লগনরমাল এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য উপলব্ধ পারস্পরিক সম্পর্ক

, এবং সাথে লগনরমাল এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এবং বিবেচনা করুন । $X_1$ $X_2$ $\log(X_1)\sim \mathcal{N}(0,1)$ $\log(X_2)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

আমি জন্য এবং গণনা করার চেষ্টা করছি । আমার দেওয়া প্রদত্ত সমাধানের একটি পদক্ষেপ হ'ল: $\rho_{\max}$ $\rho_{\min}$ $\rho (X_1,X_2)$

$\rho_{\max}=\rho (\exp(Z),\exp(\sigma Z))$ এবং $\rho_{\min}=\rho (\exp(Z),\exp(-\sigma Z))$ ,

তবে তারা কমোনোটোনিসিটি এবং কাউন্টারকোমোনোটোনসিটির কিছু উল্লেখ করেছে। আমি আশা করছিলাম যে কেউ কীভাবে প্রাসঙ্গিক তা বুঝতে আমাকে সহায়তা করবে। (আমি সাধারণ অভিব্যক্তিটি থেকে এটি কীভাবে পেতে পারি তবে কমোনেটোনসিটির অংশগুলি কী বলছিল তা বিশেষভাবে জানতে চাই))

correlation copula

— Pk.yd
সূত্র

"তারা" কারা?

— শুক্র

আমি কমোনোটোনসিটি এবং কাউন্টারমোনটোনসিটির সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করব । তারপরে, আমি উল্লেখ করব কেন এটি দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের মধ্যে ন্যূনতম এবং সর্বাধিক সম্ভাব্য পারস্পরিক সম্পর্কের গুণাগুণ গণনা করতে প্রাসঙ্গিক। এবং পরিশেষে, আমি লগনারম এলোমেলো ভেরিয়েবল $X_1$ এবং জন্য এই সীমাগুলি গণনা করব $X_2$ ।

Comonotonicity এবং countermonotonicity
র্যান্ডম ভেরিয়েবল $X_1, \ldots, X_d$ হতে বলেন হয় comonotonic যদি তাদের যোজক হয় Fréchet উপরের আবদ্ধ $M(u_1, \ldots, u_d) = \min(u_1, \ldots, u_d)$ , যা শক্তিশালী হয় "ধনাত্মক" নির্ভরতা প্রকার।
এটি দেখানো যেতে পারে যে $X_1, \ldots, X_d$ হয় এবং কেবল যদি

({এক্স}_{1}, ..., {এক্স}_{ঘ}) \overset{ঘ}{=} (জ_{1} (জেড), ..., জ_{ঘ} (জেড)),

$(X_1, \ldots, X_d) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), \ldots, h_d(Z)),$ যেখানে

Z

$Z$ কিছু এলোমেলো পরিবর্তনশীল,

h_{1}, \dots, h_{d}

$h_1, \ldots, h_d$ ক্রিয়াকলাপ বাড়িয়ে তুলছে, এবং

\overset{d}{=}

$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$ বিতরণে সমতা বোঝায়। সুতরাং, কমোনোটোনিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি কেবল একটি একক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফাংশন।

এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি কে কাউন্টারমোনটোনিক বলা হয় যদি তাদের কোপুলা ফ্র্যাচেট নীচের দিকে আবদ্ধ হয় তবে এটি "নেতিবাচক" নির্ভরতার সবচেয়ে শক্তিশালী প্রকার দ্বিমুখী মামলা কাউন্টারমোনোটোনসিটি উচ্চ মাত্রায় সাধারণীকরণ করে না। এটি দেখানো যেতে পারে যে কাউন্টারমনোটোনিক হয় এবং কেবল যদি যেখানে কিছু র্যান্ডম পরিবর্তনশীল, এবং এবং যথাক্রমে একটি ক্রমবর্ধমান এবং ফাংশন, বা বিপরীতে। $X_1, X_2$ $W(u_1, u_2) = \max(0, u_1 + u_2 - 1)$
$X_1, X_2$

