কীভাবে পরীক্ষা করবেন

ধরুন আমার কাছে তিনটি স্বতন্ত্র গ্রুপ রয়েছে, যার সাথে আছে $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$ যথাক্রমে।

আমি কীভাবে পরীক্ষা করতে পারি $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ বা ব্যবহার না $n_1,~n_2,~n_3$ প্রতিটি গ্রুপ থেকে নমুনা?

আমি বিশদ গণনা নয়, কিছু সাধারণ পদ্ধতি জানতে চাই। কীভাবে আমার অনুমান সেট করা যায় তা আমি বুঝতে পারি না $H_0$ এবং $H_1$ ।

hypothesis-testing multiple-comparisons isotonic

— 456 123
সূত্র

এটি অর্ডার সংক্রান্ত একটি পরিসংখ্যানগত অনুমিতি । বিষয়ের উপর বই আছে ।

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন

অর্ডার বিধিনিষেধের আওতায় (১৯ 197৩) বার্লো, বার্থলেমিউ, ব্রামনার এবং ব্রাঙ্ক স্ট্যাটিস্টিকাল ইনফারেন্সের পুরানো বইও রয়েছে (যদিও এরপরে কিছু উন্নয়ন হয়েছে); ননপ্যারমেট্রিক পরীক্ষাগুলি যতদূর আছে, জোনকিয়ার-টেরপস্ট্রার পরীক্ষা আছে (যেমন কনভারের দেখুন) এবং একটি ম্যাচ টেস্টের (নিভ এবং ওয়ারথিংটনের বইটি চেষ্টা করুন)। আপনি সাধারণত একটি সাম্য নাল এবং একটি বিকল্প বিকল্প লিখবেন।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

উত্তরের সাথে অনুরূপ প্রশ্ন

— কেজেটিল বি হলওয়ার্সেন

এখানে একজনের উচিত বলা উচিত নয়, যার রয়েছে

n_{i}

$n_i$ দল থেকে নমুনা

i,

$i,$ তবে সেটির আকারের একটি নমুনা রয়েছে

n_{i}

$n_i$ গ্রুপ থেকে

i .

$i. \qquad$

— মাইকেল হার্ডি

উত্তর:

পরিসংখ্যানগুলিতে আপনি "এক্স সত্য কিনা" তা পরীক্ষা করতে পারবেন না। নাল অনুমানটি মিথ্যা যে আপনি কেবল তার প্রমাণ সন্ধানের চেষ্টা করতে পারেন।

আপনার নাল হাইপোথিসিসটি বলা যাক

H_{0}^{1} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{3} .

$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$ আসুন ধরে নেওয়া যাক আপনার কাছে ভেক্টরটি অনুমান করার একটি উপায় রয়েছে

μ = (μ_{1}, μ_{2}, μ_{3})^{'}

$\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$ । জিনিসগুলি সহজেই ধরে রাখুন যে আপনার অনুমানকারী রয়েছে

x \sim N (μ, Σ),

$x \sim N(\mu, \Sigma),$ কোথায়

Σ

$\Sigma$ হয়

3 \times 3

$3 \times 3$ covariate ম্যাট্রিক্স। আমরা নাল অনুমান হিসাবে আবার লিখতে পারেন

A μ < 0,

$A \mu < 0,$ কোথায়

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{matrix}] .

$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$ এটি দেখায় যে আপনার নাল হাইপোথিসিসটি ভেক্টরের উপর একটি অসমতা সীমাবদ্ধতা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

A μ

$A \mu$ । একটি প্রাকৃতিক অনুমানকারী

A μ

$A\mu$ দেওয়া হয়

A x \sim N (A μ, A Σ A^{'}) .

$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$ আপনি এখন দেওয়া সাধারণ ভেক্টরগুলিতে অসমতার সীমাবদ্ধতা পরীক্ষা করার জন্য ফ্রেমওয়ার্কটি ব্যবহার করতে পারেন:

কুডো, আকিও (1963)। "একতরফা পরীক্ষার একটি মাল্টিভিয়ারেট অ্যানালগ"। ইন: বায়োমেট্রিকা 50.3 / 4, পৃষ্ঠা 403–418।

যদি স্বাভাবিকতা অনুমানটি প্রায় আনুমানিক ("asympotically") ধারণ করে তবে এই পরীক্ষাটিও কাজ করবে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি গ্রুপগুলি থেকে নমুনা মাধ্যম আঁকতে পারলে এটি কাজ করবে। আপনি যদি আকারের নমুনা আঁকেন $n_1, n_2, n_3$ এবং যদি আপনি তখন গ্রুপগুলি থেকে স্বতন্ত্রভাবে আঁকতে পারেন $\Sigma$ তির্যক সহ একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স

(σ_{1}^{2} / n_{1}, σ_{2}^{2} / n_{2}, σ_{3}^{2} / n_{3})^{'},

$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$ কোথায়

σ_{k}^{2}

$\sigma_k^2$ দলে ভিন্নতা

k = 1, 2, 3

$k = 1, 2, 3$ । কোনও অ্যাপ্লিকেশনটিতে, আপনি পরীক্ষার বৈশিষ্ট্য পরিবর্তন না করে অজানা জনসংখ্যার পরিবর্তনের পরিবর্তে নমুনা বৈকল্পিক ব্যবহার করতে পারেন।

অন্যদিকে যদি আপনার বিকল্প অনুমান হয়

H_{1}^{2} : μ_{1} < μ_{2} < μ_{3}

$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$ তারপরে আপনার নাল হাইপোথিসিস হয়ে যায়

H_{0}^{2} : NOT H_{1} .

$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$ এটি খুব কার্যকর নয়। মনে রাখবেন যে আমাদের নতুন বিকল্প অনুমান হিসাবে লেখা যেতে পারে

H_{1} : A μ < 0

$H_1: A\mu <0$ যাতে

H_{0}^{2} : there exists a k = 1, 2 such that (A μ)_{k} \geq 0 .

$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$ আমি জানি না এর জন্য কোনও বিশেষীকৃত পরীক্ষা আছে কিনা, তবে আপনি অবশ্যই ধারাবাহিক পরীক্ষার ভিত্তিতে কিছু কৌশল চেষ্টা করতে পারেন। মনে রাখবেন যে আপনি শূন্যতার বিরুদ্ধে প্রমাণ খুঁজে পাওয়ার চেষ্টা করছেন। সুতরাং আপনি প্রথম পরীক্ষা করতে পারেন

H_{0, 1}^{2} : (A μ)_{1} \geq 0.

$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$ এবং তারপর

H_{0, 2}^{2} : (A μ)_{2} \geq 0.

$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$ If you reject both times then you have found evidence that

H_{0}

$H_0$ is false and you reject

H_{0}

$H_0$ . If you don't, then you don't reject

H_{0}

$H_0$ . Since you are testing multiple times you have to adjust the nominal level of the subtest. You can use a Bonferroni correction or figure out an exact correction (since you know

Σ

$\Sigma$ ).

Another way of constructing a test for $H_0^2$ is to note that

H_{0}^{2} : max_{k = 1, 2} (A μ)_{k} \geq 0.

$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$ This implies using

max A x

$\max Ax$ as a test statistic. The test will have a non-standard distribution under the null, but the appropriate critical value should still be fairly easy to compute.

— Andreas Dzemski
সূত্র

Fair enough, I edited my answer.

— Andreas Dzemski

Good answer (+1). Just to improve it a bit more, may I recommend replacing

x

$x$ with

\hat{μ}

$\hat{\mu}$ so that the notation reflects the intention that this object is an estimator for

μ

$\mu$ .

— Ben - Reinstate Monica

The answer provided by @andreas-dzemski is correct only if we know that the data is normally distributed.

If we do not know the distribution, I believe it would be better to run a nonparametric test. In this case, the simplest seems to run a permutation test. This is a book about the topic and this is a nice online explanation. Below I include R code to compute this test.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))

— scaramouche
সূত্র