গাউসিয়ান আরবিএফ কার্নেলের জন্য কোনও সীমাবদ্ধ-বৈশিষ্ট্যযুক্ত স্থান নেই তা কীভাবে প্রমাণ করবেন?

Question

কীভাবে এটি রেডিয়াল ভিত্তিক ফাংশন k ( x , y ) = exp ( - | | x - y | | 2 ) এর জন্য প্রমাণ করতে হয়কিছু নেই সসীম-মাত্রিক বৈশিষ্ট্য স্থানএইচকিছু যে এই ধরনেরΦ:আরএন→এইচআমরা আছেট(এক্স,Y)=⟨Φ(এক্স),Φ(Y)$k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$ ?

Comments

এই প্রশ্নটি কি গণিতের জন্য আরও উপযুক্ত?

— লিও

আক্রমণের সম্ভাব্য পরিকল্পনা হ'ল একটি উপ-স্থান দেখানো যা বন্ধ নয়। $H$

— নিক

@ নিক অ্যালজার: সম্ভবত এটি সহায়তা করে: stats.stackexchange.com/questions/80398/…

Answer 1

মুর-Aronszajn উপপাদ্য গ্যারান্টী বা নিশ্চয়তা দিচ্ছে যে একটি প্রতিসম ইতিবাচক নির্দিষ্ট কার্নেল একটি অনন্য প্রতিলিপি কার্নেল হিলবার্ট স্পেস যুক্ত করা হয়। (দ্রষ্টব্য যে আরকেএইচএস অনন্য থাকা অবস্থায় ম্যাপিংটি নিজেই নয়))

অতএব, গাউসীয় কর্নেল (বা আরবিএফ) এর সাথে সম্পর্কিত একটি অসীম মাত্রিক আরকেএইচএস প্রদর্শন করে আপনার প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যেতে পারে। স্টেইনওয়ার্ট এট আল " গাউসিয়ান আরবিএফ কার্নেলের পুনরুত্পাদন কার্নেল হিলবার্ট স্পেসগুলির একটি স্পষ্ট বিবরণ " এ আপনি এর গভীরতর অধ্যয়ন সন্ধান করতে পারেন ।

Answer 2

ধরে নিন যে গাউসিয়ান আরবিএফ কার্নেল $k(x, y)$ ডোমেনে সংজ্ঞায়িত করা হয় $X \times X$ কোথায় $X$অসীম সংখ্যক ভেক্টর রয়েছে। যে কোনও স্বতন্ত্র ভেক্টরগুলির জন্য কোনও সেট ( গাউসিয়ান কার্নেলস, তারা পুরো পদমর্যাদায় কেন? ) প্রমাণ করতে পারে$x_1, ..., x_m \in X$ জরায়ু $(k(x_i, x_j))_{m \times m}$ একক নয়, যার অর্থ ভেক্টর $\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$রৈখিক স্বাধীন। সুতরাং, একটি বৈশিষ্ট্য স্থান$H$ কার্নেলের জন্য $k$ সীমিত সংখ্যার মাত্রা থাকতে পারে না।

Comments

এখানে আপনি আরও একটি 'স্বজ্ঞাত' ব্যাখ্যা পেয়ে গেছেন যে এটি $\Phi$অসীম প্রশিক্ষণের নমুনার জন্য এমনকি প্রশিক্ষণের নমুনার আকারের সমান মাত্রার মানচিত্রকে মানচিত্র তৈরি করতে পারে: stats.stackexchange.com/questions/80398/…