বিনোমিয়াল এবং পোইসন এলোমেলো ভেরিয়েবলের যোগফল

যদি আমাদের দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এবং থাকে তবে এর সম্ভাব্য ভর কার্য কী? $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$ $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ $X_1 + X_2$

এনবি এটি আমার পক্ষে হোমওয়ার্ক নয়।

— মাত্তিও ফ্যাসিওলো
সূত্র

আমার ধারণা আপনি গুলিয়ে দেওয়ার চেষ্টা করেছেন? en.wikedia.org/wiki/… আপনি কোথায় আটকে গেছেন ? : আমি অনুমান কোন বদ্ধ ফর্ম, অন্যথায় সমাধান সম্ভবত এখানে হবে en.wikipedia.org/wiki/...

— স্টিফেন Kolassa

হ্যাঁ আমি সেটাই চেষ্টা করেছি, তবে সম্ভবত আমি এখানে একটি উত্তর পেয়েছি: mathstatica.com/SumBinomialPoisson Kummer মিশ্রিত হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন..হু !

— মাত্তেও ফ্যাসিওলো

আমি এই সাইটে এর ব্যবহার অনুসারে হোমওয়ার্ক ট্যাগটি প্রস্তুত করেছি । চিয়ার্স। :-)

— কার্ডিনাল

উপন্যাসটির অর্থ নতুন (আগে জানা বা প্রকাশিত নয়)। আমিও সম্মত নই যে নতুন সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য জ্ঞাত পদ্ধতিগুলি ব্যবহারের ফলে এটি হোমওয়ার্ক হয়ে যায় - বিতরণে ফলাফল প্রকাশের বেশিরভাগ জার্নাল নিবন্ধের ক্ষেত্রেও একই কথা বলা যেতে পারে।

— নেকড়েরা

পরিসংখ্যানের অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রে যেমন একটি হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন অবিচ্ছেদ্য যুক্তিগুলির সাথে উপস্থিত হয়, আপনি যদি এটি চান তবে কনভলিউশনে অন্তর্নিহিত (সসীম) যোগফলের জন্য একটি সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি হিসাবে বুঝতে পারেন। এই জাতীয় অভিব্যক্তির সুবিধা হ'ল এটিকে সহজ আকারে চালিত করার জন্য অগণিত উপায় রয়েছে এবং প্রায়শই এটি সংক্ষিপ্ত সম্পাদন না করেই মূল্যায়ন করা যায়।

— whuber

উত্তর:

আপনি জন্য দুটি আলাদা সূত্র দিয়ে শেষ করবেন , একটি জন্য এবং একটি । এই সমস্যাটি করার সবচেয়ে সহজ উপায় হ'ল এবং । তারপরে, পণ্যটিতে in এর সহগ হয় । অঙ্কের কোনও সরলকরণ সম্ভব নয়। $p_{X_1+X_2}(k)$ $0 \leq k < n$ $k \geq n$ $\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$ $\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$ $p_{X_1+X_2}(k)$ $z^k$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

জেনারেলাইজড হাইপারজোমেট্রিক ফাংশনের (জিএইচএফ) শর্তে বদ্ধ সূত্র দেওয়া অন্য জবাবগুলিতে ইঙ্গিতযুক্ত (এই ক্ষেত্রে জিএইচএফ সত্যিকার অর্থেই একটি চূড়ান্ত বহুপদী, সুতরাং সীমাবদ্ধতার জন্য একটি সংক্ষিপ্তকরণ) আমি ম্যাপেলকে সমঝোতার সমষ্টি হিসাবে ব্যবহার করেছি, এই ফলাফল:

P (X_{1} + X_{2} = k) = \sum_{x_{1} = 0}^{min (n, k)} (\binom{n}{x_{1}}) p^{x_{1}} (1 - p)^{n - x_{1}} e^{- λ} \frac{λ^{k - x_{1}}}{(k - x_{1})!} = \frac{{(1 - p)}^{n} e^{- λ} λ^{k}}{Γ (k + 1)}_{2} F_{0} (- k, - n;; - \frac{p}{(p - 1) λ})

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$

— কেজেটিল বি হালওয়ারসেন en
সূত্র

দিলীপ সরওয়াতে 7 বছর আগে বলেছিলেন যে কোনও সরলীকরণ সম্ভব নয়, যদিও এটিকে মন্তব্যে চ্যালেঞ্জ করা হয়েছে। যাইহোক, আমি মনে করি এটি দরকারী যে কোনও সরলীকরণ ছাড়া কোনও গণনা কোনও স্প্রেডশিট বা প্রোগ্রামিং ভাষায় বেশ সোজা।

এখানে একটি বাস্তবায়ন র:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]

— pere
সূত্র

দিলীপ দেখান নি যে অঙ্কের কোনও সরলকরণ সম্ভব নয়: তিনি এ জাতীয় বক্তব্য বর্ণনা করেছিলেন (এবং দৃ as় বক্তব্য সঠিক বলে মনে হয় না)। আপনি যদি ওপি কর্তৃক প্রদত্ত লিঙ্কগুলি অনুসরণ করেন তবে কুমার মিশ্রিত হাইপারজমেট্রিক ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে একটি সমাধান সরবরাহ করা হবে।

— নেকখরা

@ ওল্ফিজ - এই পুরানো প্রশ্নের নতুন উত্তরের এটি একটি খুব আকর্ষণীয় বিষয় হবে। আমার চেয়ে সম্ভবত আরও আকর্ষণীয়।

— পেরে

দ্বিপদীতে বৃহত্তর এনগুলির জন্য একটি সম্ভাব্য দ্রুত পন্থা এবং বড় ল্যাম্বডায় দ্রুত ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম (বা অনুরূপ) জড়িত থাকে। আমি এটি সফলভাবে বেশ কয়েকটি বাস্তব-বিশ্বের সমস্যার উপর ব্যবহার করেছি যেখানে সমীকরণটি বীজগণিতিকভাবে সুবিধাজনক নয় তবে সংখ্যার উত্তরগুলি যথেষ্ট, এবং যেখানে একাধিক স্বতন্ত্র পরিবর্তন যুক্ত করা হচ্ছে।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

পুনরায় @ Glen_b এর মন্তব্য, বড় মানের জন্য এবং এই বলপূর্বক সংবর্তন কষ্টকর হয়ে ওঠে। তদ্ব্যতীত, চ্যালেঞ্জটি এটি বাস্তবায়ন করা নয়, তবে অ্যারের গণনার জন্য উপযুক্ত শেষ পয়েন্টগুলি খুঁজে পাওয়া : 10 এ স্থির করা ঠিক এটি কাটবে না। একটি নির্ভরযোগ্য পদ্ধতি হ'ল বিতরণের চরম পার্সেন্টাইলগুলিতে সেট করা, যেমন , এর পরিসীমাটির জন্য গণনা করা , এবং তারপরে বাহ্যিক পণ্য নিয়ে এগিয়ে যাওয়ার আগে ফলাফলগুলি (দিয়ে ) "কাটা" করা । যখন বড় হয়, দ্বিপদী সম্ভাবনার জন্য একই পদ্ধতি প্রয়োগ করুন।

n

$n$

λ

$\lambda$ dpoisxxx<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)dpoisxzapsmalln

— whuber

প্রকৃতপক্ষে. আমি আমার নিজের অ্যাপ্লিকেশনটির সাথেও অনুরূপ কিছু করেছি - যথেষ্ট পরিমাণে বাইরে বেরিয়ে যাওয়ায় প্রয়োজনীয় কোয়ান্টাইলগুলি যথাযথভাবে দেওয়া হয়েছিল।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা