}{m+1} \frac{m}{m+2} \cdots \frac{m-j+1}{m+j+1}$$

$$=\frac{1 - 1/(m+1)}{1 + 1/(m+1)} \frac{1-2/(m+1)}{1+2/(m+1)} \cdots \frac{1-j/(m+1)}{1+j/(m+1)}.$$

ডি মাইভ্রে লেখার ১৩৫ বছর আগে জন নেপিয়ার বহুগুণ সহজ করার জন্য লগারিদমগুলি আবিষ্কার করেছিলেন, তাই আসুন এর সুবিধাটি নেওয়া যাক। আনুমানিক ব্যবহার

$$\log\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \sim -2x,$$

আমরা দেখতে পাই যে আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সিটির লগ প্রায় approximately

$$-2/(m+1) - 4/(m+1) - \cdots - 2j/(m+1) = -\frac{j(j+1)}{m+1} \sim -\frac{j^2}{m}.$$

যেহেতু ক্রমযুক্ত ত্রুটি সমানুপাতিক , এটি সাথে তুলনায় ছোট । এটি এর মানগুলির বৃহত্তর পরিসীমাটিকে আবৃত করে । ( কেবলমাত্র the এর অর্ডারে জন্য কাজ করা প্রায় অনুমানের পক্ষে যথেষ্ট, যা asympototically চেয়ে অনেক ছোট ))জ $j^4/m^3$$j^4$ জে জে $m^3$$j$$j$$\sqrt{m}$$m^{3/4}$

---

স্পষ্টতই এই ধরণের আরও অনেক বিশ্লেষণ সিএলটি-র অন্যান্য দৃ as়তা প্রমাণ করার জন্য উপস্থাপন করা উচিত, তবে আমি সময়, স্থান এবং শক্তি শেষ করছি এবং আমি সম্ভবত 90% লোককে হারিয়েছি যারা এইভাবে পড়া শুরু করেছে। যদিও এই সরল আনুমানিকতাটি প্রমাণ করে যে ডি মাইভ্রে কীভাবে মূলত সন্দেহ করতে পারেন যে সেখানে সর্বজনীন সীমাবদ্ধ বিতরণ রয়েছে, এর কার্য, এবং সঠিক স্কেল ফ্যাক্টর অবশ্যই সমানুপাতিক হতে হবে (কারণ )।$s_n$$\sqrt{n}$$j^2/m = 2 j^2 / n = 2 (j/\sqrt{n})^2$ একরকম গাণিতিক তথ্য ও যুক্তি না দিয়ে এই গুরুত্বপূর্ণ পরিমাণগত সম্পর্ককে কীভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে তা কল্পনা করা কঠিন; এর চেয়ে কম কিছু সীমাবদ্ধ বক্ররেখার যথাযথ আকৃতিটি পুরো রহস্যকে ছাড়বে।

Comments

+1 আপনার উত্তর হজম করতে আমার কিছুটা সময় লাগবে। আমি স্বীকার করি যে আমি আরোপিত প্রতিবন্ধকতার মধ্যে সিএলটি-র জন্য অন্তর্দৃষ্টি জিজ্ঞাসা করা প্রায় অসম্ভব হতে পারে।

এটি লেখার জন্য সময় দেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, এটি যে সিএলটি আমি দেখেছি এটি সবচেয়ে কার্যকর সাহায্যে প্রকাশিত এটি গাণিতিকভাবেও খুব অ্যাক্সেসযোগ্য।

— জেরেমি র‌্যাডক্লিফ

হ্যাঁ, বেশ ঘন .... এতগুলি প্রশ্ন। প্রথম হিস্টোগ্রামে কীভাবে 2 টি বার রয়েছে (কেবলমাত্র 1 টি ট্রায়াল ছিল!); আমি কি কেবল তা উপেক্ষা করতে পারি? এবং কনভেনশনটি সাধারণত কোনও হিস্টগ্রামের বারগুলির মধ্যে অনুভূমিক ফাঁকগুলি এড়াতে হয়, তাই না? (কারণ, আপনি যেমনটি বলেছেন, অঞ্চলটি গুরুত্বপূর্ণ, এবং অবশেষে অঞ্চলটি একটি অবিচ্ছিন্ন (অর্থাত্ কোনও ফাঁক নেই) ডোমেনের জন্য গণনা করা হবে)? তাহলে আমিও ফাঁকগুলি এড়িয়ে যাব ...? এমনকি আমি প্রথম যখন এটি বোঝার চেষ্টা করেছি তখনও আমার ফাঁকফোকর ছিল :)

