প্রাকৃতিক লোগারিদমের প্রত্যাশিত মান

22

আমি কে ধ্রুবক সহ জানি, তাই , এটি সমাধান করা সহজ। আমি আরও জানি যে আপনি এটি প্রয়োগ করতে পারবেন না যখন এটি একটি ননলাইনার ফাংশন, যেমন , এবং এটি সমাধান করার জন্য, আমি একটি আনুমানিক কাজ করতে হয়েছিল টেলরের সাথে। সুতরাং আমার প্রশ্ন হ'ল আমি কীভাবে ? আমি কি টেলরের সাথে আনুমানিক? $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— ঔজ্বল্যহীন
সূত্র

4

হ্যাঁ আপনি এই ক্ষেত্রে ব-দ্বীপ পদ্ধতি প্রয়োগ করতে পারেন।

— মাইকেল আর চেরনিক

5

আপনার জেনসেন অসমতার দিকেও নজর দেওয়া উচিত।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

27

কাগজে

ওয়াইডাব্লু তেহ, ডি নিউম্যান এবং এম ওয়েলিং (২০০)) , লেপেন্ট ডিরিচলেট বরাদ্দের জন্য একটি সঙ্কুচিত ভেরিয়াল বায়সিয়ান ইনফারেন্স অ্যালগরিদম , এনআইপিএস 2006 , 1353–1360।

একটি দ্বিতীয় অর্ডার টেলর সম্প্রসারণ প্রায় আনুমানিক করতে ব্যবহৃত হয় : $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

E [\log (x)] \approx \log (E [x]) - \frac{V [x]}{2 E [x]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

এই অনুমানটি তাদের প্রয়োগের জন্য বেশ ভালভাবে কাজ করছে বলে মনে হচ্ছে।

প্রত্যাশার লিনিয়ারিটি দ্বারা, হাতের ফলনে প্রশ্নটি ফিট করতে এই সামান্য পরিবর্তন করা,

E [\log (1 + x)] \approx \log (1 + E [x]) - \frac{V [x]}{2 (1 + E [x])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

যাইহোক, এটি ঘটতে পারে যে অন্যদিকে থাকা অবস্থায় বাম-হাত বা ডান-হাতের অস্তিত্ব নেই এবং তাই এই আনুমানিকতা নিয়োগের সময় কিছুটা যত্ন নেওয়া উচিত।

— user1149913
সূত্র

3

মজার বিষয় হল, এটি ডিগামা ফাংশনের সান্নিধ্য পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

— সম্ভাব্যতা ব্লগ

6

এছাড়াও, যদি আপনার জন্য একটি সঠিক অভিব্যক্তি প্রয়োজন হবে না , বারংবার জেনসেন এর বৈষম্য কর্তৃক প্রদত্ত আবদ্ধ ভাল যথেষ্ট: $\text{E}[\log(X + 1)]$

\log [E (X) + 1] \geq E [\log (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— dsaxton
সূত্র

কেবল যোগ করতে চেয়েছিলেন: যদি কোনও সরাসরি গণনা সম্ভব না হয় এবং আপনি একটি একক ভেরিয়েবল

, জেনসেনের অসমতা কোনও কার্যকর ফলাফল পাওয়ার জন্য আপনার একমাত্র বিকল্প সম্পর্কে। প্রস্তাবিত টেলর আনুমানিকতা প্রকৃতপক্ষে প্রকৃতপক্ষে কাজ করতে পারে, এমন কোনও তাত্ত্বিক ন্যায়সঙ্গততা নেই যা বাকী শর্তগুলি মোছার জন্য অনুপ্রাণিত করতে ব্যবহৃত হতে পারে। (যা বলা হচ্ছে: মনে রাখবেন যে ln (1 + x) এর অসীম টেলর সিরিজটি কেবলমাত্র ব্যাসার্ধে রূপান্তরিত হয়েছে | x | <1) যাইহোক))

X

$X$

— chrrr

আমার মনে হয় এটা হতে shoud

যেহেতু

অবতল ডাউন।

\geq

$\ge$

\log

$\log$

— গভীর উত্তর

5

ধরুন যে এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব । আগে আপনি approximating শুরু, যে মনে রাখবেন, কোন পরিমাপযোগ্য ফাংশন জন্য , আপনি পারেন প্রমাণ যে $X$ $f_X$ $g$ এই অর্থে যে যদি প্রথম অবিচ্ছেদ্য উপস্থিত থাকে, তবে দ্বিতীয়টিও রয়েছে এবং তাদের একই মান রয়েছে।

E [g (X)] = \int g (X) d P = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— জেন
সূত্র

1

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

2

g (x) = x

$g(x)=x$

2

@ প্রোব: না, আপনার প্রথম মন্তব্যে আপনার এই শর্তের দরকার নেই, এমনকি এমন পরিস্থিতিতেও যা এই প্রশ্নের সাথে খুব প্রাসঙ্গিক হতে পারে! (আপনার দ্বিতীয় মন্তব্যে +1 , যদিও এটি ছিল এমন কিছু যা আমি মন্তব্য করতে চেয়েছিলাম))

— কার্ডিনাল

2

@ প্রোব: এটি যথেষ্ট , তবে আপনি যদি আপনার প্রথম মন্তব্যটিকে আপনার দ্বিতীয়টির সাথে তুলনা করেন, তবে আপনি কেন এটি প্রয়োজনীয় তা দেখবেন না ! :-)

— কার্ডিনাল

4

দুটি স্বাভাবিক পন্থা রয়েছে:

এর ডিস্ট্রিবিউশন জানলে $X$ , আপনি এর বিতরণ খুঁজে পেতে সক্ষম হতে পারে $\ln(1+X)$ এবং সেখান থেকে তার প্রত্যাশা খুঁজে; বিকল্পভাবে আপনি সরাসরি অজ্ঞান পরিসংখ্যানবিদ আইন প্রয়োগ করতে সক্ষম হতে পারেন (যা, সংহত করা) $\ln(1+x) f_{X}(x)$ এর ডোমেন ধরে $x$ )।
আপনার প্রস্তাব অনুসারে, আপনি যদি প্রথম কয়েক মুহুর্ত জানেন তবে আপনি কোনও টেলর অনুমানের গণনা করতে পারেন।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা
সূত্র