({এক্স}_{1}, {এক্স}_{2}) \overset{ঘ}{=} (জ_{1} (জেড), জ_{2} (জেড)),

$(X_1, X_2) \stackrel{\mathrm{d}}{=} (h_1(Z), h_2(Z)),$

Z

$Z$

h_{1}

$h_1$

h_{2}

$h_2$

লভ্য পারস্পরিক সম্পর্ক
আসুন এবং কঠোরভাবে ইতিবাচক ও সসীম ভেরিয়ানস সঙ্গে দুই র্যান্ডম ভেরিয়েবল হবে | এবং সর্বনিম্ন এবং মধ্যবর্তী সর্বোচ্চ সম্ভব পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের বোঝাতে এবং । তারপরে, এটি প্রদর্শিত হতে পারে $X_1$ $X_2$ $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$

${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\min}$ যদি এবং কেবলমাত্র এবং যদি কাউন্টারমনোটোনিক হয়; $X_1$ $X_2$
${\rm \rho}(X_1, X_2) = \rho_{\max}$ যদি এবং কেবলমাত্র এবং কমোনোটোনিক হয়। $X_1$ $X_2$

লগনরমাল এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য উপলভ্য পারস্পরিক সম্পর্ক obtain
প্রাপ্ত করার জন্য আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করি যে যদি এবং কমোনোটোনিক হয় তবে কেবলমাত্র সর্বাধিক পারস্পরিক সম্পর্ক প্রাপ্ত হয় । ভেরিয়েবলগুলি এবং যেখানে কমোনোটোনিক হওয়ায় ক্ষতিকারক ক্রিয়াটি একটি (কঠোরভাবে) ক্রমবর্ধমান ফাংশন, এবং এইভাবে । $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$ $X_1 = e^{Z}$ $X_2 = e^{\sigma Z}$ $Z \sim {\rm N} (0, 1)$ $\rho_{\max} = {\rm corr} \left (e^Z, e^{\sigma Z} \right )$

লগনরমাল এলোমেলো ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে , আমাদের কাছে , , , এবং সমবায়িকতাটি সুতরাং, ${\rm E}(e^Z) = e^{1/2}$ ${\rm E}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2/2}$ ${\rm var}(e^Z) = e(e - 1)$ ${\rm var}(e^{\sigma Z}) = e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$

\begin{aligned} গ ণ বনাম (ই^{জেড}, ই^{σ জেড}) & = ই (ই^{(σ + + 1) জেড}) - ই (ই^{σ জেড}) ই (ই^{জেড}) \\ = ই^{(σ + + 1)^{2} / 2} - ই^{(σ^{2} + + 1) / 2} \\ = ই^{(σ^{2} + + 1) / 2} (ই^{σ} - 1) । \end{aligned}

$\begin{align} {\rm cov}\left (e^Z, e^{\sigma Z}\right ) &= {\rm E}\left (e^{(\sigma + 1) Z}\right ) - {\rm E}\left (e^{\sigma Z}\right ){\rm E}\left (e^Z\right ) \\ &= e^{(\sigma + 1)^2/2} - e^{(\sigma^2 + 1)/2} \\ &= e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ). \end{align}$

\begin{aligned} ρ_{সর্বোচ্চ} & = \frac{ই^{(σ^{2} + + 1) / 2} (ই^{σ} - 1)}{\sqrt{ই (ই - 1) ই^{σ^{2}} (ই^{σ^{2}} - 1)}} \\ = \frac{(ই^{σ} - 1)}{\sqrt{(ই - 1) (ই^{σ^{2}} - 1)}} । \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\max} & = \frac{ e^{(\sigma^2 + 1)/2} ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ e(e - 1) e^{\sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) } } \\ & = \frac{ ( e^{\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$

ফলন with সাথে অনুরূপ গণনাগুলি $X_2 = e^{-\sigma Z}$

\begin{aligned} ρ_{সর্বনিম্ন} & = \frac{(ই^{- σ} - 1)}{\sqrt{(ই - 1) (ই^{σ^{2}} - 1)}} । \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\min} & = \frac{ ( e^{-\sigma} -1 ) } { \sqrt{ (e - 1) (e^{\sigma^2} - 1) } }. \end{align}$

মন্তব্য
এই উদাহরণটি দেখায় যে দৃ rand়ভাবে নির্ভরশীল এলোমেলো পরিবর্তনশীলের একটি জুড়ি রাখা সম্ভব - কমোনোটোনিসিটি এবং কাউন্টারমনোটনিসিটি হ'ল দৃ kind় নির্ভরশীলতা - তবে এর খুব কম সম্পর্ক রয়েছে। নিম্নলিখিত চার্টটি এই । ফাংশন হিসাবে দেখায় । $\sigma$

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

এটি আর্ট কোড যা আমি উপরের চার্টটি উত্পাদন করতে ব্যবহৃত হয়েছিল।

curve((exp(x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), from = 0, to = 5,
      ylim = c(-1, 1), col = 2, lwd = 2, main = "Lognormal attainable correlation",
      xlab = expression(sigma), ylab = "Correlation", cex.lab = 1.2)
curve((exp(-x)-1)/sqrt((exp(1) - 1)*(exp(x^2) - 1)), col = 4, lwd = 2, add = TRUE)
legend(x = "bottomright", col = c(2, 4), lwd = c(2, 2), inset = 0.02,
       legend = c("Correlation upper bound", "Correlation lower bound"))
abline(h = 0, lty = 2)

— QuantIbex
সূত্র

(+6) খুব ভাল প্রদর্শন এবং ভাল চিত্রিত। এটি আকর্ষণীয় যে সিমুলেশনটির মাধ্যমে আপনার চার্টটি নিশ্চিত করার চেষ্টাগুলি সর্বনাশ হবে যখন চেয়ে অনেক বেশি বড় হবে কারণ নমুনা পারস্পরিক সম্পর্কের সহগ অত্যন্ত পরিবর্তনশীল ( 2 এর একটি অত্যন্ত উচ্চ মানের পাওয়ার সম্ভাবনার কারণে , যার উচ্চতর লাভ হবে) । এটি একটি কঠিন তাত্ত্বিক বিশ্লেষণের তুলনায় স্বাভাবিকের চেয়ে বেশি মান রাখে।

σ

$\sigma$

3

$3$

X_{2}

$X_2$

— হোবার

এই উদ্ভাস এম Denuit এবং জে Dhaene (2003), উদাহরণ 2.1 (PG। 23) একটি অভিযোজিত হয় একস্ট্রিমাল সম্পর্কযুক্তরূপে দ্বারা comonotonicity এবং countermonotonicity সরল characterizations , বেলজিয়ান আসল বুলেটিন , ভোল। 3, 22-27।

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল আমি এই নিবন্ধ সম্পর্কে সচেতন ছিলাম না, ধন্যবাদ। অন্যান্য সম্ভাব্য তথ্যসূত্রগুলির মধ্যে রয়েছে ebooks.cambridge.org/… বা ম্যাকনিল, এজে, ফ্রে, আর এবং এমব্রেকটস, পি (2005)। পরিমাণগত ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা: ধারণা, কৌশল এবং সরঞ্জাম। প্রিন্সটন: প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস।

— কোয়ান্টইবেেক্স

উদাহরণটি কমপক্ষে আরডি ডি ভৌক্স (1976) এ ফিরে আসে, বায়ু দূষণের মডেল , টেকের দ্বারা উত্পন্ন বাইভারিয়েট বিতরণগুলির পারস্পরিক সম্পর্কের জন্য আঁটসাঁট উপরের এবং নীচের সীমানা । প্রতিবেদন 5, পরিসংখ্যান বিভাগ, স্ট্যানফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়। পৃষ্ঠা 6 থেকে শুরু করে বিভাগ 3 দেখুন The অন্তর্নিহিত সরঞ্জামগুলি হয়েফডিংয়ের কাছে জানা ছিল।

— কার্ডিনাল

আপনার প্রমাণে @ কোয়ান্ট আইবেক্স আমার কাছে কিছু অস্পষ্ট। আপনিই প্রথম যে দাবি এবং comonotonic হয় যদি এবং কেবল যদি তাদের যৌথ বন্টন সমান , জন্য বৃদ্ধি, ইত্যাদি, কিন্তু আপনি যখন lognormal র্যান্ডম এই ফলাফলের আবেদন ভেরিয়েবল, আপনি বলে থাকেন যে এর থেকে বোঝা যায় যে এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি নিজেরাই এবং , অর্থাৎ মনে হয় আপনি কেবলমাত্র বিতরণ নয় বরং এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলিতে দাবিটি প্রয়োগ করেছেন। এটা কেমন?

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

(h_{1} (Z), h_{2} (Z))

$(h_1(Z), h_2(Z))$

h_{1}, h_{2}

$h_1, h_2$

X_{1} = e^{Z}

$X_1=e^Z$

X_{1} = e^{σ Z}

$X_1=e^{\sigma Z}$

— র্যান্ডমগুই