— দ্য রেড মটরটি

@ দ্য রেড আপনার প্রশ্নের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এই পয়েন্টগুলিকে কিছুটা পরিষ্কার করার জন্য আমি এই পোস্টের প্রথম অংশটি সম্পাদনা করেছি।

— whuber

আহ, হ্যাঁ, "" বার বার (এই পুরো পদ্ধতিটি) পুনরাবৃত্তি করা হয়েছে "দিয়ে আমি" পরীক্ষার সংখ্যা = = "পর্যবেক্ষণ" " গুলিয়ে ফেলেছি "। সুতরাং যদি কোনও টিকিটের কেবল দুটি বা দুটি মানের মান 0 বা 1 হতে পারে এবং আপনি কেবল একটি টিকিট পর্যবেক্ষণ করেন , এই টিকিটের মানগুলির যোগফল কেবল দুটি জিনিসের মধ্যে একটি হতে পারে: 0, বা 1 । সুতরাং আপনার প্রথম হিস্টোগ্রামে দুটি বার রয়েছে। তদুপরি, এই বারগুলি উচ্চতা প্রায় সমান কারণ আমরা আশা করি যে 0 এবং 1 সমান অনুপাতের মধ্যে ঘটবে। $n$

— রেড মটর

Answer 2

আমি জানি যে সর্বোত্তম অ্যানিমেশন: http://www.ms.uky.edu/~mai/java/stat/GaltonMachine.html

আমি পড়েছি সবচেয়ে সহজ শব্দ: http://elonen.iki.fi/articles/centrallimit/index.en.html

যদি আপনি এই দশটি নিক্ষেপের ফলাফলগুলি যোগ করেন তবে আপনি যা পাবেন সম্ভবত সর্বোচ্চের চেয়ে 30-40 এর কাছাকাছি, 60 (সমস্ত ছক্কা) বা অন্যদিকে, মিনিমাম, 10 (সমস্ত) to

এর কারণ হ'ল আপনি চূড়ান্ততার চেয়ে অনেকগুলি ভিন্ন উপায়ে মধ্যবর্তী মানগুলি পেতে পারেন। উদাহরণ: দুটি পাশা নিক্ষেপ করার সময়: 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 7, তবে কেবল 1 + 1 = 2 এবং কেবল 6 + 6 = 12।

এটি হ'ল: একটি ডাই নিক্ষেপ করার সময় আপনি ছয়টি সংখ্যার সমান সম্ভাবনা পেয়েও, চূড়াগুলি বেশ কয়েকটি পাশের অঙ্কের মাঝারি মানের চেয়ে কম সম্ভাব্য।

Answer 3

অন্তর্দৃষ্টি একটি কৃপণ জিনিস। এটি আমাদের পিঠে পিছনে বাঁধা তত্ত্বের সাথে আরও জটিল।

সিএলটি হ'ল ক্ষুদ্র, স্বাচ্ছন্দ্য বিঘ্নের পরিমাণ। নমুনার অর্থে "যোগগুলি" অর্থ, কেন্দ্রীয় (জনসংখ্যার) মানের কাছাকাছি সীমাবদ্ধ বিচ্যুতি (জনসংখ্যার) অর্থে "ক্ষুদ্র" এবং "গণ্ডগোল"।

আমার জন্য, যে ডিভাইসটি প্রত্যক্ষভাবে অন্তর্দৃষ্টিগুলির কাছে আবেদন করে তা হ'ল কুইঞ্চুনস বা 'গ্যাল্টন বাক্স', উইকিপিডিয়া দেখুন ('বিন মেশিন'-এর জন্য?) ধারণাটি একটি জালির দ্বারা সজ্জিত বোর্ডের মুখের নীচে একটি ছোট্ট ছোট্ট বলটি রোল করা উচিত idea সমান দুরত্ব পিনের। বলের নীচে যাওয়ার পথে ডান এবং বাম দিকে (... এলোমেলোভাবে, স্বতন্ত্রভাবে) ডাইভার্ট করে নীচে সংগ্রহ করে। সময়ের সাথে সাথে আমরা আমাদের চোখের সামনে একটি দুর্দান্ত বেল আকৃতির oundিবি ফর্মটি দেখতে পাই।

সিএলটি একই কথা বলে। এটি এই ঘটনার গাণিতিক বিবরণ (আরও স্পষ্টভাবে বলতে গেলে, কুইঞ্চাক্স দ্বিপদী বিতরণের স্বাভাবিক আনুমানিকতার শারীরিক প্রমাণ)। স্বাচ্ছন্দ্যে বলতে গেলে, সিএলটি বলেছে যে যতক্ষণ না আমাদের জনসংখ্যা অত্যধিক দুর্ব্যবহার না করা হয় (অর্থাত্ যদি পিডিএফের লেজগুলি পর্যাপ্ত পরিমাণে পাতলা থাকে), তবে নমুনাটির অর্থ (সঠিকভাবে মাপা) ঠিক সেই ছোট্ট বলের মতো ঠিক তেমন আচরণ করে যা মুখটি নীচু করে ncing পঞ্চম: কখনও কখনও এটি বাম দিকে পড়ে, কখনও কখনও এটি ডানদিকে পড়ে যায়, তবে বেশিরভাগ সময় এটি মাঝখানে প্রায় ডানদিকে নেমে যায়, একটি দুর্দান্ত ঘন্টার আকারে।

সিএলটি (আমার কাছে) মহিমা হ'ল অন্তর্নিহিত জনগোষ্ঠীর আকৃতি অপ্রাসঙ্গিক। আকারটি কেবলমাত্র ইনফার একটি ভূমিকা পালন করে কারণ এটি আমাদের অপেক্ষা করতে হবে দীর্ঘ সময়ের (নমুনা আকারের অর্থে) প্রতিনিধিত্ব করে।

Answer 4

সিএলটি সম্পর্কিত একটি পর্যবেক্ষণ নিম্নলিখিত হতে পারে। যখন আপনার একটি যোগফল এলোমেলো উপাদানগুলির একটি, যদি কোনও "স্বাভাবিকের চেয়ে ছোট" হয় তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে এটি অন্য কিছু উপাদান "স্বাভাবিকের চেয়ে বড়" হয়ে ক্ষতিপূরণ করে mostly । অন্য কথায়, উপাদান থেকে নেতিবাচক বিচ্যুতি এবং ইতিবাচক বিচ্যুতির অর্থ সামিটে একে অপরকে বাতিল করে। ব্যক্তিগতভাবে, আমার কোনও স্পষ্ট-অন্তর্নিহিত জ্ঞান নেই কেন ঠিক অবশিষ্ট বিচ্যুতিগুলি এমন একটি বিতরণ তৈরি করে যা আপনার আরও শর্তাদির সাথে আরও সাধারণ দেখায়।

$$S = X_1 + X_2 + \ldots + X_n$$

সিএলটির অনেকগুলি সংস্করণ রয়েছে, কিছু অন্যের চেয়ে শক্তিশালী, কিছু স্বাচ্ছন্দ্যের সাথে শর্তাদি এবং / অথবা শর্তগুলির জন্য / বা অ-অভিন্ন বন্টনগুলির মধ্যে একটি মাঝারি নির্ভরশীলতা। সিএলটি-র সবচেয়ে সহজ-প্রমাণিত সংস্করণগুলিতে প্রমাণটি সাধারণত সমষ্টি এর মুহুর্ত-উত্পন্ন ফাংশন (বা ল্যাপ্লেস-স্টিলটিজস ট্রান্সফর্ম বা ঘনত্বের কিছু অন্যান্য উপযুক্ত রূপান্তর) এর উপর ভিত্তি করে থাকে । এটিকে টেলর সম্প্রসারণ হিসাবে লেখা এবং কেবল সর্বাধিক প্রভাবশালী শব্দ রাখা আপনার স্বাভাবিক বন্টনের মুহূর্ত-উত্পন্ন কার্য দেয়। ব্যক্তিগতভাবে আমার জন্য, স্বাভাবিকতা এমন কিছু যা সমীকরণগুলির একটি গোছা থেকে অনুসরণ করে এবং আমি এর চেয়ে আরও কোনও স্বজ্ঞাত সরবরাহ করতে পারি না।$S$

