গামা-বিতরণকৃত এক্সের জন্য Y = লগ (এক্স) এর ঘনত্ব

Question

এই প্রশ্নটি এই পোস্টের সাথে নিবিড়ভাবে সম্পর্কিত

ধরুন আমার কাছে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং আমি ওয়াই = লগ ( এক্স ) সংজ্ঞায়িত করেছি । আমি Y এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি খুঁজতে চাই ।$X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$$Y = \log(X)$$Y$

আমি প্রাথমিকভাবে ভেবেছিলাম যে আমি কেবল ক্রমবর্ধমান ডিস্ট্রিবিউশন ক্রিয়াকলাপটি সংজ্ঞায়িত করব, ভেরিয়েবলের পরিবর্তন করব এবং অখণ্ডের "অভ্যন্তর "টিকে আমার ঘনত্ব হিসাবে গ্রহণ করব, যেমন,

$$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$$

এখানে আমি এবং ডি y = $y = \log x$, তারপরেy এরক্ষেত্রেxএবংdxএরসংজ্ঞা দেওয়া হবে।$dy = \frac{1}{x} dx$$x$$dx$$y$

দুর্ভাগ্যক্রমে আউটপুটটি 1 এ একীভূত হয় না আমার ভুলটি কোথায় তা আমি নিশ্চিত নই। কেউ আমাকে বলতে পারে আমার ত্রুটি কোথায়?

Comments

আপনি যদি সিডিএফ দিয়ে কাজ করেন তবে আপনার প্রথম ইনিগ্রেশনটি দ্বিতীয় থেকে শুরু করে দ্বিতীয় ইন্টিগ্রলে পরিবর্তন করা উচিত নয়। আপনার ভুলটি সিডিএফ এবং জ্যাকবীয় উভয় পদ্ধতির একই সাথে ব্যবহার করার চেষ্টা করছে।

— শি'য়ান

Answer 1

একটি পরিষ্কার ছবি পেতে সূচকগুলি সহ ঘনত্বগুলি লিখুন।

যদি তবে f x ( x ) = $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

$$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$$

যদি , বিপরীত X = h ( Y ) = e Y এর সাথে থাকে তবে f y ( y ) = f X ( h ( y ) ) | h ′ ( y ) | = $Y=g(X)=\log X$$X=h(Y)=e^Y$ এবং সিডিএফ সংজ্ঞা থেকে প্রাপ্ত হয় পি ( ওয়াই ≤ Y ) = ∫ Y - ∞ চ ওয়াই ( Y ) ঘ

$$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$$ $$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$$

Comments

এটি একটি ভাল উত্তর, তবে সম্ভবত আপনার গামা বিতরণকে মূল প্রশ্নের মতোই প্যারামিটারাইজ করা উচিত।

— স্বাভাবিক

ভাল কথা, সর্বোচ্চ। সম্পন্ন.

— জেন 0

$\alpha = k$