ভার (এক্স) জানা যায়, ভার (1 / এক্স) গণনা কিভাবে করব?

আমার কাছে যদি কেবলমাত্র আমি কীভাবে গণিত গণনা করতে পারি ? $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$

বিতরণ সম্পর্কে আমার কাছে কোনও তথ্য নেই , তাই আমি রূপান্তর বা সম্ভাব্যতা বন্টন ব্যবহার করে এমন অন্য কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি না । $X$ $X$

distributions variance data-transformation

— একটি ইদুর
সূত্র

আমি মনে করি যে এই আপনি সাহায্য করতে পারেন।

— ক্রিস্টোফ_জে

এটা অসম্ভব.

এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম বিবেচনা করুন, যেখানে $X_n$

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

তারপর:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

কিন্তু শূন্যের পৌঁছায় অনন্তের দিকে যাওয়ার জন্য: $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

এই উদাহরণটি এই সত্যটি ব্যবহার করে যে অনুবাদ অনুসারে , তবে নয়। $\Var(X)$ $X$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

তবে আমরা যদি ধরেও নিই তবে আমরা গণনা করতে পারি না : আসুন $\mathrm{E}(X)=0$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

এবং

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

তারপরে 1 এর পৌঁছায় অনন্ত হয়ে যায়, তবে all সমস্ত জন্য । $\Var(X_n)$ $n$ $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— mogron
সূত্র

রূপান্তরিত এলোমেলো ভেরিয়েবলের লো-অর্ডার মুহুর্তের একটি আনুমানিকতা পেতে আপনি টেলর সিরিজটি ব্যবহার করতে পারেন। বিতরণ যদি গড়ের (প্রায়শই একটি নির্দিষ্ট অর্থে) মোটামুটি 'টাইট' হয় তবে অনুমানটি বেশ ভাল হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

সুতরাং

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

প্রায়শই কেবল প্রথম পদ নেওয়া হয়

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

এক্ষেত্রে (ধরে নিলাম আমি কোনও ভুল করিনি), , । $g(X)=\frac{1}{X}$ $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

উইকিপিডিয়া: র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ফাংশনগুলির মুহুর্তের জন্য টেলর বিস্তৃতি

---

এটি উদাহরণস্বরূপ কয়েকটি উদাহরণ। আমি আর-তে দুটি (গামা-বিতরণ) নমুনা তৈরি করব, যার মধ্যে একটি গড়ের বিষয়ে 'অত-টাইট' বিতরণ এবং একটিটি আরও কঠোর।

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

অনুমানটি প্রস্তাব দেয় যে কাছাকাছি হওয়া উচিত $1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

বীজগণিত গণনাতে প্রকৃত জনসংখ্যার $1/648 \approx 0.00154$

এখন শক্ততর জন্য:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

অনুমানটি প্রস্তাব দেয় যে কাছাকাছি হওয়া উচিত $1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

বীজগণিত গণনা দেখায় যে পারস্পরিক । $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

নোট করুন যে এক্ষেত্রে, একটি বেশ দুর্বল অনুমান এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে যে কোনও অর্থ (কোথাও তারতম্য) বিদ্যমান থাকবে না, অর্থাত, উত্তরের অনুমানটি বরং বিভ্রান্তিকর হবে। :-) একটি উদাহরণ হাইপোথিসিস যে একটি ঘনত্ব আছে যে শূন্য প্রায় একটি ব্যবধান ক্রমাগত এবং এই ধরনের যে । ফলাফলটি এরপরে অনুসরণ করে কারণ ঘনত্বটি কিছু বিরতিতে শূন্য থেকে সীমাবদ্ধ থাকবে । সবেমাত্র প্রদত্ত অনুমান অবশ্যই দুর্বল সম্ভব নয়, অবশ্যই।

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$

— কার্ডিনাল

টেলর সিরিজের যুক্তিটি ব্যর্থ হওয়ার কারণ হ'ল because অবশিষ্ট (ত্রুটি) শব্দটি গোপন করে, যা এই ক্ষেত্রে এবং এটি কাছাকাছি খারাপ আচরণ করে ।

\approx

$\approx$

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$

x = 0

$x = 0$

— কার্ডিনাল

প্রকৃতপক্ষে 0 এর ঘনত্বের আচরণ সম্পর্কে অবশ্যই যত্নবান হওয়া উচিত নোট করুন যে উপরের গামার উদাহরণগুলিতে বিপরীত বিতরণটি বিপরীত গামা, যার জন্য একটি সীমাবদ্ধ মানে ( আকারের প্যারামিটার হওয়ার প্রয়োজন গামা আমরা উল্টাচ্ছি)। দুটি উদাহরণের মধ্যে এবং । তবুও (উল্টানোর জন্য "দুর্দান্ত" বিতরণ সহ) উচ্চতর পদগুলির অবহেলা একটি লক্ষণীয় পক্ষপাতিত্ব প্রবর্তন করতে পারে।

α > 1

$\alpha>1$

α

$\alpha$

α = 10

$\alpha = 10$

α = 100

$\alpha = 100$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

: এই ডান দিক হচ্ছে, একটি পারস্পরিক একটি পারস্পরিক আদর্শ সাধারন বন্টনের পরিবর্তে সাধারণ বণ্টনের স্থানান্তরিত en.wikipedia.org/wiki/...

— ফিলিপ জি Nievinski