সাধারণত দুটি বিতরণযোগ্য ভেরিয়েবলগুলির মিশ্রণ কেন কেবল বিমোডাল হয় যদি তাদের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির কমপক্ষে দুই গুণ পৃথক পৃথক হয়?

Question

দুটি সাধারণ বিতরণের মিশ্রণে:

https://en.wikipedia.org/wiki/Multimodal_distribution#Mixture_of_two_normal_distributions

"দুটি সাধারণ বিতরণের মিশ্রণটির অনুমানের জন্য পাঁচটি প্যারামিটার রয়েছে: দুটি উপায়, দুটি বৈকল্পিক এবং মিশ্রণ পরামিতি standard সমমানের আদর্শ বিচ্যুতির সাথে দুটি সাধারণ বিতরণের মিশ্রণ কেবল তখনই বিমোডাল হয় যদি সাধারণ মানের বিচ্যুতির চেয়ে কমপক্ষে দ্বিগুণ হয়ে থাকে তবে তাদের উপায় পৃথক হয় im । "

কেন এটি সত্য তা সম্পর্কে আমি একটি বিকাশ বা স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা খুঁজছি। আমি বিশ্বাস করি এটি দুটি নমুনা টি পরীক্ষার আকারে ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হতে পারে:

$$\frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma_p}$$

যেখানে $\sigma_p$ হ'ল পুল স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি।

Comments

অন্তর্নিহিততাটি হ'ল, যদি উপায়গুলি খুব কাছাকাছি হয় তবে 2 ঘনত্বের ভরতে খুব বেশি ওভারল্যাপ হবে তাই মধ্যবর্তী পার্থক্যটি দেখা যাবে না কারণ পার্থক্যটি কেবলমাত্র দু'জনের ভর দিয়েই ডুবে যাবে ঘনত্বের। যদি দুটি মাধ্যম পর্যাপ্ত আলাদা হয় তবে দুটি ঘনত্বের জনগণ এতটা ওভারল্যাপ করবে না এবং উপায়গুলির মধ্যে পার্থক্যটি স্বতঃস্ফূর্ত হবে। তবে আমি এর গাণিতিক প্রমাণ দেখতে চাই। এটি একটি উত্তম বিবৃতি। আগে কখনও দেখিনি।

— মাইলফটন

আরো আনুষ্ঠানিকভাবে, সঙ্গে একই এসডি দুই স্বাভাবিক ডিস্ট্রিবিউশন একটি 50:50 মিশ্রণ জন্য আপনি ঘনত্ব লিখতে যদি চ ( এক্স ) = 0.5 গ্রাম 1 ( এক্স ) + + 0.5 গ্রাম 2 ( x এর ) পরামিতি দেখাচ্ছে পূর্ণ রূপে you যে তার দ্বিতীয় ব্যুৎপন্ন পরিবর্তন দুই উপায়ে মধ্যে মিডপয়েন্ট এ সাইন ইন দেখতে হবে যখন নীচের থেকে উপায়ে বৃদ্ধি মধ্যে দূরত্ব 2 σ উপরোক্ত। $\sigma,$$f(x) = 0.5g_1(x) + 0.5g_2(x)$$2\sigma$

— ব্রুসেট

দেখুন "রেলে নির্ণায়ক," en.wikipedia.org/wiki/Angular_resolution#Explanation

— কার্ল Witthoft

Answer 1

উইকির নিবন্ধটিতে লিঙ্কযুক্ত কাগজ থেকে এই চিত্রটি একটি দুর্দান্ত চিত্র সরবরাহ করে:

তারা যে প্রমাণ দেয় তা নির্ভর করে যে সাধারণ বিতরণগুলি তাদের গড়ের একটি এসডির মধ্যে অবতল হয় (এসডিটি সাধারণ পিডিএফের প্রতিবিম্ব বিন্দু, যেখানে এটি অবতল থেকে উত্তল দিকে যায়)। সুতরাং, আপনি যদি দুটি সাধারণ পিডিএফ একসাথে যোগ করেন (সমান অনুপাতের সাথে), তবে যতক্ষণ না তাদের উপায় দুটি এসডি-র চেয়ে পৃথক হয়, যোগফল-পিডিএফ (অর্থাত্ মিশ্রণ) দুটি মাধ্যমের মধ্যে অঞ্চলে অবতল হবে and গ্লোবাল সর্বাধিক সর্বোচ্চ দুটি মাধ্যমের মধ্যে ঠিক পয়েন্ট হতে হবে।

তথ্যসূত্র: শিলিং, এমএফ, ওয়াটকিন্স, এই, এবং ওয়াটকিন্স, ডাব্লু। (2002)। মানব উচ্চতা কি বিমোডাল? আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ, 56 (3), 223-2229। ডোই: 10.1198 / 00031300265

Comments

+1 এটি একটি দুর্দান্ত, স্মরণীয় যুক্তি।

— whuber

চিত্রের শিরোনামে 'ফ্লাইং' লিগচারটি 'প্রতিবিম্ব' তে ভুলভাবে বিকশিত হওয়ার একটি দুর্দান্ত চিত্রও সরবরাহ করে :

— পি

@ অক্সিম্যান: এই উল্লেখটি যুক্ত করার জন্য ধন্যবাদ - যেহেতু এটি আমার নিজের দিকে যুক্ত করার পরিকল্পনাটি কিছুটা ফুটিয়ে উঠেছে, যেহেতু আমি সত্যই তাদের যুক্তিটি পুনরাবৃত্তি করছি এবং আমি এর জন্য খুব বেশি creditণ নিতে চাই না।

