গণিতকে কার্যকারিতা কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়?

দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মধ্যে কার্যকারক সম্পর্কের গাণিতিক সংজ্ঞা কী?

দুটি এবং এলোমেলো ভেরিয়েবল $X$ এবং $Y$ যৌথ বিতরণ থেকে একটি নমুনা দেওয়া হয়েছে , আমরা কখন বলব যে $X$ কারণে $Y$ ?

প্রসঙ্গে, আমি কার্যকারণ আবিষ্কার সম্পর্কে এই কাগজটি পড়ছি ।

machine-learning causality

— জেন
সূত্র

যতদূর আমি দেখতে পাচ্ছি কার্যকারিতা একটি গাণিতিক ধারণা নয়। আপনি স্পষ্ট করতে সম্পাদনা করতে পারেন?

— mdewey

@ এমডেউয়ে আমি একমত নই কার্যকারিতা পুরোপুরি আনুষ্ঠানিক পদে নগদ করা যায়। যেমন আমার উত্তর দেখুন।

— কোডিওলজিস্ট

উত্তর:

দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মধ্যে কার্যকারক সম্পর্কের গাণিতিক সংজ্ঞা কী?

গাণিতিকভাবে, একটি কার্যকারী মডেল ভেরিয়েবলের মধ্যে কার্যকরী সম্পর্ক নিয়ে গঠিত । উদাহরণস্বরূপ, নীচে কাঠামোগত সমীকরণগুলির সিস্টেমটি বিবেচনা করুন:

x = f_{x} (ϵ_{x}) y = f_{y} (x, ϵ_{y})

$x = f_x(\epsilon_{x})\\ y = f_y(x, \epsilon_{y})$

এর অর্থ হল যে $x$ কার্যক্রমে $y$ এর মান নির্ধারণ করে (আপনি যদি $x$ উপর হস্তক্ষেপ করেন তবে এটি $y$ এর মান পরিবর্তন করে ) তবে অন্যভাবে নয়। গ্রাফিকালি, এটি সাধারণত $x \rightarrow y$ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যার অর্থ $x$ y এর কাঠামোগত সমীকরণে প্রবেশ করে। সংযোজন হিসাবে, আপনি কাউন্টারফ্যাক্টুয়াল ভেরিয়েবলগুলির যৌথ বিতরণের ক্ষেত্রে একটি কার্যকারণ মডেলও প্রকাশ করতে পারেন, যা কার্যকরী মডেলের সাথে গাণিতিক সমতুল্য ।

দুটি এবং এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স এবং ওয়াইয়ের যৌথ বিতরণ থেকে একটি নমুনা দেওয়া হয়েছে, আমরা কখন বলব যে X এর কারণে Y হয়?

কখনও কখনও (অথবা সময়ের সবচেয়ে) আপনি কাঠামোগত সমীকরণ আকৃতি সম্পর্কে জ্ঞান নেই $f_{x}$ , $f_y$ , এমনকি কিনা $x\rightarrow y$ বা $y \rightarrow x$ । আপনার কাছে কেবলমাত্র তথ্য হ'ল যৌথ সম্ভাব্যতা বিতরণ $p(y,x)$ (বা এই বিতরণ থেকে নমুনা)।

এটি আপনার প্রশ্নের দিকে পরিচালিত করে: আমি কখন ডেটা থেকে কার্যকারিতার দিকটি পুনরুদ্ধার করতে পারি? অথবা, আরও স্পষ্টভাবে, আমি কখন পুনরুদ্ধার করতে পারি যে $x$ কেবলমাত্র ডেটা থেকে $y$ এর স্ট্রাকচারাল সমীকরণে প্রবেশ করে কিনা ?

অবশ্যই, কার্যকারণীয় মডেল সম্পর্কে কোনও মৌলিকভাবে অস্থির ধারণা অনুমান করা ছাড়া এটি অসম্ভব । সমস্যাটি হ'ল বেশ কয়েকটি ভিন্ন কার্যকারিতা মডেল পর্যবেক্ষণযোগ্য ভেরিয়েবলগুলির একই যৌথ সম্ভাব্যতা বিতরণ করতে পারে। সবচেয়ে সাধারণ উদাহরণ গাউস শব্দ সহ একটি কার্যকরী রৈখিক সিস্টেম।

তবে কিছু কার্যকারণ অনুমানের অধীনে এটি সম্ভবত সম্ভব হতে পারে --- এবং এটিই কার্যকারণ আবিষ্কারের সাহিত্য কাজ করে। এই বিষয়ে আপনার যদি পূর্বের কোনও এক্সপোজার না থাকে তবে আপনি পিটারস, জ্যানজিং এবং শোকলকফের এলিজেন্টস অব কৌজাল ইনফারেন্স থেকে শুরু করতে পারেন , পাশাপাশি জুডিয়া পার্ল দ্বারা কার্যকারিতা থেকে দ্বিতীয় অধ্যায়ে শুরু করতে পারেন । আমরা আশা করি আপনি কার্যকারণ আবিষ্কার এর রেফারেন্সগুলির সিভি এখানে একটি বিষয় , কিন্তু আমরা এখনো তালিকাভুক্ত অনেক রেফারেন্স হবে না।

সুতরাং, আপনার প্রশ্নের কেবল একটি উত্তর নেই, কারণ এটি কোনও অনুমানের উপর নির্ভর করে। আপনি যে কাগজটির কথা উল্লেখ করেছেন তাতে কিছু উদাহরণ দেওয়া হয়েছে যেমন গাউসিয়ান শব্দহীন একটি রৈখিক মডেল ধরে নেওয়া । এই কেসটি লিংগান নামে পরিচিত (লিনিয়ার নন- গাউশিয়ান অ্যাসাইক্লিক মডেলের পক্ষে সংক্ষিপ্ত), এখানে এর উদাহরণ রয়েছে R:

library(pcalg)
set.seed(1234)
n <- 500
eps1 <- sign(rnorm(n)) * sqrt(abs(rnorm(n)))
eps2 <- runif(n) - 0.5
x2 <- 3 + eps2
x1 <- 0.9*x2 + 7 + eps1

# runs lingam
X <- cbind(x1, x2)
res <- lingam(X)
as(res, "amat") 

# Adjacency Matrix 'amat' (2 x 2) of type ‘pag’:
#     [,1]  [,2]
# [1,] .     .   
# [2,]  TRUE .

এখানে লক্ষ করুন যে অ-গাওশিয়ান শব্দের সাথে আমাদের একটি রৈখিক কার্যকারণীয় মডেল রয়েছে যেখানে $x_2$ কারণ $x_1$ এবং লিঙ্গাম কার্যকারিতাটি সঠিকভাবে পুনরুদ্ধার করে। তবে লক্ষ করুন এটি লিঙ্গাম অনুমানের উপর সমালোচিতভাবে নির্ভর করে।

আপনি যে কাগজটি উদ্ধৃত করেছেন তার ক্ষেত্রে, তারা এই নির্দিষ্ট ধারণাটি তৈরি করে (তাদের "পোস্টুলেট" দেখুন):

যদি $x\rightarrow y$ , তবে এক্স থেকে Y ম্যাপিং প্রক্রিয়াটির ন্যূনতম বর্ণনাকার দৈর্ঘ্য X এর মান থেকে পৃথক, অন্যদিকে Y থেকে X ম্যাপিং প্রক্রিয়াটির ন্যূনতম বিবরণ দৈর্ঘ্য Y এর মানের উপর নির্ভরশীল whereas

নোট করুন এটি একটি অনুমান। এটি আমরা তাদের "সনাক্তকরণের শর্ত" বলব। মূলত, পোস্টুলেট যৌথ বিতরণ $p(x,y)$ উপর বিধিনিষেধ আরোপ করে । এটি হ'ল, পোষ্টুলেট বলে যে যদি $x \rightarrow y$ নির্দিষ্ট কিছু বিধিনিষেধগুলি ডেটা ধারণ করে এবং যদি $y \rightarrow x$ অন্য বিধিনিষেধ ধারণ করে। এই ধরণের বিধিনিষেধগুলির যা পরীক্ষামূলকভাবে অন্তর্ভুক্ত থাকে ( $p(y,x)$ সীমাবদ্ধতা আরোপ করে ) যা পর্যবেক্ষণের ডেটা থেকে দিকনির্দেশিতভাবে পুনরুদ্ধার করতে দেয়।

চূড়ান্ত মন্তব্য হিসাবে, কার্যকারণ আবিষ্কারের ফলাফলগুলি এখনও খুব সীমাবদ্ধ এবং দৃ strong় অনুমানের উপর নির্ভর করে, বাস্তব বিশ্বের প্রসঙ্গে এইগুলি প্রয়োগ করার সময় সতর্কতা অবলম্বন করুন।

