রূপান্তরিত এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির সহকারী

আমার দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং । $X > 0$ $Y > 0$

প্রদত্ত যে আমি অনুমান করতে পারি আমি কীভাবে অনুমান করতে পারি

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— user7064
সূত্র

এই অতীতের প্রশ্নটি কোভারিয়েন্সের পরিবর্তে পারস্পরিক সম্পর্কের বিষয়ে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল, তবে এটি সম্পর্কিত: stats.stackexchange.com/questions/35941/…

— ডগলাস

কেউ টেলর সম্প্রসারণের পদ্ধতি গ্রহণ করতে পারে:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

সম্পাদনা:

নিন , । $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

Tiv সান্নিধ্য গণনা করার জন্য মাল্টিভিয়ারেট টেলর প্রসারণটি ব্যবহার করুন লিঙ্কের "প্রথম মুহুর্তের শেষে" উদাহরণের অনুরূপ which এর সহজ কেস এবং এবং (একই বিভাগের প্রথম অংশে প্রদত্ত) সাথে অনুরূপ নির্ভুলতার সাথে আনুমানিক বিস্তৃতি ব্যবহার করুন । এই জিনিসগুলি থেকে, (আনুমানিক) সমবায় গণনা করুন। $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

লিঙ্কে উদাহরণ হিসাবে অনুরূপ ডিগ্রির সমান পরিমাণে প্রসারিত করে, আমি মনে করি আপনি প্রতিটি (অপরিবর্তিত) ভেরিয়েবলের গড় এবং প্রকরণের পদগুলি এবং তাদের সম্প্রদায়ের সাথে শেষ করেছেন।

সম্পাদনা 2:

তবে এখানে একটি সামান্য কৌশল যা কিছু প্রচেষ্টা বাঁচাতে পারে:

দ্রষ্টব্য যে এবং এবং । $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

প্রদত্ত আমাদের

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

সম্পাদনা: শেষ ধাপে থেকে টেলর পড়তা যায় যে , যা ছোট জন্য ভাল (গ্রহণ )। $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(যে অনুমানের , স্বাভাবিক: ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

যাক $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

এবং প্রদত্ত , $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(সম্পাদনা :)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

সুতরাং । এটি বিভারিয়েট গাউসির জন্য সঠিক হওয়া উচিত । $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

আপনি যদি দ্বিতীয়টির পরিবর্তে প্রথম সান্নিধ্য ব্যবহার করেন তবে আপনি এখানে একটি ভিন্ন সান্নিধ্য পাবেন।

— গ্লেন_বি -রাইনস্টেট মনিকা
সূত্র

দয়া করে কিছুটা আরও বিশদ দিতে পারেন? যাইহোক, পরামর্শের জন্য

— THX

বিশদ জন্য সম্পাদিত।

— গ্লেন_বি

ধন্যবাদ @ গ্লেেন্ড_ বি। বিবরণ যুক্ত করা হবে যখন আমি গ্রহণ করব। ইতিমধ্যে, +1 :-)

— ব্যবহারকারী 7064

কোন চিন্তা করো না; আমি তখন ব্যস্ত ছিলাম, তখন সম্পূর্ণ ভুলে গেছি। এখন ঠিক আছে

— Glen_b -Rininstate Monica

এটি সাধারণত - এর ভেরিয়েন্সগুলি ছোট হলে (সমতুল্য, এবং পরিবর্তনের যদি ছোট হয়) তবে এটি নন-গাউসীয় ভেরিয়েবলগুলির জন্য আরও ভাল কাজ করে ।

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

এবং সম্পর্কে কোনও অতিরিক্ত অনুমান ব্যতিরেকে , প্রাথমিক কোভেরিয়েন্সটি জেনে লগের সম্প্রদায়ের অনুমান করা সম্ভব নয়। অন্যদিকে মধ্যে, আপনি যদি কম্পিউট করতে সক্ষম হয়েছি থেকে এবং , আপনি কি গণক করতে বাধা দেয় থেকে এবং সরাসরি? $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— ThePawn
সূত্র