এটা লক্ষনীয় তবে যে সমষ্টি এর বন্টন, কখনো সত্যিই হয় স্বাভাবিকভাবে বিতরণ, কিংবা CLT দাবী করেন যে এটি হবে না। যদি সসীম হয় তবে এখনও সাধারণ বিতরণের কিছুটা দূরত্ব আছে এবং যদি এন = ∞ উভয় গড় এবং ভিন্নতা অসীমও হয়। পরবর্তী ক্ষেত্রে আপনি অসীম অঙ্কের অর্থ গ্রহণ করতে পারেন, তবে তারপরে আপনি কোনও বিড়ম্বনা ছাড়াই একটি নির্বোধ সংখ্যা পাবেন যা "সাধারণত বিতরণ করা" হিসাবে খুব কমই লেবেলযুক্ত হতে পারে।$n$$n=\infty$

এটি সিএলটি ব্যবহারিক প্রয়োগে সমস্যা সৃষ্টি করতে পারে। সাধারণত, যদি আপনি এর কেন্দ্রের নিকটবর্তী বিতরণে আগ্রহী হন , সিএলটি সূক্ষ্মভাবে কাজ করে। যাইহোক, স্বাভাবিকের সাথে রূপান্তর সর্বত্র অভিন্ন নয় এবং আরও আপনি কেন্দ্র থেকে দূরে সরে যাবেন, আরও শর্তাদির আপনার যুক্তিসঙ্গত আনুমানিক প্রয়োজন।$S/n$

পরিসংখ্যানগুলিতে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের সমস্ত "পবিত্রতা" থাকায় এর সীমাবদ্ধতাগুলি প্রায়শই খুব সহজেই উপেক্ষা করা হয়। নীচে আমি আমার কোর্স থেকে দুটি স্লাইড দিচ্ছি যে বিন্দুতে সিএলটি পুরোপুরি ব্যর্থ হয়, যে কোনও ব্যবহারিক ব্যবহারের ক্ষেত্রে। দুর্ভাগ্যক্রমে, প্রচুর লোক জেনেশুনে বা অন্যথায় লেজের সম্ভাব্যতাগুলি অনুমান করার জন্য বিশেষত সিএলটি ব্যবহার করে।

Comments

এটি দুর্দান্ত উপাদান এবং বুদ্ধিমান পরামর্শ। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি এটিকে উজ্জীবিত করতে পারি না, কারণ "এই স্বাভাবিকতাটি একটি গাণিতিক নিদর্শন এবং আমি মনে করি যে এর পিছনে কোনও গভীর সত্য বা স্বজ্ঞাততা অনুসন্ধান করা কার্যকর হবে না" গভীর উদ্বেগজনক। তারা বলে মনে হয় যে (1) তাত্ত্বিকভাবে আমাদের সহায়তা করার জন্য আমাদের গাণিতিকের উপর নির্ভর করা উচিত নয় এবং (2) প্রথমদিকে গণিতটি বোঝার কোনও মানে নেই। আমি আশা করি যে এই থ্রেডের অন্যান্য পোস্টগুলি ইতিমধ্যে দ্বিতীয় দাবিটি অস্বীকার করার দিকে অনেক এগিয়ে গেছে। প্রথমটি স্ব-অসামঞ্জস্যপূর্ণ এটি আরও বিশ্লেষণ সহ্য করে না।

— শুক্র

@whuber। আপনারা ঠিক বলেছেন, আমি সম্ভবত আমার লিগের বাইরে আছি। আমি সম্পাদনা করব।

— StijnDeVuyst

সমস্যাযুক্ত অংশটি পুনর্বিবেচনা করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ এবং বাকিদের জন্য একটি বড় +1।

