ম্যাজিক মানি গাছের সমস্যা

Question

আমি ঝরনাটিতে এই সমস্যাটি ভেবেছিলাম, এটি বিনিয়োগের কৌশল দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল।

ধরা যাক একটি যাদু টাকার গাছ ছিল। প্রতিদিন, আপনি অর্থ গাছের জন্য প্রচুর পরিমাণে অর্থ অফার করতে পারেন এবং এটি এটি ত্রিগুণ করে দেবে, বা 50/50 সম্ভাব্যতা দিয়ে এটি ধ্বংস করবে। আপনি তাত্ক্ষণিকভাবে লক্ষ্য করুন যে এটি করে আপনি গড়ে অর্থ উপার্জন করবেন এবং অর্থ গাছের সুবিধা নিতে আগ্রহী। তবে, আপনি যদি একবারে আপনার সমস্ত অর্থ অফার করেন তবে আপনার সমস্ত অর্থ হারাতে আপনার একটি 50% হবে। অগ্রহণীয়! আপনি বেশ ঝুঁকি-প্রতিরোধকারী ব্যক্তি, তাই আপনি কৌশল নিয়ে আসার সিদ্ধান্ত নেন। আপনি সমস্ত কিছু হারানোর প্রতিক্রিয়া হ্রাস করতে চান, তবে আপনি যতটা পয়সা উপার্জন করতে চান! আপনি নিম্নলিখিতগুলি নিয়ে এসেছেন: প্রতিদিন, আপনি আপনার বর্তমান মূলধনের 20% অর্থ গাছের কাছে উপস্থাপন করেন। আপনি যে সর্বনিম্ন অফার করতে পারবেন এটি 1 শতাংশ হিসাবে ধরে নেওয়া হয়, আপনি যদি 10 ডলার দিয়ে শুরু করেন তবে আপনার সমস্ত অর্থ হারাতে 31 টি লোকসানের রেখা লাগবে। আর কিছু, আপনি যত বেশি নগদ উপার্জন করবেন তত বেশি হারানোর রেখাটি আপনার সমস্ত কিছু হারাতে হবে, আশ্চর্যজনক! আপনি দ্রুত নগদ লোড উপার্জন শুরু। তবে তারপরে একটি ধারণা আপনার মাথায় popুকে যায়: আপনি কেবল প্রতিদিন 30% অফার করতে পারেন এবং আরও অর্থ উপার্জন করতে পারেন! তবে অপেক্ষা করুন, কেন 35% অফার করবেন না? 50%? একদিন, আপনার চোখে বড় ডলারের চিহ্ন সহ আপনি আপনার সমস্ত লক্ষ লক্ষ লোকের সাথে মানি গাছের কাছে চলে যান এবং আপনার নগদ অর্থের 100% অফার করেন, যা মানি গাছটি তাত্ক্ষণিকভাবে জ্বলিয়ে দেয়। পরের দিন আপনি ম্যাকডোনাল্ডসে চাকরী পাবেন। যা মানি গাছটি তাত্ক্ষণিকভাবে পোড়ায়। পরের দিন আপনি ম্যাকডোনাল্ডসে চাকরী পাবেন। যা মানি গাছটি তাত্ক্ষণিকভাবে পোড়ায়। পরের দিন আপনি ম্যাকডোনাল্ডসে চাকরী পাবেন।

আপনার নগদ আপনি এটি হারানো ছাড়া দিতে পারেন একটি অনুকূল শতাংশ আছে?

(উপ) প্রশ্ন:

যদি আপনার দেওয়া উচিত এমন একটি সর্বোত্তম শতাংশ থাকে তবে এটি কি স্থির (প্রতি দিন 20%) বা আপনার মূলধন বাড়ার সাথে সাথে শতাংশটি বাড়তে হবে?

প্রতিদিন 20% অফার করে, আপনার সমস্ত অর্থ হারানোর প্রতিক্রিয়া কি সময়ের সাথে সাথে হ্রাস পাবে বা বাড়বে? এমন কি শতাংশের অর্থ কি যেখানে থেকে আপনার সমস্ত অর্থ হারানোর প্রতিক্রিয়া সময়ের সাথে সাথে বেড়ে যায়?

