আমি উত্পন্ন এই বিচ্ছিন্ন বিতরণের নাম (পুনরাবৃত্ত পার্থক্য সমীকরণ) এর নাম কী?

Question

আমি একটি কম্পিউটার গেমটিতে এই বিতরণটি পেরিয়ে এসেছি এবং এর আচরণ সম্পর্কে আরও জানতে চাইছি। সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছে যে নির্দিষ্ট সংখ্যক খেলোয়াড়ের ক্রিয়াকলাপের পরে কোনও নির্দিষ্ট ইভেন্ট হওয়া উচিত। এর বাইরে বিশদগুলি প্রাসঙ্গিক নয়। এটি অন্যান্য পরিস্থিতিতে প্রযোজ্য বলে মনে হয় এবং আমি এটি আকর্ষণীয় বলে মনে করেছি কারণ এটি গণনা করা সহজ এবং একটি দীর্ঘ লেজ তৈরি করে।

প্রতিটি পদক্ষেপ , গেমটি একটি অভিন্ন র্যান্ডম সংখ্যা উত্পন্ন করে । যদি , তবে ইভেন্টটি ট্রিগার করা হবে। ইভেন্টটি একবার হওয়ার পরে, খেলাটি পুনরায় সেট করে এবং আবার ক্রমটির মধ্য দিয়ে চলে। আমি এই সমস্যার জন্য ইভেন্টটির কেবলমাত্র একটি ইভেন্টে আগ্রহী, কারণ এটি গেমটি ব্যবহার করছে এমন বিতরণকে উপস্থাপন করে। (এছাড়াও, একাধিক ঘটনা সম্পর্কিত যে কোনও প্রশ্নের উত্তর একক ঘটনা মডেল দিয়ে দেওয়া যেতে পারে))$n$$0 \leq X < 1$$X < p(n)$$n = 0$

এখানে প্রধান "অস্বাভাবিকতা" হ'ল এই বিতরণে সম্ভাব্যতা পরামিতি সময়ের সাথে সাথে বৃদ্ধি পায় বা অন্য কোনও উপায়ে বলা যায় যে সময়ের সাথে প্রান্তিকের উত্থান ঘটে। উদাহরণস্বরূপ এটি রৈখিকভাবে পরিবর্তিত হয় তবে আমি মনে করি অন্যান্য বিধি প্রয়োগ হতে পারে। পদক্ষেপ, বা ব্যবহারকারীর দ্বারা ক্রিয়া পরে ,$n$

$$p(n) = kn$$

কিছু ধ্রুবক । একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে , আমরা পি (এন _ {\ সর্বাধিক}) \ গিগ 1 পান । ইভেন্টটি কেবল সেই পদক্ষেপে ঘটানোর গ্যারান্টিযুক্ত।$0 < k < 1$$n_{\max}$$p(n_{\max}) \geq 1$

আমি তা নির্ধারণ করতে সক্ষম হয়েছি

$$f(n) = p(n)\left[1 - F(n - 1)\right]$$ এবং পিএমএফ এবং সিডিএফ । সংক্ষেপে, ঘটনাটি তম ধাপে সংঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা সমান , এর আগে যে কোনও পদক্ষেপে ইতিমধ্যে এটি হওয়ার সম্ভাবনা কম। $$F(n) = p(n) + F(n-1)\left[1 - p(n)\right]$$ $f(n)$$F(n)$$n$$p(n)$

সহ মজাদার জন্য আমাদের বন্ধু মন্টি কার্লোর একটি প্লট এখানে । মিডিয়ান 21 এবং গড় 22 পর্যন্ত কাজ করে। $k \approx 0.003$

এটি মূলত ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিংয়ের প্রথম অর্ডার পার্থক্য সমীকরণের সমান, যা আমার ব্যাকগ্রাউন্ড, এবং তাই আমি বেশ উপন্যাসটি পেয়েছি। আমি ধারণাটি দ্বারাও আগ্রহী যে যে কোনও স্বেচ্ছাসেবী সূত্রে পৃথক হতে পারে।$p(n)$

আমার প্রশ্নগুলো:

1. এই বিতরণটির নাম কী, যদি এটি থাকে?
2. সেখানে একটি অভিব্যক্তি আহরণ করা কোন উপায় আছে কি থেকে রেফারেন্স ছাড়া ?F ( n $f(n)$$F(n)$
3. এর মতো পৃথক পুনরাবৃত্ত বিতরণের অন্যান্য উদাহরণ রয়েছে কি?