— রুবেন ভ্যান বার্গেন

Answer 2

এটি এমন একটি ক্ষেত্রে যেখানে ছবিগুলি প্রতারণামূলক হতে পারে, কারণ এই ফলাফলটি সাধারণ মিশ্রণের একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য : উপাদানগুলি প্রতিসাম্প্রতিক ইউনিমোডাল বিতরণ হলেও এমন কি অ্যানালগটি অন্যান্য মিশ্রণের জন্য অগত্যা ধরে রাখে না! উদাহরণস্বরূপ, দুটি সাধারণ ছাত্র বিতরণের একটি সমান মিশ্রণ দ্বিগুণ থেকে তার সাধারণ স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির চেয়ে দ্বিগুণ চেয়ে পৃথক হবে im প্রকৃত অন্তর্দৃষ্টি জন্য, আমাদের কিছু গণিত করতে হবে বা সাধারণ বিতরণের বিশেষ বৈশিষ্ট্যগুলির কাছে আবেদন করতে হবে।

---

পরিমাপের একক এ উপাদান ডিস্ট্রিবিউশন মাধ্যম স্থাপন করতে (recentering এবং প্রয়োজনীয় rescaling দ্বারা) চয়ন করুন $\pm\mu,$ $\mu\ge 0,$ এবং তাদের সাধারণ ভ্যারিয়েন্স ঐক্য করতে। যাক $p,$ $0 \lt p \lt 1,$ মিশ্রণ মধ্যে বৃহত্তর-গড় উপাদানের পরিমাণ করা। এটি আমাদের হিসাবে সাধারণের মধ্যে মিশ্রণের ঘনত্বটি প্রকাশ করতে সক্ষম করে

$$\sqrt{2\pi}f(x;\mu,p) = p \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2}\right) + (1-p) \exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2}\right).$$

কারণ উভয় উপাদান ঘনত্ব বৃদ্ধি যেখানে $x\lt -\mu$ এবং হ্রাস যেখানে $x\gt \mu,$ শুধুমাত্র সম্ভব মোড ঘটতে যেখানে $-\mu\le x \le \mu.$ তাদের পার্থক্যকারী দ্বারা $f$ সম্মান সঙ্গে $x$ এবং শূন্য থেকে এটি সেটিং। আমরা প্রাপ্ত যে কোনও ধনাত্মক সহগগুলি সাফ করছি

$$0 = -e^{2x\mu} p(x-\mu) + (1-p)(x+\mu).$$

পূর্ববর্তী সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত মান দ্বারা $f$ এর দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ এবং $e^{2x\mu}$ প্রতিস্থাপনের সাথে অনুরূপ ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করানো যে কোনও সমালোচনামূলক বিন্দুতে দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভের চিহ্নটি আমাদের বলে

$$f^{\prime\prime}(x;\mu,p) \propto \frac{(1+x^2-\mu^2)}{x-\mu}.$$

যেহেতু হর নেতিবাচক যখন $-\mu\lt x \lt \mu,$ চিহ্ন $f^{\prime\prime}$ যে $-(1-\mu^2 + x^2).$এটা পরিষ্কার যে যখন $\mu\le 1,$ চিহ্ন নেতিবাচক হতে হবে। মাল্টিমোডাল বিতরণে, তবে (কারণ ঘনত্ব অব্যাহত থাকে), যে কোনও দুটি মোডের মধ্যে অবশ্যই একটি অ্যান্টিমোড থাকতে হবে , যেখানে চিহ্নটি অ-নেতিবাচক। সুতরাং যখন $\mu$ কম $1$ (এসডি), বিতরণ unimodal হতে হবে।

$2\mu,$

সাধারণ বিতরণের একটি মিশ্রণ সর্বসমক্ষে যখনই মাধ্যমগুলি সাধারণ স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির দ্বিগুণের বেশি নয় by

এটি যৌক্তিকভাবে প্রশ্নের বিবৃতিটির সমতুল্য।

Answer 3

ধারাবাহিকতার জন্য উপরের মন্তব্যটি এখানে আটকানো হয়েছে:

$$f(x)=0.5g_1(x)+0.5g_2(x)$$

মন্তব্য অব্যাহত:

$\sigma=1.$$3\sigma, 2\sigma,$$\sigma,$

চিত্রের জন্য আর কোড:

par(mfrow=c(1,3))
  curve(dnorm(x, 0, 1)+dnorm(x,3,1), -3, 7, col="green3", 
    lwd=2,n=1001, ylab="PDF", main="3 SD: Dip")
  curve(dnorm(x, .5, 1)+dnorm(x,2.5,1), -4, 7, col="orange", 
    lwd=2, n=1001,ylab="PDF", main="2 SD: Flat")
  curve(dnorm(x, 1, 1)+dnorm(x,2,1), -4, 7, col="violet", 
    lwd=2, n=1001, ylab="PDF", main="1 SD: Peak")
par(mfrow=c(1,3))

Comments

উত্তর সব দুর্দান্ত ছিল। ধন্যবাদ।

— মাইলফটন

$2/3$$0.001.$

$0.1\%$ $f$$x_0)$ $$f(x_0)-f(x)\le 0.001 f(x_0)\ \iff\ |x-x_0|\le 0.333433,$$ $0.001$$0.95832$ $$f(x_0)-f(x)\le 0.001\ \iff\ |x-x_0|\le 0.47916.$$

ভাল দিক. আসলে, আমি সংক্ষিপ্ত ভাষা 'ফ্ল্যাট' বলতে যা বোঝাতে চেয়েছিলাম তা হ'ল মিডপয়েন্টে হ'ল শূন্য 2nd

— ব্রুসেট