— কার্লোস সিনেলি
সূত্র

আপনি কি জাল ডেটা সহ কিছু সাধারণ উদাহরণ অন্তর্ভুক্ত করার জন্য আপনার উত্তরটি বাড়ানোর সুযোগ রয়েছে ? উদাহরণস্বরূপ, কার্যকারিতা ইনফারেন্সের উপাদানগুলির কিছুটা পড়ে এবং পিটারদের কিছু বক্তৃতা দেখেছি এবং সমস্যাটি বিস্তারিতভাবে বোঝার প্রয়োজনটিকে উদ্বুদ্ধ করতে সাধারণত একটি রিগ্রেশন ফ্রেমওয়ার্ক ব্যবহার করা হয় (আমি এমনকি তাদের আইসিপি কাজে স্পর্শ করছি না)। আমার (সম্ভবত ভুল) ধারণা আছে যে আরসিএম থেকে সরে যাওয়ার আপনার প্রচেষ্টাতে, আপনার উত্তরগুলি প্রকৃত বাস্তব মডেলিংয়ের সমস্ত যন্ত্রপাতি ছেড়ে যায়।

— usεr11852 23

@ usεr11852 আমি নিশ্চিত না যে আমি আপনার প্রশ্নের প্রসঙ্গটি বুঝতে পেরেছি, আপনি কি কার্যকারণ আবিষ্কারের উদাহরণ চান? জেন সরবরাহ করেছেন খুব কাগজের মধ্যে বেশ কয়েকটি উদাহরণ রয়েছে। এছাড়াও, আমি নিশ্চিত নই যে "আরসিএম এড়ানো এবং প্রকৃত বাস্তব মডেলিং যন্ত্রপাতি ছেড়ে" আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন, আমি কার্যকারণ আবিষ্কারের প্রসঙ্গে আমরা কী মেশিনটি মিস করছি?

— কার্লোস সিনেলি

বিভ্রান্তির জন্য ক্ষমাপ্রার্থী, আমি কাগজপত্রের উদাহরণগুলির বিষয়ে চিন্তা করি না। আমি অন্যান্য কাগজপত্র নিজেই উদ্ধৃত করতে পারেন। (উদাহরণস্বরূপ, লোপেজ-পাজ এট। সিভিপিআর 2017 তাদের নিউরাল কার্যকারণ সহগ সম্পর্কে) আমি যে বিষয়টি যত্নশীল তা জাল ডেটা সহ একটি সাধারণ সংখ্যার উদাহরণের জন্য যা কেউ আর (বা আপনার পছন্দের ভাষায়) চালায় এবং আপনার অর্থ কী তা বোঝেন see আপনি উদাহরণস্বরূপ যদি পিটারস এর ইত্যাদি। বুক করুন এবং তাদের ছোট কোড স্নিপেট রয়েছে যা প্রচুর পরিমাণে সহায়ক (এবং মাঝে মাঝে ন্যায়বিচার ব্যবহার করে lm)। কার্যকারণ আবিষ্কারের ধারণা পেতে আমরা সকলেই Tuebingen ডেটাসেট পর্যবেক্ষণের নমুনাগুলির চারপাশে কাজ করতে পারি না! :)

— usεr11852 বলেছেন 23

@ usεr11852 নিশ্চিত, একটি জাল উদাহরণ সহ তুচ্ছ, আমি লিঙ্গাম ব্যবহার করে একটিতে আরে অন্তর্ভুক্ত করতে পারি R তবে "আরসিএম এড়ানো এবং প্রকৃত বাস্তব মডেলিং যন্ত্রপাতি ছেড়ে" আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন আপনি তা ব্যাখ্যা করবেন?

— কার্লোস সিনেলি

@ usεr11852 ঠিক আছে প্রতিক্রিয়ার জন্য ধন্যবাদ, আমি উপযুক্ত হলে আরও কোড অন্তর্ভুক্ত করার চেষ্টা করব। চূড়ান্ত মন্তব্য হিসাবে, কার্যকারণ আবিষ্কারের ফলাফলগুলি এখনও খুব সীমাবদ্ধ, সুতরাং প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে এগুলি প্রয়োগ করার সময় লোকদের খুব সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত।