Comments

এটি জুবলারের ধ্বংসযজ্ঞের পরিবর্তনের মতো বলে মনে হচ্ছে

— রবার্ট লং

এই প্রশ্নটির অনেকগুলি নির্ভর করে যে ভগ্নাংশ সেন্ট সম্ভব কিনা তার উপর। অতিরিক্তভাবে, এই পরিস্থিতিতে কেউ থাকতে পারে এমন অনেকগুলি সম্ভাব্য লক্ষ্য রয়েছে। বিভিন্ন লক্ষ্য বিভিন্ন অনুকূল কৌশল থাকবে।

— বুগ

Answer 1

এটি একটি সুপরিচিত সমস্যা। একে কেলি বাজি বলা হয়। উত্তর, যাইহোক, 1/3 য়। এটি সম্পদের লগ ইউটিলিটি সর্বাধিক করার সমতুল্য।

কেলি অনন্ত সময় নেওয়ার পরে এবং পিছনে সমাধান সঙ্গে শুরু। যেহেতু আপনি সর্বদা অব্যাহত যৌগিক শর্তাবলী হিসাবে রিটার্ন প্রকাশ করতে পারেন, তারপরে আপনি প্রক্রিয়াটি বিপরীত করতে এবং লগগুলিতে প্রকাশ করতে পারেন। আমি লগ ইউটিলিটি ব্যাখ্যা ব্যবহার করতে যাচ্ছি, কিন্তু লগ ইউটিলিটি একটি সুবিধা। আপনি সম্পদ পূর্ণবিস্তার হয় $n\to\infty$ তারপর আপনি একটি ফাংশন যে কাজ লগ উপযোগ হিসাবে একই হতে দিয়ে শেষ হবে। যদি $b$ পরিশোধ মতভেদ, এবং $p$ জেতার সম্ভাবনা, এবং $X$ বিনিয়োগকৃত সম্পদ শতাংশ হয়, তাহলে নিম্নলিখিত শিক্ষাদীক্ষা কাজ করবে।

বাইনারি বেটের জন্য, $E(\log(X))=p\log(1+bX)+(1-p)\log(1-X)$ , একক সময়কালের জন্য এবং একক সম্পদের জন্য।

$$\frac{d}{dX}{E[\log(x)]}=\frac{d}{dX}[p\log(1+bX)+(1-p)\log(1-X)]$$ $$=\frac{pb}{1+bX}-\frac{1-p}{1-X}$$

এক্সট্রিমার সন্ধান করতে ডেরিভেটিভকে শূন্যে সেট করা,

$$\frac{pb}{1+bX}-\frac{1-p}{1-X}=0$$

ক্রস গুণমান, আপনি

$$pb(1-X)-(1-p)(1+bX)=0$$ $$pb-pbX-1-bX+p+pbX=0$$ $$bX=pb-1+p$$ $$X=\frac{bp-(1-p)}{b}$$

আপনার ক্ষেত্রে,

$$X=\frac{3\times\frac{1}{2}-(1-\frac{1}{2})}{3}=\frac{1}{3}.$$

যৌথ সম্ভাব্যতা বিতরণে সম্পদের প্রত্যাশিত ইউটিলিটি সমাধান করে, বরাদ্দগুলি চয়ন করে এবং যে কোনও সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে আপনি একাধিক বা অবিচ্ছিন্ন ফলাফলগুলিতে সহজেই এটিকে প্রসারিত করতে পারেন। মজার বিষয় হল, যদি আপনি বন্ধকী প্রদানগুলি পূরণের সক্ষমতা এবং আরও কিছু সীমাবদ্ধতাগুলি অন্তর্ভুক্ত করে এই পদ্ধতিতে এটি সম্পাদন করেন তবে আপনার নিজের ঝুঁকির মোট সেটের জন্য দায়বদ্ধ হয়েছেন এবং তাই আপনার ঝুঁকি-সামঞ্জস্য বা কমপক্ষে ঝুঁকি-নিয়ন্ত্রিত রয়েছে সমাধান।

দেশিদরতা মূল গবেষণার আসল উদ্দেশ্যটি শোরগোলের সংকেতের ভিত্তিতে কতটা জুয়া খেলতে হয় তা নিয়েই ছিল। সুনির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, কোলাহলকারী বৈদ্যুতিন সংকেতটিতে কতটা জুয়া খেলা উচিত যেখানে এটি সোভিয়েত ইউনিয়ন দ্বারা পারমাণবিক অস্ত্র প্রবর্তনের ইঙ্গিত দেয়। মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র এবং রাশিয়া উভয়ই বেশ কয়েকটি কাছাকাছি লঞ্চ চালু করেছে, সম্ভবত ভ্রান্তিতে। সিগন্যালে আপনি কতটা জুয়া খেলেন?

Comments

এই কৌশলটি ভাঙ্গা ভাঙ্গার উচ্চতর ঝুঁকি দেবে বলে আমি মনে করি কম ভগ্নাংশের সাথে তুলনা করি

— সম্ভাব্যতা ব্লগ

@ প্রব্যাবিলিসিস্লোগিক কেবলমাত্র সেই ক্ষেত্রে যেখানে পেনিগুলি বিদ্যমান। স্বতন্ত্র ক্ষেত্রে এটি সত্য হয়ে উঠবে কারণ আপনি আপনার শেষ পয়সা বাজি ধরতে পারেন। আপনি এক পয়সা তৃতীয়াংশ বাজি ধরতে পারেন নি। একটি বিচ্ছিন্ন বিশ্বে, এটি অন্তর্নিহিত সত্য যে দেউলিয়া হওয়ার সম্ভাবনা অবশ্যই বরাদ্দের আকারে বাড়তে হবে, পেওফের ক্ষেত্রে পৃথক নয়। একটি 2% বরাদ্দের একটি বিচ্ছিন্ন বিশ্বে 1% এর চেয়ে দেউলিয়া হওয়ার সম্ভাবনা বেশি।

— ডেভ হ্যারিস

@ প্রব্যাবিলিটিস্লোগিক যদি আপনি 3 সেন্ট দিয়ে শুরু করেন তবে এটি ঝুঁকিপূর্ণ। আপনি যদি 550 ডলার দিয়ে শুরু করেন তবে দেউলিয়া হওয়ার 1024 তে একের কম সুযোগ রয়েছে। যুক্তিযুক্ত পাত্রের আকারের জন্য, আপনি যদি সত্যই অনন্তের দিকে না যান তবে পৃথক ধসের ঝুঁকি ছোট হয়ে যায়, তবে orrowণ গ্রহণের অনুমতি না দেওয়া পর্যন্ত তা নিশ্চিত হয়ে যায়।

— ডেভ হ্যারিস

আমি আশা করেছি এটি একটি পরিচিত সমস্যা হবে তবে এটি কীভাবে সন্ধান করা যায় তা সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা ছিল না। কেলি উল্লেখ করার জন্য ধন্যবাদ। যদিও একটি প্রশ্ন: কেলি মাপদণ্ডে উইকিপিডিয়া অনুকূল শতাংশের গণনা করার জন্য নিম্নলিখিত সূত্র উল্লেখ করেছে: (বিপি-কিউ) / বি। খ যেখানে # ডলারের সাথে আপনি 1 ting বাজি ধরে থাকেন, সেখানে জয়ের সম্ভাবনা রয়েছে, এবং কী হারার সুযোগ রয়েছে। আমি যদি আমার দৃশ্যের জন্য এটি পূরণ করি তবে আমি পেয়েছি: (2 * 0.5-0.5) /2=0.25। মানে বাজি দেওয়ার সর্বোত্তম শতাংশ 25% হবে। আপনার 1/3 তম উত্তরের সাথে এই বৈসাদৃশ্যটির কারণ কী?

— বৈদ্যুতিন

@ ইলেক্ট্রনিক টুথপিক আপনি বি = 3 পূরণ করলে আপনি 1/3 পাবেন। পার্থক্যটি কীভাবে আপনি তিনবারের পরিশোধের বিষয়টি বিবেচনা করেন। বলুন যে আপনি 1 ডলার দিয়ে শুরু করেছেন এবং আপনি 50 পয়েন্ট বাজি ধরেছেন, তারপরে আপনি ট্রিপল পরিশোধকে পঞ্চাশ-পঞ্চাশ সেন্ট বা 2 ডলার (বি = 2, অর্থাত বিয়োগ 50 সেন্ট বা আরও 2 গুণ 50 সেন্ট) হিসাবে পঞ্চাশ-পঞ্চাশের সমাপ্ত বলে মনে করেন 50 সেন্ট বা 2.50 ডলার (বি = 3, অর্থাত বিয়োগ 50 সেন্ট বা 3 গুণ 50 সেন্ট)।

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

Answer 2

ডেভ হ্যারিসের দেওয়া উত্তরটি আমার পছন্দ হয়েছে। যদিও আমি লাভটি সর্বাধিকীকরণের পরিবর্তে "স্বল্প ঝুঁকি" দৃষ্টিকোণ থেকে সমস্যাটিতে উপস্থিত হয়েছি

আপনি যে র্যান্ডম হাঁটাচ্ছেন, ধরে নিচ্ছেন আপনার ভগ্নাংশের বাজিটি হল $q$ এবং জয়ের সম্ভাবনা $p=0.5$টি

$$Y_t|Y_{t-1}=(1-q+3qX_t)Y_{t-1}$$ হিসাবে দেওয়া হয়েছে | Y টি - 1 = ( 1 - কিউ + 3 কিউ এক্স টি ) ওয়াই টি - 1 যেখানে $X_t\sim Bernoulli(p)$ । গড়ে আপনার $$E(Y_t|Y_{t-1}) = (1-q+3pq)Y_{t-1}$$ আপনি $$Y_t|Y_0=Y_0\prod_{j=1}^t (1-q+3qX_t)$$ পেতে পুনরাবৃত্তভাবে এটি প্রয়োগ করতে পারেন | Y 0 = Y 0 t ∏ j = 1 (1-q+3q X t ) প্রত্যাশিত মান $$E(Y_t|Y_{0}) = (1-q+3pq)^t Y_{0}$$ আপনিএকক এলোমেলো পরিবর্তনশীল জেড টি = ∑ টি জে = 1 এক্স টি ∼ বি আই এন ও এম আমি একটি এল ( টি , পি ) এর ফাংশন হিসাবেটাইম$t$ পরিমাণটিও প্রকাশ করতে পারেন, তবে তিনি লক্ষ করেন জেড টি থেকে স্বাধীন নয় জেড টি - 1 ওয়াই টি | Y 0 = Y 0 ( 1$Z_t=\sum_{j=1}^t X_t\sim Binomial(t,p)$$Z_t$$Z_{t-1}$ $$Y_t|Y_0=Y_0 (1+2q)^{Z_t}(1-q)^{t-Z_t}$$

সম্ভাব্য কৌশল

আপনি এই সূত্রটি $q$ জন্য "কম ঝুঁকি" মান নির্ধারণ করতে ব্যবহার করতে পারেন । অভিমানী আপনি তা নিশ্চিত করার জন্য পরে চেয়েছিলেন বলুন $k$ পরপর লোকসান আপনি এখনও অর্ধেক আপনার মূল সম্পদ ছিল। তারপরে আপনি $q=1-2^{-k^{-1}}$

$k=5$ উদাহরণ গ্রহণের অর্থ আমরা $q=0.129$ সেট করি বা $k=15$ আমরা $q=0.045$ সেট করি ।

এছাড়াও, কৌশলটির পুনরাবৃত্তিমূলক প্রকৃতির কারণে, এই ঝুঁকিটি হ'ল আপনি প্রতিটা বেটে প্রতিটি নিচ্ছেন। সেই সময়ে হল $s$ , আপনি খেলা অব্যাহত দ্বারা নিশ্চিত করা হয় যে সময়ে $k+s$ আপনার সম্পদ হতে হবে কমপক্ষে $0.5Y_{s}$

আলোচনা

উপরের কৌশলটি জয় থেকে বেতন ছাড়ার উপর নির্ভর করে না, বরং হারানোর ক্ষেত্রে একটি সীমানা নির্ধারণের বিষয়ে। আমরা যে $q$ গণনা করেছি তার মানকে প্রতিস্থাপন করে আমরা প্রত্যাশিত জয় পেতে পারি এবং সেই সময়ে $k$ যে ঝুঁকির বিষয়টি মাথায় রেখে ব্যবহার করা হয়েছিল।

যাইহোক, এটা মধ্যমা বদলে বন্ধ সময়ে প্রত্যাশিত বেতন তাকান আকর্ষণীয় $t$ অভিমানী দ্বারা পাওয়া যাবে, যা $median(Z_t)\approx tp$ ।

$$Y_k|Y_0=Y_0 (1+2q)^{tp}(1-q)^{t(1-p)}$$ যখন $p=0.5$ আমাদের সমান অনুপাত $(1+q-2q^2)^{0.5t}$ । এই বড় করা হয় যখন$q=0.25$ এবং বেশি$1$ যখন$q<0.5$

এটি সুযোগ আপনি সময়ে এগিয়ে হতে হবে নিরূপণ করা খুবই মজার $t$ । এটি করার জন্য আমাদের মান $z$ নির্ধারণ করতে হবে যে

$$(1+2q)^{z}(1-q)^{t-z}>1$$ কিছু পুনর্ব্যবহার করে আমরা দেখতে পেলাম যে জয়ের অনুপাতটি z সন্তুষ্ট করা উচিত $$\frac{z}{t}>\frac{\log(1-q)}{\log(1-q)-\log(1+2q)}$$ এই একটি স্বাভাবিক পড়তা মধ্যে প্লাগ করা যেতে পারে (নোট: গড়$0.5$এবং আদর্শ ত্রুটি$\frac{0.5}{\sqrt{t}}$ )পিআরহিসাবে (সময় সময়ে এগিয়ে)≈Φ(√ $$Pr(\text{ahead at time t})\approx\Phi\left(\sqrt{t}\frac{\log(1+2q)+\log(1-q)}{\left[\log(1+2q)-\log(1-q)\right]}\right)$$

$\sqrt{t}$$q=0$$\frac{1}{3}$$q$

মনে করুন আমরা এটিকে সাথে তুলনা করি$q=\frac{1}{3}$$q=\frac{1}{100}$$0.11$$0.32$$38$$20$$13.35, 8.90,5.95,3.95,2.65,1.75,1.15,0.75,0.50,0.35,0.25,0.15,0.1,0.05,0$$14$$38$$19$$38$$350$$1.2$ ছোট বাজি দিয়ে বৃদ্ধি করুন (অর্থাত্ আপনি ছোট বাজি দিয়ে 38 রাউন্ডের পরে 24 ডলার এবং বড় বাজির সাথে 7000 ডলার পাবেন)।