— হুবুহু

Answer 5

এই উত্তরটি সহজ ক্যালকুলাস কৌশলগুলি (অর্ডার 3 এর টেলর সম্প্রসারণ) ব্যবহার করে কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের একটি স্বজ্ঞাত অর্থ দেওয়ার আশাবাদী। এই রূপরেখাটি এখানে:

1. সিএলটি কী বলে
2. সাধারণ ক্যালকুলাস ব্যবহার করে সিএলটির একটি স্বজ্ঞাত প্রমাণ
3. কেন সাধারণ বিতরণ?

আমরা একেবারে শেষে সাধারণ বিতরণ উল্লেখ করব; কারণ অবশেষে সাধারণ বিতরণটি আসার বিষয়টি খুব স্বজ্ঞাততা দেয় না।

১. কেন্দ্রীয় সীমা তত্ত্বটি কী বলে? সিএলটি-র বেশ কয়েকটি সংস্করণ

সিএলটি-র বেশ কয়েকটি ইউভিল্যান্ট সংস্করণ রয়েছে। সিএলটির পাঠ্যপুস্তকের বিবৃতিতে বলা হয়েছে যে কোনও বাস্তব $x$ এবং স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X_1,\cdots,X_n$ যে কোনও অনুক্রমের জন্য শূন্য-গড় এবং ভেরিয়েন্স 1, সিএলটি সম্পর্কেসর্বজনীনএবংস্বজ্ঞাত কী তা বোঝার জন্যআসুন আমরা এক মুহুর্তের জন্য সীমাটি ভুলে যাই। উপরের বিবৃতিতে বলা হয়েছে যে যদিএক্স1। ,…,এক্সএন এবংজেড1,…,জেডএনদুটি শূন্য-গড় এবং ভেরিয়েন্স 1 সহ স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলের দুটি ক্রম, তারপরে E[f(এক্স1+⋯+এক্স

$$P\left(\frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n} \le x\right) \to_{n\to+\infty} \int_{-\infty}^x \frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2\pi}} dt.$$ $X_1.,\ldots,X_n$$Z_1,\ldots,Z_n$ প্রত্যেক সূচকটি ফাংশন জন্যচফর্মের, কিছু সংশোধন করা হয়েছে কি বাস্তবিকএক্স, চ(T)= { 1  যদি  টন < এক্স 0  যদি  টন ≥ এক্স । পূর্ববর্তী ডিসপ্লেটিতে এক্স 1 ,…, এক্স এন এবং জেড 1 ,…, জেড এন এর নির্দিষ্ট বিতরণে সীমা সমান হ'ল সত্যটি প্রকাশিত হয়েছে $$E \left[ f\left(\tfrac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n}\right) \right] - E \left[ f\left(\tfrac{Z_1+\cdots+Z_n}{\sqrt n}\right) \right] \to_{n\to+\infty} 0$$ $f$$x$ $$\begin{equation} f(t) = \begin{cases} 1 \text{ if } t < x \\ 0 \text{ if } t\ge x.\end{cases} \end{equation}$$ $X_1,\ldots,X_n$$Z_1,\ldots,Z_n$তবে শর্ত থাকে যে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি গড় শূন্য, বৈকল্পিক একের সাথে স্বাধীন।

সিএলটি-র কিছু অন্যান্য সংস্করণে লিপ্সটিজ ফাংশনগুলির শ্রেণীর উল্লেখ রয়েছে যা 1 দ্বারা আবদ্ধ; সিএলটি-র কিছু অন্যান্য সংস্করণে অর্ডার $k$ এর সীমাবদ্ধ ডেরাইভেটিভ সহ মসৃণ ফাংশনগুলির শ্রেণীর উল্লেখ রয়েছে । বিবেচনা করুন দুই সিকোয়েন্স $X_1,\ldots,X_n$ এবং $Z_1,\ldots,Z_n$ উপরের হিসাবে, এবং কিছু ফাংশন জন্য $f$ , অভিসৃতি ফলাফল (পরিবর্তন)

$$E \left[ f\left(\tfrac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n}\right) \right] - E \left[ f\left(\tfrac{Z_1+\cdots+Z_n}{\sqrt n}\right) \right] \to_{n\to+\infty} 0 \tag{CONV}$$

নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলির মধ্যে সমতা ("যদি এবং কেবলমাত্র") স্থাপন করা সম্ভব:

1. $f$$f(t)=1$$t < x$$f(t)=0$$t\ge x$$x$
2. $f:R\to R$
3. $C^{\infty}$
4. $f$$\sup_{x\in R} |f'''(x)| \le 1$

উপরের চারটি পয়েন্টের প্রত্যেকটি বলে যে এই রূপান্তরটি একটি বৃহত শ্রেণির ফাংশনগুলির জন্য ধারণ করে। একটি প্রযুক্তিগত আনুমানিক যুক্তি দ্বারা, কেউ দেখায় যে উপরের চারটি পয়েন্ট সমতুল্য, আমরা পাঠককে ডেভিড পোলার্ডের বইয়ের Chapter of নং পৃষ্ঠায় পড়ি, যা থেকে এই উত্তরটি অত্যন্ত অনুপ্রাণিত হয় তাত্ত্বিক সম্ভাবনাগুলি পরিমাপের গাইড ।

এই উত্তরটির অবশিষ্টাংশের জন্য আমাদের অনুমান ...

$\sup_{x\in R} |f'''(x)| \le C$$C>0$$E[|X_i|^3]$$E[|Z_i|^3]$

2. এর মান)$E\left[ f\left( \tfrac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n} \right) \right]$$X_1,...,X_n$

$X_1,\ldots,X_n$$Z_1,\ldots,Z_n$

$X_i$$Z_i$$W = Z_1+\cdots+Z_{n-1}$$h(x)=f(x/\sqrt n)$

$$\begin{align} h(Z_1+\cdots+Z_{n-1}+X_n) &= h(W) + X_n h'(W) + \frac{X_n^2 h''(W)}{2} + \frac{X_n^3/h'''(M_n)}{6} \\ h(Z_1+\cdots+Z_{n-1}+Z_n) &= h(W) + Z_n h'(W) + \frac{Z_n^2 h''(W)}{2} + \frac{Z_n^3 h'''(M_n')}{6} \\ \end{align}$$ যেখানে$M_n$এবং$M_n'$$X_n$$W$$E[X_n h'(W)]= E[X_n] E[h'(W)] =0$

$$\frac{(C/6)E[ |X_n|^3 + |Z_n|^3 ]}{(\sqrt n)^3}.$$ $C$$f'''$$(\sqrt{n})^3$$h'''(t) = f'''(t/\sqrt n)/(\sqrt n)^3$$X_n$$Z_n$

$X_{n-1}$$Z_{n-1}$$\tilde W= Z_1+Z_2+\cdots+Z_{n-2} + X_n$

$$\begin{align} h(Z_1+\cdots+Z_{n-2}+X_{n-1}+X_n) &= h(\tilde W) + X_{n-1} h'(\tilde W) + \frac{X_{n-1}^2 h''(\tilde W)}{2} + \frac{X_{n-1}^3/h'''(\tilde M_n)}{6}\\ h(Z_1+\cdots+Z_{n-2}+Z_{n-1}+X_n) &= h(\tilde W) + Z_{n-1} h'(\tilde W) + \frac{Z_{n-1}^2 h''(\tilde W)}{2} + \frac{Z_{n-1}^3/h'''(\tilde M_n)}{6}. \end{align}$$ $Z_{n-1}$$\tilde W$$X_{n-1}$$\tilde W$

$$\frac{(C/6)E[ |X_{n-1}|^3 + |Z_{n-1}|^3 ]}{(\sqrt n)^3}.$$ $Z_i$$X_i$$n$ $$\Big| E\left[ f\left( \tfrac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n} \right) \right]-E\left[ f\left( \tfrac{Z_1+\cdots+Z_n}{\sqrt n} \right) \right] \Big| \le n \frac{(C/6)\max_{i=1,\ldots,n} E[ |X_i|^3 + |Z_i|^3 ]}{(\sqrt n)^3}.$$ $n$$X_1,\ldots,X_n$$Z_1,\ldots,Z_n$$X_i$$Z_i$$O(1/(\sqrt n)^3)$$X_i$$Z_i$$O(1/\sqrt n)$

$E\left[ f\left( \frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n} \right) \right]$$X_1,\ldots,X_n$$E[X_i]=E[Z_i]=0,E[Z_i^2]=E[X_i^2]=1$

৩. সাধারণ বিতরণ কেন?