সম্পাদনা র্যান্ডম সংখ্যা প্রজন্মের ওপর ব্যাখ্যা প্রক্রিয়া।

Comments

কোনও কারণে আপনি () এর পরিবর্তে বর্গাকার বন্ধনী পছন্দ করেছেন?

— ক্যাম.ড্যাভিডসন.পিলন

@ ক্যাম.ড্যাভিডসন.পিলন: আমার ডিএসপি পটভূমি স্ন্যাক হয় We আমরা আলাদা সময় ফাংশনের জন্য বর্গাকার বন্ধনী ব্যবহার করার ঝোঁক। আমার ধারণা এটি অবশ্যই জড়িত হবে তাই আমি এটি পরিবর্তন করব।

— জবারলো

আপনি যে প্রক্রিয়াটি ধরে নিচ্ছেন তা এখানে পরিষ্কারভাবে সংজ্ঞায়িত হয় না does আপনি বলতে "প্রত্যেক পদক্ষেপ , খেলা একটি র্যান্ডম সংখ্যা ছুয়ে । যদি , তারপর ঘটনার সূত্রপাত হয়েছে।" তবে, কীভাবে সে সম্পর্কে আপনি কোনও স্পেসিফিকেশন দেবেন না । আমি মনে করি এটি কার্যকর হবে যদি প্রক্রিয়াটি আরও কিছুটা সুনির্দিষ্টভাবে বর্ণনা করা যায়। এক্স এক্স < পি ( এন ) $n$$X$$X < p(n)$$X$

— কার্ডিনাল

@ জবারলো: দুঃখিত যদি আমার আগের মন্তব্যটি অস্পষ্ট ছিল। যদি কিছুটা জন্য , তবে আপনার প্রক্রিয়াটি শূন্য থেকে একের মধ্যে অভিন্ন র্যান্ডম সংখ্যার পরে process পদক্ষেপের বেশি থাকতে পারে এমন কোনও উপায় নেই যে কোনও জন্য চেয়ে বেশি । পরিমাণ এর কার্যকারিতা হিসেবে খুব ঘনিষ্ঠভাবে কি বলা হয় সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত বিপত্তি ফাংশন হিসাবে পরিচিত পরিসংখ্যান subfield মধ্যে বেঁচে থাকা বিশ্লেষণ । 0 < কে < 1 ⌈ কে - 1 ⌉ পি ( এন ) এন > 1 / কে পি ( এন ) $p(n) = k n$$0 < k < 1$$\lceil k^{-1} \rceil$$p(n)$$n > 1/k$$p(n)$$n$

— কার্ডিনাল

ছোট , এই পার্থক্য সমীকরণ শো ডিফারেনশিয়াল এনালগ যে ব্যবহার ( না !) গসিয়ান কাছাকাছি। (এটি থেকে আমরা অবিলম্বে অনুমান করি, উদাহরণস্বরূপ, অবশ্যই কাছাকাছি হতে হবে )) দয়া করে মনে রাখবেন, তে কিছু (শক্তিশালী) বিধিনিষেধ রয়েছে , জন্য অন্যথায় একবার ছাড়িয়ে গেছে (যা এটা শেষ পর্যন্ত করে), কোন গ্যারান্টি নেই যে কম থাকে বা সমান । এফ চ $k$$F$ $f$কেপি(এন)1এফ$\sqrt{1/k}=\sqrt{333}\approx 18$$k$$p(n)$$1$$F$$1$

— হোবার

Answer 1

এক অর্থে, আপনি যা করেছেন তা হ'ল সমস্ত নন-নেগেটিভ পূর্ণসংখ্যা-মূল্যবান বিতরণ character

আসুন এক মুহুর্তের জন্য এলোমেলো প্রক্রিয়াটির বর্ণনাটি আলাদা করে রাখি এবং প্রশ্নের পুনরাবৃত্তির উপর ফোকাস করি।

তাহলে , তারপর অবশ্যই । যদি আমরা এই দ্বিতীয় পুনরাবৃত্তিটি টিকে থাকার ফাংশন (যেখানে বিতরণ ) এর নিরিখে আবার আমরা খুব পরামর্শমূলক এবং সহজেই পরিচালনা করতে পারি। স্পষ্টতই, এবং তাই সুতরাং, যতক্ষণ না আমাদের সিকোয়েন্স মান গ্রহণ করে এবং খুব দ্রুত শূন্যে রূপান্তরিত না করে, ততক্ষণ আমরা একটি বৈধ বেঁচে থাকার ক্রিয়াটি অর্জন করব (অর্থাত্, একঘেয়েমি হ'ল হিসাবে শূন্যে পরিণত হবে )।এফ এন = P এন + + ( 1 - পি এন ) এফ এন - 1 এস এন = 1 - এফ এন = পি ( টি > এন ) টি এফ এস এন = 1 - এফ এন = ( 1 - পি এন ) এস $f_n = p_n (1 - F_{n-1})$$F_n = p_n + (1-p_n) F_{n-1}$ $S_n = 1 - F_n = \mathbb P(T > n)$$T$$F$এস এন = এন ∏ কে = 0 ( 1 - পি কে

$$S_n = 1 - F_n = (1-p_n) S_{n-1} \>,$$ ( পি এন ) [ 0 , 1 ] n → $$S_n = \prod_{k=0}^n (1-p_k) \> .$$ $(p_n)$$[0,1]$$n \to \infty$

আরো নির্দিষ্টভাবে,

প্রস্তাবনা : মান গ্রহণ করে একটি ক্রম ননেজেটিভ পূর্ণসংখ্যার উপর বিতরণ নির্ধারণ করে যদি এবং কেবল যদি এবং এই জাতীয় সমস্ত বিতরণগুলির সাথে সম্পর্কিত অনুক্রম রয়েছে (যদিও এটি অনন্য নয়)।[ 0 , 1 ] - ∞ ∑ n = 0 লগ ( 1 - পি এন ) = $(p_n)$$[0,1]$

$$-\sum_{n=0}^\infty \log(1-p_n) = \infty \>,$$

সুতরাং, প্রশ্নটিতে লিখিত পুনরাবৃত্তি সম্পূর্ণরূপে সাধারণ : যে কোনও নন-নেগেটিভ পূর্ণসংখ্যার মূল্য সাথে সম্পর্কিত অনুক্রম মানগুলি হয় ।[ 0 , 1 $(p_n)$$[0,1]$

তবে কনভার্সটি সত্য নয়; এটি হল মান সহ সিকোয়েন্সগুলি যা কোনও বৈধ বিতরণের সাথে সামঞ্জস্য করে না। (বিশেষত, সমস্ত জন্য এবং জন্য )[ 0 , 1 ] 0 < পি এন < 1 এন ≤ এন পি এন = 0 এন > $(p_n)$$[0,1]$$0 < p_n < 1$$n \leq N$$p_n = 0$$n > N$

তবে, অপেক্ষা করুন, আরও কিছু আছে!

আমরা বেঁচে থাকার বিশ্লেষণের সংযোগে ইঙ্গিত দিয়েছি এবং এটি আরও কিছুটা গভীরভাবে অনুসন্ধান করার পক্ষে এটি। একটি একেবারে একটানা ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে শাস্ত্রীয় বেঁচে থাকার বিশ্লেষণে এবং সংশ্লিষ্ট ঘনত্ব , বিপত্তি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় f h ( t ) = f ( t $F$$f$