Comments

$q$$t>>k$

$Z_t$$Z_t$$Z_t$$Y_t$

Answer 3

আমি মনে করি না এটি মার্টিংগেল থেকে অনেক আলাদা। আপনার ক্ষেত্রে, কোনও দ্বিগুণ বেট নেই, তবে বিজয়ী অর্থ প্রদানের পরিমাণ 3x।

আমি আপনার গাছের একটি "জীবন্ত প্রতিলিপি" কোড করেছি। আমি 10 সিমুলেশন চালাচ্ছি। প্রতিটি সিমুলেশন (ট্রেস) এ, আপনি 200 মুদ্রা দিয়ে শুরু করুন এবং গাছের সাথে চেষ্টা করুন, প্রতিটি কয়েন প্রতিবার 20,000 বারের জন্য।

সিমুলেশনটি বন্ধ করার একমাত্র শর্ত হ'ল দেউলিয়ারেশন বা 20 কে'র চেষ্টা "বেঁচে থাকা"

আমি মনে করি যে প্রতিকূলতা যাই হোক না কেন, তাড়াতাড়ি বা পরে দেউলিয়া আপনার জন্য অপেক্ষা করে।

---

কোডটি জাভাস্ক্রিপ্টে উন্নত তবে নির্ভরতা-মুক্ত: https://repl.it/@cilofrapez/MagicTree- রুলেট

এটি সরাসরি আপনার ফলাফল দেখায়। কোডটি টুইঙ্ক করা সহজ: তবে অনেকগুলি সিমুলেশন, বেটের পরিমাণ, তবে প্রচুর চেষ্টা চালানো ... খেলতে নির্দ্বিধায়!

কোডের নীচে, প্রতিটি সিমুলেশনের (ডিফল্ট 10 অনুসারে) ফলাফল দুটি কলামযুক্ত CSV ফাইলে সংরক্ষণ করা হয়: স্পিন নম্বর এবং অর্থ money আমি এটি তৈরি করেছি যাতে এটি গ্রাফগুলির জন্য কোনও অনলাইন প্লট্টারে এটি খাওয়ানো যায়।

উদাহরণস্বরূপ গুগল চার্টস লাইব্রেরিটি ব্যবহার করে স্থানীয়ভাবে এগুলি সবই স্বয়ংক্রিয়ভাবে চালানো সহজ হবে না। আপনি যদি কেবল স্ক্রিনে ফলাফল দেখতে চান তবে আপনি ফাইলটিতে উল্লিখিত অংশ হিসাবে মন্তব্য করতে পারেন।

সম্পাদনা

সোর্স কোড:

/**
 * License: MIT
 * Author: Carles Alcolea, 2019
 * Usage: I recommend using an online solution like repl.it to run this code.
 * Nonetheless, having node installed, it's as easy as running `node magicTree.js`.
 *
 * The code will run `simulations` number of scenarios, each scenario is equal in settings
 * which are self-descriptive: `betAmount`,`timesWinPayout`, `spinsPerSimulation`, `startingBankRoll`
 * and `winningOdds`.
 *
 * At the end of the code there's a part that will generate a *.csv file for each simulation run.
 * This is useful for ploting the resulting data using any such service or graphing library. If you
 * wish the code to generate the files for you, just set `saveResultsCSV` to true. All files will
 * have two columns: number of spin and current bankroll.
 */

const fs = require('fs'); // Only necessary if `saveResultsCSV` is true

/**
 * ==================================
 * You can play with the numbers of the following variables all you want:
 */
const betAmount          = 0.4,   // Percentage of bankroll that is offered to the tree
      winningOdds        = 0.5,
      startingBankRoll   = 200,
      timesWinPayout     = 2,
      simulations        = 5,
      spinsPerSimulation = 20000,
      saveResultsCSV     = false;
/**
 * ==================================
 */

const simWins = [];
let currentSim = 1;

//* Each simulation:
while (currentSim <= simulations) {
  let currentBankRoll = startingBankRoll,
      spin            = 0;
  const resultsArr  = [],
        progressArr = [];

  //* Each spin/bet:
  while (currentBankRoll > 0 && spin < spinsPerSimulation) {
    if (currentBankRoll === Infinity) break; // Can't hold more cash!
    let currentBet = Math.ceil(betAmount * currentBankRoll);
    if (currentBet > currentBankRoll) break;  // Can't afford more bets... bankrupt!

    const treeDecision = Math.random() < winningOdds;
    resultsArr.push(treeDecision);
    if (treeDecision) currentBankRoll += currentBet * timesWinPayout; else currentBankRoll -= currentBet;
    progressArr.push(currentBankRoll);
    spin++;
  }

  const wins = resultsArr.filter(el => el === true).length;
  const losses = resultsArr.filter(el => el === false).length;
  const didTheBankRollHold = (resultsArr.length === spinsPerSimulation) || currentBankRoll === Infinity;

  const progressPercent = didTheBankRollHold ? `(100%)` : `(Bankrupt at aprox ${((resultsArr.length / parseFloat(spinsPerSimulation)) * 100).toPrecision(4)}% progress)`;

