অভিন্ন বিতরণ সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য কি সমানভাবে বিতরণ করা হয়?

22

আমরা বিপুল সংখ্যক বার 6-পক্ষের ডাই রোল করি।

কোনও রোল এবং তার পূর্ববর্তী রোলের মধ্যে পার্থক্য (পরম মান) গণনা করা, পার্থক্যগুলি কি সমানভাবে বিতরণ করা হবে বলে আশা করা হচ্ছে?

10 রোল দিয়ে চিত্রিত করতে:

roll num  result diff
1           1     0
2           2     1
3           1     1
4           3     2
5           3     0
6           5     2
7           1     4
8           6     5
9           4     2
10          4     0

চান diffমান অবিশেষে বিতরণ করা?

distributions uniform

— HeyJude
সূত্র

13

কমপক্ষে একটি ধারণা পেতে একটি হিস্টোগ্রাম প্লট করুন

— বন্দুক

2

পোইসন বিতরণ পরীক্ষা করে দেখুন ।

— বাম দিকের বাইরে

এটি হোম ওয়ার্কের মতো দেখাচ্ছে ....

— মনু এইচ

@ মানু এইচ, আমি আপনাকে আশ্বাস দিয়েছি যে হোমওয়ার্কের দিনগুলি আমার পিছনে রয়েছে

— আরে

37

না এটি অভিন্ন নয়

আপনি পরম পার্থক্য জন্য $36$ সমান সম্ভাবনা সম্ভাবনা গণনা করতে পারেন

     second 1   2   3   4   5   6
first                           
1           0   1   2   3   4   5
2           1   0   1   2   3   4
3           2   1   0   1   2   3
4           3   2   1   0   1   2
5           4   3   2   1   0   1
6           5   4   3   2   1   0

যা এর সম্পূর্ণ পার্থক্যগুলির জন্য সম্ভাব্যতা বিতরণ দেয়

0    6/36  1/6
1   10/36  5/18
2    8/36  2/9
3    6/36  1/6
4    4/36  1/9
5    2/36  1/18

— হেনরি
সূত্র

27

@ অনুরকানবিক্টাস এই উত্তরের টেবিলটি আপনার দৃser়তার সাথে পরিষ্কারভাবে বিরোধিতা করেছে: উদাহরণস্বরূপ, এটি দেখায় যে সম্ভাব্য পার্থক্যের মধ্যে কেবল একটির 5 টির মধ্যে 6 টি 0 কারণ সমস্ত 36 টি সম্ভাবনা সমান সম্ভাবনাযুক্ত, এটি অ-অভিন্ন।

— শুশুক

13

@ অনুরকানব্যাক্টাস আমি আপনাকে আবারও টেবিলে ধ্যান করার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছি। যেহেতু এটির 5 টির মধ্যে কেবল দুটি পরম পার্থক্য রয়েছে তাই এটি কি স্পষ্ট নয় যে দুটির চেয়ে বেশি পার্থক্য 5 এর সমান হতে পারে না?

— হোবার

14

@ অনুরকানব্যাক্টাস সাধারণ পার্থক্যের জন্য (যেমন লক্ষণগুলির সাথে, সুতরাং -5 থেকে +5 পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য), বিতরণটি একটি প্রতিসাম্য বিচ্ছিন্ন ত্রিভুজাকৃতির বিতরণ যা মোডের সাথে (খুব সম্ভবত মান) 0 হয় আমার উত্তরে বর্ণিত পরম পার্থক্যের জন্য, মোডটি 1.