$E\left[ f\left( \frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n} \right) \right]$$X_i$$O(1/\sqrt n)$

তবে অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য, এ জাতীয় পরিমাণ গণনা করা কার্যকর হবে। এই পরিমাণ জন্য একটি সহজ অভিব্যক্তি পেতে এটিও কার্যকর হবে$E\left[ f\left( \frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n} \right) \right]$

$X_1,\ldots,X_n$$(X_1+\cdots+X_n)/\sqrt n$

$N(0,1)$$Z_1,\ldots,Z_n$$N(0,1)$$\frac{Z_1+\cdots+Z_n}{\sqrt n}$$N(0,1)$$n$$Z\sim N(0,1)$

$$E\left[ f\left( \frac{Z_1+\cdots+Z_n}{\sqrt n} \right) \right] = E[ f(Z)],$$ $X_1,\ldots,X_n$$E[X_i]=0,E[X_i^2]=1$

$$\left| E\left[ f\left( \frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt n} \right) \right] -E[f(Z) \right| \le \frac{\sup_{x\in R} |f'''(x)| \max_{i=1,\ldots,n} E[|X_i|^3 + |Z|^3]}{6\sqrt n}.$$

Comments

আপনি একটি দৃser়ভাবে বলে মনে হচ্ছে সিএলটি-র পরিবর্তে প্রচুর সংখ্যক আইন ।

— whuber

$E[f((X_1+...+X_n)/\sqrt n)]$$E[f(Z)]$$Z\sim N(0,1)$$f$ । এটি সিএলটি।

— jlewk

আমি বুঝছি তুমি কি বলতে চাও. আমাকে যা বিরতি দেয় তা হ'ল আপনার দাবিটি কেবল প্রত্যাশা নিয়ে বিতরণ নয়, অন্যদিকে সিএলটি একটি সীমিত বন্টন সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিয়েছে। দুজনের মধ্যে সমতা তাত্ক্ষণিকভাবে অনেকের কাছেই স্পষ্ট হয় না। তাহলে আমি কি পরামর্শ দেব যে আপনি বিতরণ সীমাবদ্ধ করার ক্ষেত্রে আপনার বিবৃতি এবং সিএলটি-র সাধারণ বিবৃতিগুলির মধ্যে একটি স্পষ্ট সংযোগ সরবরাহ করবেন? (উপায়ে +1: এই যুক্তিটি বিশদ দেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ thank)

— হুবুহু

Answer 6

আমি একটি স্বজ্ঞাত সংস্করণ নিয়ে আসার চেষ্টা ছেড়ে দিয়েছি এবং কিছু সিমুলেশন নিয়ে এসেছি। আমার কাছে এমন একটি রয়েছে যা একটি কুইনাকংসের সিমুলেশন উপস্থাপন করে এবং এমন কিছু লোক যা দেখায় যে কীভাবে একটি কাঁচা কাঁচা প্রতিক্রিয়ার সময় বিতরণ কীভাবে সাধারণ হয়ে উঠবে যদি আপনি প্রতি বিষয়ে পর্যাপ্ত আরটি সংগ্রহ করেন। আমি মনে করি তারা সহায়তা করে তবে তারা এই বছর আমার ক্লাসে নতুন এবং আমি এখনও প্রথম পরীক্ষায় গ্রেড হয়নি।