  // Current simulation summary
  console.log(`
  - Simulation ${currentSim}: ${progressPercent === '(100%)' ? '✔' : '✘︎'}
    Total:      ${spin} spins out of ${spinsPerSimulation} ${progressPercent}
    Wins:       ${wins} (aprox ${((wins / parseFloat(resultsArr.length)) * 100).toPrecision(4)}%)
    Losses:     ${losses} (aprox ${((losses / parseFloat(resultsArr.length)) * 100).toPrecision(4)}%)
    Bankroll:   ${currentBankRoll}
  `);

  if (didTheBankRollHold) simWins.push(1);

  /**
   * ==================================
   * Saving data?
   */
  if (saveResultsCSV) {
    let data = `spinNumber, bankRoll`;
    if (!fs.existsSync('CSVresults')) fs.mkdirSync('CSVresults');
    progressArr.forEach((el, i) => {
      data += `\n${i + 1}, ${el}`;
    });
    fs.writeFileSync(`./CSVresults/results${currentSim}.csv`, data);
  }
  /**
   * ==================================
   */

  currentSim++;
}

// Total summary
console.log(`We ran ${simulations} simulations, with the goal of ${spinsPerSimulation} spins in each one.
Our bankroll (${startingBankRoll}) has survived ${simWins.length} out of ${simulations} simulations, with ${(1 - winningOdds) * 100}% chance of winning.`);
```

Comments

আপনি কি এর জন্য লিখেছেন এমন কোডটিও পোস্ট করতে সক্ষম হন?

— বাক্সএক্স

$\frac14$$1$$1$

@ বাক্স অবশ্যই, আমি পোস্টটি সবেমাত্র আপডেট করেছি। হেনরি, আমি আপনাকে বুঝতে পেরেছি তা নিশ্চিত নই। আপনি চাইলে কোডটি বিভিন্ন প্রয়োজনের সাথে মানিয়ে নিতে পারি।

— কার্লস অ্যালকোলেয়া

@ কার্লসআলকোলেয়া আমি কেবল বলছিলাম যে পোস্টের জন্য আপনি যে কোডটি ব্যবহার করেছেন তা পোস্টের মধ্যেই অন্তর্ভুক্ত থাকলে ভাল লাগবে। আমি নিশ্চিত নই যে আপনার পোস্ট করা

— প্রত্যুত্তরের লিঙ্কটি

@ বাক্স অবশ্যই! এই অস্থায়ী প্রোগ্রামটি লেখার পরে, আমি ভেবেছিলাম যে এই ধরণের প্রায় কোনও পরিস্থিতি সহজেই অন্বেষণ করতে সক্ষম হওয়ার জন্য আমার একটি ছোট অনলাইন অ্যাপ তৈরি করা উচিত। আমি কিছুই পেলাম না। এখন আমি কাজে ডুবে আছি তাই মুহুর্তের জন্য আমি পোস্টের কোডটি এবং আমার করণীয় তালিকার অ্যাপ্লিকেশনটি রেখেছি

— কার্লস আলকোলিয়া

Answer 4

সমস্যা বিবৃতি

$Y_t = \log_{10}(M_t)$$M_t$$t$

$q$

$Y_0 = 1$$Y_L=-2$$Y_W$$Y_W \to \infty$

এলোমেলো হাটা

$Y_t$

$$Y_t = Y_0 + \sum_{i=1}^t X_i$$

কোথায়

$$\mathbb{P}[X_i= a_w =\log(1+2q)] = \mathbb{P}[X_i= a_l =\log(1-q)] = \frac{1}{2}$$

দেউলিয়ার সম্ভাবনা

পেটী

মুখের ভাব

$$Z_t = c^{Y_t}$$

আমরা যখন পছন্দ করি তখন এটি একটি মার্টিনেল ale$c$

$$c^{a_w}+ c^{a_l} = 2$$ $c<1$$q<0.5$

$$E[Z_{t+1}] = E[Z_t] \frac{1}{2} c^{a_w} + E[Z_t] \frac{1}{2} c^{a_l} = E[Z_t]$$

দেউলিয়ার শেষ হওয়ার সম্ভাবনা

$Y_t < Y_L$$Y_t>Y_W$$\frac{Y_W-Y_L}{a_w}$

$E[Z_\tau]$$\tau$$E[Z_0]$

এইভাবে

$$c^{Y_0} = E[Z_0] = E[Z_\tau] \approx \mathbb{P}[Y_\tau<L] c^{Y_L} + (1-\mathbb{P}[Y_\tau<L]) c^{Y_W}$$

এবং

$$\mathbb{P}[Y_\tau<Y_L] \approx \frac{c^{Y_0}-c^{Y_W}}{c^{Y_L}-c^{Y_W}}$$

$Y_W \to \infty$

$$\mathbb{P}[Y_\tau<Y_L] \approx c^{Y_0-Y_L}$$

উপসংহার

আপনার নগদ আপনি এটি হারানো ছাড়া দিতে পারেন একটি অনুকূল শতাংশ আছে?

সর্বোপরি যেটিই হ'ল নির্ভর করে আপনি কীভাবে বিভিন্ন লাভের মূল্য দেন তার উপর নির্ভর করবে। যাইহোক, এটি সমস্ত হারাতে যাওয়ার সম্ভাবনা সম্পর্কে আমরা কিছু বলতে পারি।

জুয়াড়ি যখন তার অর্থের শূন্য ভগ্নাংশ বাজি ধরবে তখনই সে অবশ্যই দেউলিয়া হবে না।

$q$$q_{\text{gambler's ruin}}$

$$q_{\text{gambler's ruin}} = 1-1/b$$ $c$$a_w$$a_l$

$b=2$

আপনার সমস্ত অর্থ হারানোর প্রতিক্রিয়া কি সময়ের সাথে সাথে হ্রাস বা বৃদ্ধি পায়?

$q<q_{\text{gambler's ruin}}$

কেলি মানদণ্ড ব্যবহার করার সময় দেউলিয়া হওয়ার সম্ভাবনা।

$q = 0.5(1-1/b)$$b$$b$$c$$0.1$$0.1^{S-L}$

$b$

সিমিউলেশন

$Y_t=-2$

$t$

$Y_t$

স্মোলুচোস্কি, মারিয়ান ভি। "Brownber ব্রাউনচে মলেকুলারবেয়েগাং আনস্টার ইনিওয়ারকুং äußerer ক্রিফ্ট আন্ড ডেরেন জুসামেনহ্যাং মিট ডের ভেরলেজমেইনার্টেন ডিফুসিউশনলিচুং।" আনালেন ডের ফিজিক 353.24 (1916): 1103-1112। (অনলাইনের মাধ্যমে উপলব্ধ: https://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/History/BM-History.html )

সমীকরণ 8:

$$W(x_0,x,t) = \frac{e^{-\frac{c(x-x_0)}{2D} - \frac{c^2 t}{4D}}}{2 \sqrt{\pi D t}} \left[ e^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}} - e^{-\frac{(x+x_0)^2}{4Dt}} \right]$$

$c$$E[Y_t]$$D$$\text{Var}(X_t)$$x_0$$t$

নীচের চিত্র এবং কোডটি সমীকরণটি দেখায়:

• হিস্টগ্রাম একটি অনুকরণ থেকে ফলাফল দেখায়।

• অঙ্কিত রেখাটি একটি মডেল দেখায় যখন আমরা আনুমানিক বিতরণের আনুষঙ্গিক কোনও সাধারণ বিতরণ ব্যবহার করি (এটি 'দেউলিয়ার' বাধা শোষণকারীটির অনুপস্থিতির সাথে মিলে যায়)। এটি ভুল কারণ দেউলিয়া স্তরের উপরের কিছু ফলাফলের মধ্যে ট্র্যাজেক্টরিগুলি জড়িত যা পূর্ববর্তী সময়ে দেউলিয়া স্তরে উত্তীর্ণ হয়েছিল।

• অবিচ্ছিন্ন লাইনটি স্মোলুচোস্কির সূত্রটি ব্যবহার করে প্রায় অনুমান।

কোড

#
## Simulations of random walks and bankruptcy:
#

# functions to compute c
cx = function(c,x) {
  c^log(1-x,10)+c^log(1+2*x,10) - 2
}
findc = function(x) {
  r <- uniroot(cx, c(0,1-0.1^10),x=x,tol=10^-130)
  r$root
}


# settings
set.seed(1)
n <- 100000
n2 <- 1000
q <- 0.45

# repeating different betting strategies
for (q in c(0.35,0.4,0.45)) {
  # plot empty canvas
  plot(1,-1000,
       xlim=c(0,n2),ylim=c(-2,50),
       type="l",
       xlab = "time step", ylab = expression(log[10](M[t])) )

  # steps in the logarithm of the money
  steps <- c(log(1+2*q,10),log(1-q,10))

  # counter for number of bankrupts
  bank <- 0

  # computing 1000 times
  for (i in 1:1000) {
    # sampling wins or looses
    X_t <- sample(steps, n, replace = TRUE)
    # compute log of money
    Y_t <- 1+cumsum(X_t)
    # compute money
    M_t <- 10^Y_t
    # optional stopping (bankruptcy)
    tau <- min(c(n,which(-2 > Y_t)))
    if (tau<n) {
      bank <- bank+1
    }
    # plot only 100 to prevent clutter
    if (i<=100) {
      col=rgb(tau<n,0,0,0.5)
      lines(1:tau,Y_t[1:tau],col=col)
    }
  }
  text(0,45,paste0(bank, " bankruptcies out of 1000 \n", "theoretic bankruptcy rate is ", round(findc(q)^3,4)),cex=1,pos=4)
  title(paste0("betting a fraction ", round(q,2)))
}

#
## Simulation of histogram of profits/results
#

# settings
set.seed(1)
rep <- 10000  # repetitions for histogram
n   <- 5000   # time steps
q   <- 0.45    # betting fraction
b   <- 2      # betting ratio loss/profit
x0  <- 3      # starting money

# steps in the logarithm of the money
steps <- c(log(1+b*q,10),log(1-q,10))

# to prevent Moiré pattern in
# set binsize to discrete differences in results
binsize <- 2*(steps[1]-steps[2]) 

for (n in c(200,500,1000)) {

  # computing several trials
  pays <- rep(0,rep)
  for (i in 1:rep) {
    # sampling wins or looses
    X_t <- sample(steps, n, replace = TRUE)
      # you could also make steps according to a normal distribution
      # this will give a smoother histogram
      # to do this uncomment the line below
    # X_t <- rnorm(n,mean(steps),sqrt(0.25*(steps[1]-steps[2])^2))

    # compute log of money
    Y_t <- x0+cumsum(X_t)
    # compute money
    M_t <- 10^Y_t
    # optional stopping (bankruptcy)
    tau <- min(c(n,which(Y_t < 0)))
    if (tau<n) {
      Y_t[n] <- 0
      M_t[n] <- 0
    }
    pays[i] <- Y_t[n]
  }

  # histogram
  h <- hist(pays[pays>0],
            breaks = seq(0,round(2+max(pays)),binsize), 
            col=rgb(0,0,0,0.5),
            ylim=c(0,1200),
            xlab = "log(result)", ylab = "counts",
            main = "")
  title(paste0("after ", n ," steps"),line = 0)  

  # regular diffusion in a force field (shifted normal distribution)
  x <- h$mids
  mu <- x0+n*mean(steps)
  sig <- sqrt(n*0.25*(steps[1]-steps[2])^2)
  lines(x,rep*binsize*(dnorm(x,mu,sig)), lty=2)

  # diffusion using the solution by Smoluchowski
  #   which accounts for absorption
  lines(x,rep*binsize*Smoluchowski(x,x0,0.25*(steps[1]-steps[2])^2,mean(steps),n))

}

Comments

"এটি, যাদু গাছের অ্যাসিমেট্রি প্যারামিটার বি থেকে স্বতন্ত্র, দেউলিয়া হয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা, কেলি মানদণ্ড ব্যবহার করার সময়, জুয়াড়ি দেউলিয়া হয়ে যায় এমন অর্থের পরিমাণ এবং জুয়াড়ির পরিমাণের পরিমাণের সমান শুরু হয়। দশ ডলার এবং 1 শতাংশের জন্য এটি দেউলিয়ার হয়ে যাওয়ার 1: 1000 এর সম্ভাবনা "আমি এ সম্পর্কে কিছুটা অবাক হয়েছি। সুতরাং এর অর্থ হল দেউলিয়া হয়ে যাওয়ার সম্ভাবনাটি 1: 1000 হবে এমনকি পেমেন্টটি রাউন্ডে প্রদত্ত অর্থের 10 গুণ বেশি হলেও? আপনার টাকা বাড়ার সাথে সাথে দেউলিয়া হয়ে যাওয়ার প্রতিক্রিয়া কমে গেলে এটি কীভাবে সম্ভব?

— বৈদ্যুতিন

@ ইলেক্ট্রনিকটুথপিক যদি প্রদানের পরিমাণটি বেশি হয় এবং আপনি যে জুড়ি খেলেন সেই ভগ্নাংশটি যদি আপনি পরিবর্তন না করেন , তবে দেউলিয়া হওয়ার সম্ভাবনা আরও কম হবে। তবে, আপনি যখন জুয়া খেলছেন সেই ভগ্নাংশটি বাড়িয়ে তোলেন, তখন এটি আর সত্য হবে না। কেলি মাপদণ্ডের সাহায্যে, যখন পেমেন্ট বেশি হবে তখন আপনি ভগ্নাংশটি জুয়া খেলবে। এটি অর্থের লগারিদমের প্রত্যাশিত মান বাড়িয়ে তুলবে, তবে ফলস্বরূপ, দেউলিয়া হওয়ার সম্ভাবনা একই থাকবে।

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

$E[\log M_t]$$E[M_t]$