— কার্লোস সিনেলি

কার্যকারিতা আনুষ্ঠানিককরণের জন্য বিভিন্ন ধরণের পন্থা রয়েছে (যা বহু শতাব্দী ধরে চলে আসা কার্যকারণ সম্পর্কে যথেষ্ট দার্শনিক মতবিরোধের সাথে জড়িত)। একটি জনপ্রিয় সম্ভাব্য ফলাফলের শর্তে। রুবিন কার্যকারক মডেল নামে পরিচিত সম্ভাব্য-ফলাফলগুলি ধারণা করে যে প্রতিটি কার্যকারণের জন্য একটি আলাদা এলোমেলো পরিবর্তনশীল। সুতরাং, $Y_1$ ক্লিনিকাল ট্রায়াল থেকে সম্ভাব্য ফলাফলগুলির এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে পারে যদি কোনও বিষয় অধ্যয়নের ওষুধ গ্রহণ করে এবং $Y_2$ যদি প্লেসবোটি গ্রহণ করে তবে এলোমেলো পরিবর্তনীয় হতে পারে। কার্যকারিতা হ'ল $Y_1$ এবং $Y_2$ মধ্যে পার্থক্য । বাস্তবে যদি $Y_1 = Y_2$ , আমরা বলতে পারি যে চিকিত্সার কোনও প্রভাব নেই। অন্যথায়, আমরা বলতে পারি যে চিকিত্সা শর্তটি ফলাফলের কারণ।

ভেরিয়েবলের মধ্যে কার্যকারণ সম্পর্কিত সম্পর্কগুলি নির্দেশিক অ্যাসিলিকাল গ্রাফগুলির সাথেও প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে , যার স্বাদ খুব আলাদা তবে রুবিন মডেলের গাণিতিক সমতুল্য হয়ে উঠেছে (ওয়াসারম্যান, 2004, বিভাগ 17.8)।

ওয়াসারম্যান, এল। (2004)। সমস্ত পরিসংখ্যান: পরিসংখ্যানগত অনুক্রমের একটি সংক্ষিপ্ত কোর্স । নিউ ইয়র্ক, এনওয়াই: স্প্রিংগার। আইএসবিএন 978-0-387-40272-7।

— Kodiologist
সূত্র

ধন্যবাদ. যৌথ বন্টন থেকে এক সেট নমুনা দেওয়া এর জন্য কী পরীক্ষা হবে?

— জেন

আমি arxiv.org/abs/1804.04622 পড়ছি । আমি এর উল্লেখগুলি পড়িনি। আমি পর্যবেক্ষণের তথ্যের ভিত্তিতে কার্যকারিতা বলতে কী বোঝার চেষ্টা করছি am

— জেন 16

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}

$Y_2$

X

$X$

Y

$Y$

(x, y = x^{3} + ϵ)

$(x, y=x^3+\epsilon)$

ϵ

$\epsilon$

@ জেন অবজারভেশনাল কেসের জন্য (আপনার প্রশ্নের জন্য), সাধারণভাবে আপনি কার্যত দিকনির্দেশনা নিখুঁতভাবে গাণিতিকভাবে নির্ধারণ করতে পারবেন না, কমপক্ষে দুটি পরিবর্তনশীল ক্ষেত্রে। আরো ভেরিয়েবল জন্য অধীনে অতিরিক্ত (untestable) অনুমানের আপনি পারে একটি দাবি করতে, কিন্তু উপসংহার এখনও প্রশ্নবিদ্ধ করা যেতে পারে। এই আলোচনা মন্তব্য দীর্ঘ। :)

— বিমল

$X$ $Y$

সেখানে একটি হস্তক্ষেপ বিদ্যমান $X$ যেমন মান $Y$ পরিবর্তিত

একটি হস্তক্ষেপ হ'ল একটি ভেরিয়েবলের একটি সার্জিকাল পরিবর্তন যা তার উপর নির্ভরশীল ভেরিয়েবলগুলিকে প্রভাবিত করে না। কাঠামোগত সমীকরণ এবং কার্যকারণমূলক গ্রাফিকাল মডেলগুলিতে হস্তক্ষেপগুলি কঠোরভাবে আনুষ্ঠানিকভাবে প্রবর্তিত হয়েছে, তবে আমি যতদূর জানি, এমন কোনও সংজ্ঞা নেই যা একটি নির্দিষ্ট মডেল শ্রেণীর চেয়ে স্বাধীন।

এর অনুকরণ $Y$ এর সিমুলেশন প্রয়োজন $X$

এই কঠোর করতে একটি মডেল ওভার আনুষ্ঠানিক করা প্রয়োজন $X$ এবং $Y$ , এবং বিশেষত শব্দার্থকগুলি এটি নির্ধারণ করে যে এটি নির্ধারণ করে।

কার্যকারণের আধুনিক পদ্ধতির ক্ষেত্রে হস্তক্ষেপকে আদিম বস্তু হিসাবে গ্রহণ করা হয় যা কার্যকারক সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে (সংজ্ঞা 1)। আমার মতে, তবে, হস্তক্ষেপ একটি প্রতিচ্ছবি, এবং প্রয়োজনীয় সিমুলেশন গতিবিদ্যা সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

— zenna
সূত্র