— হেনরি

2

লক্ষণীয় বিষয় হতে পারে যে স্বাক্ষরিত পার্থক্য মডুলো 6 সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে, যদিও।

— ফেডেরিকো পোলোনি

2

@ ফেডেরিকো পোলোনি এটি কি ক্ষুদ্রতর স্পষ্ট নয়? আমি বলতে চাই আমি মন্তব্যটি পড়ার আগে এটি সম্পর্কে সত্যই কখনও যাইনি, তবে এটি একেবারেই স্পষ্ট যে এটি কেবল সত্য হওয়া উচিত

— ক্রাঙ্কার

21

সম্ভাব্যতা এবং আসল সংখ্যা সম্পর্কে শুধুমাত্র সর্বাধিক প্রাথমিক অক্ষর ব্যবহার করে যে কেউ আরও শক্তিশালী বক্তব্য প্রমাণ করতে পারে:

কোনও দুটি স্বতন্ত্র, একইভাবে বিতরণ করা ননকন্ট্যান্ট এলোমেলো মানগুলির পার্থক্য $X-Y$ কখনও আলাদা ইউনিফর্ম বিতরণ হয় না।

(অবিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবলগুলির জন্য অ্যানালগাস স্টেটমেন্ট দুটি আরভির পার্থক্যের ইউনিফর্ম পিডিএফ এ প্রমাণিত হয় ))

ধারণাটি হ'ল সুযোগটি $X-Y$ একটি চূড়ান্ত মান অবশ্যই $X-Y$ শূন্যের সুযোগের চেয়ে কম হওয়া উচিত , কারণ $X-Y$ সর্বাধিক করার একমাত্র উপায় আছে যেখানে পার্থক্য শূন্য করার অনেকগুলি উপায় রয়েছে , কারণ $X$ এবং $Y$ সমান বিতরণ এবং তাই একে অপরের সমান করতে পারে। বিস্তারিত এখানে।

প্রথম যে প্রকল্পিত দুটি ভেরিয়েবল পালন $X$ এবং $Y$ প্রশ্নে প্রতিটি শুধুমাত্র একটি সসীম সংখ্যা সিদ্ধিলাভ করতে পারেন $n$ ইতিবাচক সম্ভাবনা সঙ্গে মূল্যবোধের, কারণ সেখানে অন্তত হতে হবে $n$ স্বতন্ত্র পার্থক্য এবং একটি অভিন্ন বন্টন তাদের নির্ধারণ সবাই সমান সম্ভাবনা। যদি $n$ অসীম হয়, তবে ইতিবাচক, সমান সম্ভাবনা থাকা সম্ভাব্য পার্থক্যের সংখ্যা তাই তাদের সম্ভাবনার যোগফল অসীম হবে, যা অসম্ভব।

পরবর্তী , যেহেতু পার্থক্যের সংখ্যা সীমাবদ্ধ, তাদের মধ্যে বৃহত্তম হবে largest বৃহত্তম পার্থক্য কেবল অর্জন করা যেতে পারে যখন ক্ষুদ্রতম মান বিয়োগ $Y$ --let কল এটা $m$ এবং অনুমান করা এটা সম্ভাবনা আছে $q = \Pr(Y=m)$ --from বৃহত্তম মান $X$ --let কল যে এক $M$ সঙ্গে $p = \Pr(X=M).$ কারণ $X$ এবং $Y$ স্বাধীন, এই পার্থক্য সম্ভাবনা এই সম্ভাবনা গুণফল হয়,

\begin{matrix} (*) & Pr (X - Y = M - m) = Pr (X = M) Pr (Y = m) = p q > 0. \end{matrix}

$\Pr(X-Y = M - m) = \Pr(X=M)\Pr(Y=m) = pq \gt 0.\tag{*}$

অবশেষে , কারণ $X$ এবং $Y$ একই বন্টন আছে, অনেক উপায় তাদের পার্থক্য মান তৈরী করতে পারে হয় $0.$ এই উপায়গুলোর মধ্যে হয় ক্ষেত্রে যেখানে $X=Y=m$ এবং $X=Y=M.$ কারণ এই বন্টন nonconstant হয়, $m$ থেকে পৃথক $M.$ এটি দেখায় যে এই দুটি ক্ষেত্রে ঘটনাগুলি বিরক্তিজনক এবং তাই সুযোগের জন্য তাদের কমপক্ষে একটি পরিমাণ $p^2 + q^2$ অবদান রাখতে হবে $X-Y$ শূন্য; এটাই,

Pr (X - Y = 0) \geq Pr (X = Y = m) + Pr (X = Y = M) = p^{2} + q^{2} .