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} \>.$$

ক্রমসঞ্চিত বিপত্তি তারপর ও ডেরিভেটিভস শো একটি সহজ বিশ্লেষণ যে এর থেকে, আমরা অবিলম্বে একটি গ্রহণযোগ্য বিপদ ক্রিয়াকলাপের একটি বৈশিষ্ট্য দিতে পারি: এটি কোনও পরিমাপযোগ্য ফাংশন যেমন যে all সমস্ত এবং যেমন ।S ( t ) = exp ( - Λ ( t ) ) = exp ( - ∫ t 0 h ( s $\Lambda(t) = \int_0^t h(s) \,\mathrm d s$এইচ এইচ ( টি ) ≥ 0 টি ∫ টি 0 ঘন্টা ( গুলি

$$S(t) = \exp(-\Lambda(t)) = \exp\Big(-\int_0^t h(s) \,\mathrm d s\Big)\>.$$ $h$$h(t) \geq 0$$t$t → $\int_0^t h(s) \,\mathrm d s \uparrow \infty$$t \to \infty$

জন্য আমরা উপরেরটির কাছে টিকে থাকা-ফাংশনের জন্য একই ধরণের পুনরাবৃত্তি$t > t_0$

$$S(t) = e^{-\int_{t_0}^t h(s) \,\mathrm d s} S(t_0) \>.$$

বিশেষভাবে লক্ষ্য করুন যে আমরা প্রতিটি টুকরোর প্রস্থ 1 এবং এর সাথে অবিচ্ছেদ্য অনন্তে রূপান্তরিত করে টুকরোচক ধ্রুবক হিসাবে বেছে নিতে পারি । এটি একটি বেঁচে থাকার ফাংশন যা প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি মানক যেকোন পছন্দসই ননজিগেটভ পূর্ণসংখ্যার সাথে মেলে।$h(t)$$S(t)$

পৃথক ক্ষেত্রে ফিরে সংযোগ

একটি পছন্দসই বিযুক্ত মেলে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা সময়ে, আমরা একটি বিপত্তি ফাংশন যা piecewise ধ্রুবক যেমন যে নির্বাচন করা উচিত তে এটি সিকোয়েন্সের একটি বৈধ বিতরণ সংজ্ঞায়িত করার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তের দ্বিতীয় প্রমাণ সরবরাহ করে।$S(n)$

$$h(t) = h_n = -\log(1-p_n)\>,$$ $(n-1,n]$$(p_n)$

মনে রাখবেন, ছোট , যা একটি অবিচ্ছিন্ন বিতরণের বিপত্তি ফাংশন এবং মেশিনে বেঁচে থাকার ফাংশনটির সাথে পৃথক বিতরণের মধ্যে একটি হিউরিস্টিক সংযোগ সরবরাহ করে পূর্ণসংখ্যার।$p_n$$-\log(1-p_n) \approx p_n = f_n / S_{n-1}$

পুনশ্চ : একটি চূড়ান্ত নোট হিসাবে, উদাহরণস্বরূপ প্রশ্নে নেই না প্রয়োজনীয় শর্ত যথাযথ পরিবর্তন ছাড়াই সন্তুষ্ট এ এবং সেটিং সবার জন্য ।এফ এন এন = ⌈ কে - 1 ⌉ এফ এন = $p_n = k n$$f_n$$n = \lceil k^{-1} \rceil$$f_n = 0$$n > \lceil k^{-1} \rceil$

Comments

+1 খুব আলোকিত। কিন্তু, PostScript বিষয়ে, এটা আমার মনে হচ্ছে যে, "উপযুক্ত ছাঁটাই" এর বিশেষ মানের জন্য অবশ্যই একটি বিষয় হিসেবে দেখা দেয় । উদাহরণস্বরূপ, আমরা এবং আরও সাধারণভাবে, আমরা পাই । ট = 1 /$k$$k=1/2$$f=(0,1/2,1/2,0,\ldots)$$k=1/m$$f(m+1)=f(m+2)=\cdots=0$

— হোবার

@ শুভ: "যথাযথ কাটা" বলতে আমি কী বোঝাতে চাইছিলাম তা আরও পরিষ্কারভাবে উল্লেখ করা উচিত ছিল। আমি নির্দিষ্ট পয়েন্টে এর মান সঙ্কুচিত (সঙ্কুচিত) করার কথা ভাবছিলাম (যাতে unity পরিণত হয়)। আমি মনে করি যে আপনি যে ক্ষেত্রে উল্লেখ করেছেন সে ক্ষেত্রে ধারণাটি এখনও বৈধ। কেবলমাত্র ছাঁটাইয়ের ফলে এর মান পরিবর্তিত হবে না । আমি খুব শীঘ্রই একটি সম্পাদনায় এটি স্পষ্ট করার চেষ্টা করব। ধন্যবাদ! $f_n$$F_n$$f_n$

— কার্ডিনাল

দুর্দান্ত উত্তর। এটি খুব অন্তর্দৃষ্টিযুক্ত। এই সমস্যাটি অন্যান্য অঞ্চল এবং ধারণাগুলির সাথে সংযুক্ত দেখতে আমি সত্যিই আগ্রহী ছিলাম।

— জবারলো

@ জবারলো: আপনাকে ধন্যবাদ আপনি এটি দরকারী খুঁজে পেয়েছি খুশি! আমি এটি সম্পর্কে কিছুটা ভেবে আনন্দ করেছি, কারণ এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন।

— কার্ডিনাল

Answer 2

যদি , আমরা কিছু পরিচিত বৈশিষ্ট্য আছে। আমরা পুনরাবৃত্তি সম্পর্কটি সমাধান করতে পারি$p(n) = p < 1$

$$F(n) = p + F(n-1)(1-p); \; F(0) = p$$

সমাধান আছে

$$F(n) = P(N \le n) = 1- (1-p)^{n+1}$$ যা জ্যামিতিক বিতরণ । এটি ভাল অধ্যয়ন করা হয়।

এর আরও সাধারণ ক্ষেত্রে সম্ভবত বদ্ধ আকারে গণনা করা যায় না এবং সম্ভবত এটির একটি বিতরণ নেই।$p(n)$

অন্যান্য মামলা:

1. $p(n) = \frac{p}{n}; \; p<1; \;F(0) = p$ এর সমাধান যা কোনও সাধারণ বিতরণ নয়। $$F(n) = 1 - \frac{(1-p)\Gamma( n + 1 -p)}{\Gamma( 1-p)\Gamma(n+1)}$$
2. (পরিসংখ্যানগুলিতে টিকে থাকার ফাংশন হিসাবে পরিচিত সংজ্ঞায়িত করুন , উপরের পুনরাবৃত্তির সম্পর্কটি সরল আকারে হ্রাস পেয়েছে: $S(n) = 1-F(n)$ $$S(n) =\left(1 - p(n) \right) S(n-1)$$
3. আপনার উদাহরণ থেকে, মনে হচ্ছে একটি ফাংশন চান যে বৃদ্ধি । আপনার পছন্দের বিশ্লেষণাত্মকভাবে দুর্দান্ত নয় কারণ এ বিরতি রয়েছে । গণিতবিদ এবং পরিসংখ্যানবিদরা মসৃণ জিনিস পছন্দ করেন । সুতরাং আমি প্রস্তাব দিচ্ছি যা এবং এই সঙ্গে পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক সমাধান 1. র দিকে এগোয় , চমৎকার বিশ্লেষণাত্মক ফর্ম আছে: বিবেচনা । একটি পরিচিত স্ট্যাটাস তথ্য হ'ল $p(n)$$n$$p(n) = kn$$p>1$ $$p(n) = 1 - \frac{(1-p)}{n+1} \; p<1$$ $p(0) = p$$p(n)$এস(এন)=1-এফ(এন)=(1-পি) এন + $$F(n) = 1 - \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$$ ∞ ∑ i=0এস(আই)=ই[এন]ই[এন]=(1-পি)ই(1-পি$S(n) = 1 - F(n) = \frac{ (1-p)^{n+1} }{ n! }$ $$\sum_{i=0}^{\infty} S(i) = E[N]$$ যা, যদি আপনি কিছু ক্যালকুলাস মনে রাখেন, দেখতে অনেকটা ঘাতকের টেলর সিরিজের মতো লাগে, সুতরাং $$E[N] = (1-p)e^{(1-p) }$$