একটি জিনিস যা আমি ভাল বলে মনে করেছি তা হ'ল বৃহৎ সংখ্যার আইনও প্রদর্শন করতে সক্ষম হয়েছিল। আমি ছোট নমুনা মাপের সাথে পরিবর্তনশীল জিনিসগুলি কীভাবে তা প্রদর্শন করতে পারি এবং তারপরে তারা কীভাবে বড়গুলির সাথে স্থিতিশীল হয় তা প্রদর্শন করতে পারি। আমি পাশাপাশি অন্যান্য বিশাল সংখ্যক ডেমোও করি। আমি এলোমেলো প্রক্রিয়াগুলির সংখ্যা এবং নমুনাগুলির সংখ্যার মধ্যে কুইচুনাক্সে মিথস্ক্রিয়াটি প্রদর্শন করতে পারি।

(আমার ক্লাসে একটি চাক বা সাদা বোর্ড ব্যবহার করতে সক্ষম না হওয়া একটি আশীর্বাদ হতে পারে)

Comments

হাই জন: প্রায় নয় বছর পর এই পোস্টটি দিয়ে আপনাকে দেখতে দেখতে ভালো লাগল! আপনার কাছে সিএলটি এবং এলএলএনগুলির ধারণা শেখানোর জন্য সিমুলেশনগুলির ব্যবহারের সাথে ইতিমধ্যে যে অভিজ্ঞতাগুলি হয়েছিল সেগুলি সম্পর্কে পড়তে আগ্রহী হবে।

— হোবার

আমি এক বছর পরে সেই ক্লাসটি পড়া বন্ধ করে দিয়েছিলাম তবে পরবর্তী প্রশিক্ষক সিমুলেশন ধারণাটি গ্রহণ করেছিলেন। প্রকৃতপক্ষে, তিনি এটিকে আরও দূরে বহন করেন এবং চকচকে অ্যাপ্লিকেশনগুলির ক্রম বিকাশ করেছেন এবং শিক্ষার্থীরা 250 ব্যক্তি শ্রেণিতে ভারী জিনিসগুলির জন্য সিমুলেশন নিয়ে খেলেন। উচ্চশ্রেণীর পাঠদানের কাছাকাছি যতটুকু বলতে পারি ততই শিক্ষার্থীরা এ থেকে অনেক কিছু অর্জন করবে বলে মনে হচ্ছে। তার ছাত্র এবং সমমানের ফিডার ক্লাসগুলির মধ্যে পার্থক্য লক্ষণীয়। (তবে, অবশ্যই সেখানে প্রচুর অনিয়ন্ত্রিত ভেরিয়েবল রয়েছে)

— জন

আপনাকে ধন্যবাদ, জন। কোনও ক্লাস শেষ হওয়ার পরেও দীর্ঘস্থায়ী ছাত্রদের পারফরম্যান্স সম্পর্কে এমনকী মতামত পাওয়া এত অস্বাভাবিক যে আমি আগ্রহের এই সীমিত তথ্যটিও পাই।

— whuber

Answer 7

আপনি যখন একসাথে প্রচুর হিস্টোগ্রাম যুক্ত করেন তখন আপনি হয় সাধারণ বিতরণ আকারটি বজায় রাখুন কারণ পৃথক হিস্টোগ্রামের সমস্ত ইতিমধ্যে সেই আকার থাকে বা আপনি সেই আকারটি পান কারণ পৃথক হিস্টোগ্রামে ওঠানামা যদি আপনি একটি বৃহত যোগ করেন তবে একে অপরকে বাতিল করে দেয় হিস্টোগ্রামের সংখ্যা। একটি ভেরিয়েবলের এলোমেলো বিতরণের একটি হিস্টোগ্রাম ইতিমধ্যে প্রায় এমনভাবে বিতরণ করা হয় যে লোকেরা সাধারণ বিতরণটিকে কল করতে শুরু করেছে কারণ এটি খুব সাধারণ এবং এটি কেন্দ্রীয় সীমাবদ্ধ তত্ত্বের একটি মাইক্রোকস্ম।

এটি পুরো গল্প নয় তবে আমি মনে করি এটি যতটা স্বজ্ঞাত তা পাওয়া যায়।

Comments

$2$

$\frac 18, \frac 14, \frac 12, \frac 14, \frac 18$