$\Pr(X-Y=0) \ge \Pr(X=Y=m) + \Pr(X=Y=M) = p^2 + q^2.$

যেহেতু সংখ্যার স্কোয়ারগুলি নেতিবাচক নয়, $0 \le (p-q)^2,$ আমরা কোথা থেকে $(*)$ থেকে অনুমান করি

Pr (X - Y = M - m) = p q \leq p q + (p - q)^{2} = p^{2} + q^{2} - p q < p^{2} + q^{2} \leq Pr (X - Y = 0),

$\Pr(X-Y=M-m)=pq \le pq + (p-q)^2 = p^2 + q^2 - pq \lt p^2 + q^2 \le \Pr(X-Y=0),$

$X-Y$ বিতরণ দেখানো সমান নয়, কিউইডি।

একটি মন্তব্যের জবাবে সম্পাদনা করুন

পরম পার্থক্য একটি অনুরূপ বিশ্লেষণ $|X-Y|$ $X$ এবং $Y$ এর একই বন্টন রয়েছে বলে পর্যবেক্ষণ করে , $m=-M.$ এর জন্য আমাদের $\Pr(X-Y=|M-m|) = 2pq.$ অধ্যয়ন করা প্রয়োজন একই বীজগণিত কৌশল প্রায় একই ফলাফল দেয় তবে $2pq=2pq+(p-q)^2$ এবং $2pq+p^2+q^2=1.$ সমীকরণ সিস্টেম অনন্য সমাধান আছে যা $p=q=1/2$ একটি ন্যায্য মুদ্রা সংশ্লিষ্ট (একটি "দ্বি-পার্শ্বযুক্ত ডাই")। এই ব্যতিক্রম ব্যতীত সম্পূর্ণ পার্থক্যের জন্য ফলাফল একই রকম এবং পার্থক্যগুলির জন্য একই, এবং ইতিমধ্যে প্রদত্ত একই অন্তর্নিহিত কারণে: যথা যখন দুটি আইডির এলোমেলো ভেরিয়েবলের পরম পার্থক্য একসাথে বিতরণ করা যায় না যখনই দুটি পৃথক পৃথক পার্থক্য থাকে ইতিবাচক সম্ভাবনা সহ।

(সম্পাদনার শেষ)

আসুন এই ফলাফলটিকে প্রশ্নটিতে প্রয়োগ করুন, যা কিছুটা আরও জটিল কিছু সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে।

প্রতিটি স্বাধীন ডাই রোল (যা একটি হতে পারে মডেল অন্যায্য একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের সাথে মরতে) $X_i,$ $i=1, 2, \ldots, n.$ এই $n$ রোলগুলিতে যে পার্থক্য লক্ষ্য করা যায় তা $\Delta X_i = X_{i+1}-X_i.$ আমরা ভাবতে পারি যে এই $n-1$ নম্বরগুলি কীভাবে সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে । প্রত্যাশিত নম্বর কি: সত্যিই পরিসংখ্যানগত প্রত্যাশা সম্পর্কে একটি প্রশ্ন যে $\Delta X_i$ উদাহরণস্বরূপ যে শূন্য সমান? প্রত্যাশিত নম্বর কি $\Delta X_i$ সমান $-1$ ? ইত্যাদি ইত্যাদি

এই প্রশ্নের সমস্যাযুক্ত দৃষ্টিভঙ্গি যে $\Delta X_i$ হয় না , উদাহরণস্বরূপ: স্বাধীন $\Delta X_1 = X_2-X_1$ এবং $\Delta X_2 = X_3 - X_2$ একই রোল জড়িত $X_2.$

তবে, এটি আসলে কোনও অসুবিধা নয়। যেহেতু পরিসংখ্যানগত প্রত্যাশাটি সংযোজনীয় এবং সমস্ত পার্থক্য একই বন্টন রয়েছে, আমরা যদি পার্থক্যের কোনও সম্ভাব্য মান $k$ বেছে নিই , রোলসের পুরো অনুক্রমের মধ্যে পার্থক্যের সমান $k$ প্রত্যাশিত সংখ্যাটি কেবল এর প্রত্যাশিত সংখ্যার গুণ প্রক্রিয়াটির একক ধাপে পার্থক্যটি সমান হয় । যে একক-পদক্ষেপ প্রত্যাশা (যে কোন জন্য )। এই প্রত্যাশাগুলি সমস্ত (অর্থাৎ ইউনিফর্মের জন্য একই হবে) $n$ $n-1$ $k$ $\Pr(\Delta X_i = k)$ $i$ $k$ ) যদি এবং কেবলমাত্র তারা একক $\Delta X_i.$ জন্য একই হয় তবে আমরা দেখেছি যে ডাই পক্ষপাতদুষ্ট হওয়া সত্ত্বেও কোনও $\Delta X_i$ এর অভিন্ন বিতরণ নেই । সুতরাং, প্রত্যাশিত ফ্রিকোয়েন্সিগুলির এই দুর্বল অর্থে এমনকি রোলগুলির পার্থক্যগুলি অভিন্ন নয়।

— whuber
সূত্র

@ মিশেল ভাল বক্তব্য: আমি প্রশ্নের উত্তরে (যেমন "পার্থক্য" সম্পর্কে) জিজ্ঞাসা করেছি, বরং চিত্রিত না করে (যা পরিস্কার পার্থক্য বোঝায়) than একই কৌশলটি প্রযোজ্য - কেবলমাত্র সর্বোচ্চ এবং ন্যূনতম উভয় পার্থক্য বিবেচনা করতে হবে। কেস যেখানে ঐ মাত্র দুটি সম্ভাবনার (শূন্য সহ) আছে, আমরা যা সমতা পেতে পারেন, যেখানে বের্নুলির

ফলাফল থেকে (দেখানো এটি অনন্য যেমন উদাহরণ) আসে।

(1 / 2)

$(1/2)$

— শুশুক

এর একটি নির্দিষ্ট সংস্করণ প্রমাণ করে অন্য উত্তর এখানে ।

— মনিকা

ধন্যবাদ, @ বেন: আমি সেই থ্রেডটি ভুলে গিয়েছিলাম। কারণ এটি একটি আরও ভাল রেফারেন্স, আমি এখন সরাসরি এই উত্তরে এর সাথে লিঙ্ক করব।

— হোয়াট

12

একটি স্বজ্ঞাত স্তরে, এলোমেলো ঘটনা কেবলমাত্র অভিন্নভাবে বিতরণ করা যেতে পারে যদি এর ফলাফলগুলির সবগুলিই সমান সম্ভাবনা থাকে।

প্রশ্নটি এলোমেলো ইভেন্টের ক্ষেত্রে কি এমনটি - দুটি ডাইস রোলগুলির মধ্যে পরম পার্থক্য?

চূড়ান্ত বিষয়গুলি দেখার ক্ষেত্রে এটি যথেষ্ট - এই পার্থক্যটি নিতে পারে সবচেয়ে বড় এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি কী?

