মানে কি নিখুঁত বিচ্যুতি জন্য স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির চেয়ে ছোট ?

আমি এই সংজ্ঞাটির সাথে সাধারণ ক্ষেত্রে সাধারণ বিচরণের সাথে গড় পরম বিচ্যুতি তুলনা করতে চাই:

M A D = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n} | x_{i} - μ |, S D = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

যেখানে । $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$

এটা কি সত্য যে প্রতি জন্য ? $MAD \le SD$ $\{x_i\}^n_1$

এটি , , প্রতিটি এর জন্য মিথ্যা । $n=2$ $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ $x, y \ge 0$

এটি দেখানো সহজ:

M A D \leq \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \times S D

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

mean standard-deviation mean-absolute-deviation

— Lisbeth
সূত্র

উত্তর:

না, সাধারণভাবে এটি সত্য নয়।

এটি দেখার সহজ উপায় হ'ল অনুকরণ করা। আমি সাধারণত একটি অসীম লুপ একসাথে হ্যাক করি যা যদি এটির কোনও পাল্টা নমুনা খুঁজে পায় তবে থেমে যায়। যদি এটি দীর্ঘ সময় ধরে চলে, তবে আমি দাবিটি সত্য হতে পারে কিনা তা নিয়ে ভাবতে শুরু করি। বর্তমান ক্ষেত্রে, আমার আর কোডটি দেখতে এমন দেখাচ্ছে:

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

এটি এই পাল্টা নমুনা দেয়:

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

— স্টিফান কোলাসা
সূত্র

এটি সিমুলেশন ব্যবহারের একটি চতুর উপায়! আমাকে ভুল উত্তর জেনসেন এর বৈষম্য ... যা দৃশ্যত প্রযোজ্য নয় কারণে যে ফলাফলের সবসময় ঝুলিতে থেকে সংরক্ষণ যখন আপনি দ্বারা বিভক্ত করা পরিবর্তে

n - 1

$n-1$

n

$n$

— CloseToC

তবে সম্ভবত একটি উত্তর যে তুলনা মনে সঙ্গে গড় ডেভিয়েশন হর হবে, আমি মনে করি, উপযোগী হতে, কারণ এটি counterexample প্রসঙ্গ দিতে হবে।

s_{n}

$s_n$

n

$n$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

এখানে আরও গাণিতিক পদ্ধতি রয়েছে। প্রথমত, এটি সম্ভবত সত্য যে ভেরিয়েবলগুলির পরিবর্তন দ্বারা, কেউ অনুমান করতে পারে যে গড়টি শূন্য। অবশ্যই একটি পাল্টা উদাহরণ সন্ধানের দৃষ্টিকোণ থেকে এটি গ্রহণযোগ্য। সুতরাং, প্রস্তাবিত বৈষম্যের উভয় দিককে স্কোয়ার করে নির্ধারণ করা এবং (এন -1) এর মধ্য দিয়ে গুণফলকে প্রস্তাবিত বৈষম্য দিয়ে রেখে দেওয়া হয়েছে - $\mu = 0$

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

এটিকে ফিশ লাগছে। (n-1) সমস্ত তৈরির জন্য যথেষ্ট নয় পদ বিশেষত যদি সমস্ত পরম মান একই হয়। আমার প্রথম অনুমানটি n = 4 এবং । এই বিশালাকার। আমি ভাবব যে এই ধরণের জিনিসটি অসমতায় আগ্রহী লোকেদের পক্ষে ভাল। $|x_i| |x_j|$ $x_i$ $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$

— Meh
সূত্র

এমনকি সমস্ত আপনি আপনার নির্মাণ ব্যবহার করতে পারেন (প্রতি ) এবং এটি করতে পারে সত্য নয় যে সমস্ত জন্য ।

n

$n$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm 1$

M A D = \frac{n}{n - 1} > \sqrt{\frac{n}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$

M A D \leq S D

$MAD \leq SD$

x_{i}

$x_i$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

সমস্ত বিজোড় আপনি আমার নির্মাণ ব্যবহার করতে পারেন ( , এবং তারপরে বিকল্প প্লাস বিয়োগ সহ প্রতিটি )। তারপরে আপনার কাছে যেখানে এবং গুণিত করে অসমতা পরিষ্কার করা যায় can এমন স্কোয়ারিং যাতে এটি becomes

n

$n$

x_{0} = - 2

$x_0=-2$

x_{1} = x_{2} = 1

$x_1=x_2=1$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm1$

M A D = \frac{n + 1}{n - 1} > \sqrt{\frac{n + 3}{n - 1}} = S D

$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$

n - 1

$n-1$

n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2} (n + 3) (n - 1) = n^{2} + 2 n - 3

$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

তবে এটি সত্য নয় যে সমস্ত সম্ভাব্য । পদসমূহ(এর মধ্যে রয়েছে) পর্যাপ্ত সংখ্যা কম হলে পদ দ্বারা গঠিত হতে পারে ।

M A D > S D

$MAD > SD$

x_{i}

$x_i$

| x_{i} | | x_{j} |

$|x_i| |x_j|$

n^{2}

$n^2$

(n - 1)

$(n-1)$

x_{i}

$x_i$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

@ মার্তিজন আমি যা বলছিলাম তা হল কিছুটা বীজগণিত করা পাল্টা উদাহরণগুলি খুঁজে পাওয়ার পথ নির্দেশ করে। আমি কোনওভাবেই ভাবি না, এবং আমি মনে করি না যে আমি যে ধারণাটিও ভেবেছিলাম তা দিয়েছিলাম যে অসমতা সর্বদা মিথ্যা বা সত্য।

— meh

"(এন -1)" মন্তব্যটি যথেষ্ট পরিমাণে তৈরি করার পক্ষে নয় ... "আমার কাছে কিছুটা কঠিন মনে হয়েছিল। কিছু ক্ষেত্রে এটি যথেষ্ট হতে পারে।

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস