সম্ভাবনা

9

অনুমান করা $X_1$ এবং $X_2$ প্যারামিটার সহ স্বাধীন জ্যামিতিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল $p$ । এর সম্ভাবনা কী $X_1 \geq X_2$ ?

আমি এই প্রশ্নটি সম্পর্কে বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি কারণ আমাদের সম্পর্কে কিছু বলা হয়নি $X_1$ এবং $X_2$ তারা জ্যামিতিক ছাড়া অন্য। এটা হবে না $50\%$ কারণ $X_1$ এবং $X_2$ পরিসীমা কিছু হতে পারে?

সম্পাদনা: নতুন প্রচেষ্টা

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ = $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ এবং $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

অতএব, $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
যোগ করার পদ্ধতি $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ যে, আমি পেয়েছি $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

এটা কি সঠিক?

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
সূত্র

3

দয়া করে 'স্ব-অধ্যয়ন' ট্যাগ যুক্ত করুন।

— জেদীআটম

1

আসলে কারণ X1এবং X2পৃথক পৃথক ভেরিয়েবল সমতা জিনিসকে কিছুটা কম স্পষ্ট করে তোলে।

— usεr11852

13

এটা হতে পারে না $50\%$ কারণ $P(X_1=X_2)>0$

একটি পদ্ধতির:

তিনটি ঘটনা বিবেচনা করুন $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ এবং $P(X_1=X_2)$ , যা নমুনা স্থান পার্টিশন।

প্রথম দুজনের মধ্যে একটি সুস্পষ্ট সংযোগ রয়েছে। তৃতীয়টির জন্য একটি অভিব্যক্তি লিখুন এবং সরল করুন। সুতরাং প্রশ্নটি সমাধান করুন।

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

আমি সম্পাদনা করেছি, আমার নতুন উত্তর সহ আমার পোস্ট। আপনি কি একবার তাকান এবং দেখতে পারেন এটি সঠিক কিনা?

— ইরকা

1

হ্যাঁ, আপনার উত্তরগুলি সঠিক দেখাচ্ছে। একটি বিকল্প পদ্ধতি (অনুরূপ ধারণা ব্যবহার করে) এটি নোট করা হবে

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$ (আবার, এর প্রতিসাম্য / বিনিময়যোগ্যতা কাজে লাগানো

X_{1}

$X_1$ এবং

X_{2}

$X_2$ )।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

6

আপনার উত্তর, গ্লেনের পরামর্শ অনুসরণ করে, সঠিক। আরেকটি, কম মার্জিত, উপায় কেবল শর্ত হিসাবে:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

এটি আপনাকে একই দেবে $1/(2-p)$ , after handling the two geometric series. Glen's way is better.

— Zen
সূত্র

4

note - your way is better for applying to new problems I think. Because it is based on first principles. The trick/intuiton from glen_b's answer usually comes after the problem has been solved your way

— probabilityislogic

3

@probabilityislogic I share your enthusiasm for derivations from "first principles." However, to a modern mathematician, looking for and exploiting symmetry is even more fundamental than the first principles (definitions) to which you refer: we might call it a metaprinciple of mathematics. It's much more than a mere "trick."

— whuber