স্পষ্টতই 0টি সর্বনিম্ন (আমরা নিরঙ্কুশ পার্থক্যগুলি দেখছি এবং রোলগুলি একই হতে পারে), এবং 5 হ'ল বৃহত্তম ( 6বনাম 1)।

আমরা দেখাতে পারি ঘটনা দেখানো যে নন-ইউনিফর্ম হয় 0আরো (বা কম) চেয়ে ঘটতে করার সম্ভাবনা 5।

এক নজরে, 5 টি হওয়ার জন্য কেবল দুটি উপায় রয়েছে - যদি প্রথম পাশা 6 এবং দ্বিতীয় 1 হয়, বা তদ্বিপরীত হয় । 0 টি কত উপায় হতে পারে?

— MichaelChirico
সূত্র

1

+1 আমি মনে করি এটি বিষয়টির মনে পড়ে। আমি প্রশ্নের একটি সাধারণীকরণ পোস্ট করেছি যা শেষ পর্যন্ত একই পর্যবেক্ষণের উপর নির্ভর করে।

— শুশুক

5

হেনরি যেভাবে উপস্থাপন করেছেন, সমানভাবে বিতরণ বিতরণের পার্থক্যগুলি সমানভাবে বিতরণ করা হয় না।

সিমুলেটেড ডেটা দিয়ে এটি চিত্রিত করতে, আমরা খুব সাধারণ আর স্ক্রিপ্ট ব্যবহার করতে পারি:

barplot(table(sample(x=1:6, size=10000, replace=T)))

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এটি প্রকৃতপক্ষে অভিন্ন বিতরণ করে। আসুন এখন এই বিতরণ থেকে দুটি এলোমেলো নমুনার নিরঙ্কুশ পার্থক্যের বিতরণের দিকে একবার নজর দেওয়া যাক।

barplot(table(abs(sample(x=1:6, size=10000, replace=T) - sample(x=1:6, size=10000, replace=T))))

— LuckyPal
সূত্র

6

বিপুল সংখ্যক আইআইডি মানগুলির সংমিশ্রণীয় বিতরণকে উদ্বেগযুক্ত সিএলটি-এর সাথে কেন এর কোনও সম্পর্ক নেই?

— শুশুক

2

n

$n$

n

$n$

n > 1

$n>1$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

n = 4

$n=4$

n

$n$

— ক্রুবো

3

@ ক্রুবো মূল প্রশ্নটি একটি ডাইয়ের ক্রমাগত রোলগুলির মধ্যে পার্থক্য বন্টন সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে। সে সম্পর্কে সিএলটি-র কিছুই বলার নেই। প্রকৃতপক্ষে, মরা কতবার ঘূর্ণিত হয় তা বিবেচনা করা না কেন, এই পার্থক্যগুলির বিতরণ স্বাভাবিকতার কাছে পৌঁছায় না।

— শুশুক

এই বিতরণটি কী অভিন্ন হয়ে যায় যেহেতু মৃত মুখের সংখ্যা অসীমের দিকে ঝুঁকছে? কীভাবে এটি দেখানো যায় তা নিশ্চিত নন তবে স্বজ্ঞাতভাবে এটি অনুভূত হয় যে সেদিকেই চলেছে, তবে পর্যাপ্ত

— সমতল

@ ক্রাঙ্কার আপনি আর-কোডে মরা মুখের সংখ্যা সহজেই পরিবর্তন করতে পারবেন। যত বেশি মুখ রয়েছে ততই সিঁড়ি বন্টনের প্রকৃতি হয়ে উঠবে। '1' সর্বদা সেই সিঁড়ির শিখর এবং বড় পার্থক্যের সাথে সম্ভাব্যতাগুলি প্রায় শূন্য। অতিরিক্ত হিসাবে, '0' এর পার্থক্য '1' এর তুলনায় স্বতন্ত্র বিরল। (কমপক্ষে যদি

— ডাইয়ের

2

অন্যরা গণনাগুলি কাজ করেছে, আমি আপনাকে একটি উত্তর দেব যা আমার কাছে আরও স্বজ্ঞাত বলে মনে হচ্ছে। আপনি দুটি ইউনিফর্ম আরভি (জেড = এক্স + (-ওয়াই)) এর যোগফল অধ্যয়ন করতে চান, সামগ্রিক বিতরণ হ'ল (স্বতন্ত্র) কনভলিউশন পণ্য:

P (Z = z) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} P (X = k) P (- Y = z - k)

$P(Z=z) = \sum^{\infty}_{k=-\infty} P(X=k) P(-Y = z-k)$

$z$ $k$ $z$

সংকেত প্রক্রিয়াজাতকরণ থেকে, আমরা জানি যে কনভোলশন পণ্যটি কীভাবে আচরণ করে:

দুটি ইউনিফর্ম ফাংশন (দুটি আয়তক্ষেত্র) এর কনভোলশন পণ্যটি একটি ত্রিভুজ দেবে। এটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনগুলির জন্য উইকিপিডিয়া দ্বারা চিত্রিত:

$z$ $z$
আরও সাধারণভাবে আমরা জানি যে একমাত্র ফাংশন যা দৃ conv়তার সাথে স্থির থাকে তা হ'ল গাউস ফ্যামিলি। অর্থাত্ কেবল গাউসীয় বিতরণ সংযোজন (বা আরও সাধারণভাবে, লিনিয়ার সংমিশ্রণ) দ্বারা স্থিতিশীল। এর অর্থ এটিও হ'ল ইউনিফর্ম বিতরণগুলি সংযুক্ত করার সময় আপনি অভিন্ন বিতরণ পাবেন না।

কেন আমরা এই ফলাফলগুলি পেয়েছি, উত্তরটি এই ফাংশনগুলির চৌকটি পচে যায় lies প্রতিটি ফাংশনের ফোরিয়ার ট্রান্সফর্মেশনের সাধারণ পণ্য হিসাবে একটি কনভোলজ প্রোডাক্টের ফোরিয়ার রূপান্তর। এটি আয়তক্ষেত্র এবং ত্রিভুজ ফাংশনগুলির চৌম্বক সহগের মধ্যে সরাসরি লিঙ্ক দেয়।

— lcrmorin
সূত্র

আপনার দাবির বৈধতা এবং আপনার উত্তরের যুক্তি পরীক্ষা করুন। দুটি ইউনিফর্ম বিতরণের কনভোলশন অভিন্ন কিনা তা প্রশ্ন নয়: এটি কিছু বিতরণ এবং এর বিপরীতমুখী রূপান্তর সমান হতে পারে কি না। আর যে সংবর্তন অধীনে স্থিতিশীল হয় গসিয়ান চেয়ে অনেক বেশি distributional পরিবার (মডিউল প্রমিতকরণ অবশ্যই,) আছেন: দেখতে en.wikipedia.org/wiki/Stable_distribution

— whuber

আপনি স্থিতিশীল বিতরণ সম্পর্কে ঠিক। প্রশ্নের জন্য, আমি যথেষ্ট নিশ্চিত যে এটি অভিন্ন বিতরণ (শিরোনাম দ্বারা নির্দেশিত) সহ দুটি এলোমেলো মানের পার্থক্য সম্পর্কে। কিছু বিতরণ এবং এর বিপরীতমুখী রূপান্তর সমান হতে পারে কিনা তা এখানে জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের চেয়ে বড়।

— lcrmorin

1

$x$ $y$ $|x-y| = k$ $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ $k$

আপনি সহজেই দেখতে পাচ্ছেন, প্রতিটি রঙের জন্য পয়েন্টের সংখ্যা একই নয়; সুতরাং, পার্থক্যগুলি সমানভাবে বিতরণ করা হয় না।

— আজ
সূত্র

0

$D_t$ $X$ $P(D_t = 5) = P(X_t = 6, X_{t-1} = 1) < P((X_t, X_{t-1}) \in \{(6, 3), (5, 2)\}) < P(D_t = 3)$

$P(D_t = d)$ $d$

— Hunaphu
সূত্র