ওজনযুক্ত প্রকরণে বায়াস সংশোধন

অবিশ্বাস্য প্রকরণের জন্য সেখানে বায়াস সংশোধন নমুনা বৈকল্পিক উপস্থিতি রয়েছে, যখন একই ডাটা থেকে গড়টি অনুমান করা হয়েছিল:

var (এক্স) : = \frac{1}{এন} \underset{আমি}{Σ} ({এক্স}_{আমি} - μ)^{2}

$\text{Var}(X):=\frac{1}{n}\sum_i(x_i - \mu)^2$

Var (X) := \frac{1}{n - 1} \sum_{i} (x_{i} - E [X])^{2}

$\text{Var}(X):=\frac{1}{n-1}\sum_i(x_i - E[X])^2$

আমি ওজনযুক্ত গড় এবং প্রকরণের দিকে তাকিয়ে আছি এবং অবাক হয়ে যাচ্ছি যে ওজনযুক্ত প্রকরণের জন্য উপযুক্ত পক্ষপাত সংশোধন কী। ব্যবহার:

mean (X) := \frac{1}{\sum_{i} ω_{i}} \sum_{i} ω_{i} x_{আমি}

$\text{mean}(X):=\frac{1}{\sum_i \omega_i}\sum_i \omega_i x_i$

"নিষ্পাপ", অ-সংশোধনযোগ্য বৈকল্পিকতাটি হ'ল:

Var (X) := \frac{1}{\sum_{i} ω_{i}} \sum_{i} ω_{i} (x_{i} - mean (X))^{2}

$\text{Var}(X):=\frac{1}{\sum_i \omega_i}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2$

তাই আমি ভাবছি পক্ষপাত সংশোধন করার সঠিক উপায় কিনা

ক)

Var (X) := \frac{1}{\sum_{i} ω_{i} - 1} \sum_{i} ω_{i} (x_{i} - mean (X))^{2}

$\text{Var}(X):=\frac{1}{\sum_i \omega_i - 1}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2$

বা খ)

Var (X) := \frac{n}{n - 1} \frac{1}{\sum_{i} ω_{i}} \sum_{i} ω_{i} (x_{i} - mean (X))^{2}

$\text{Var}(X):=\frac{n}{n-1}\frac{1}{\sum_i \omega_i}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2$

বা সি)

Var (X) := \frac{\sum_{i} ω_{i}}{(\sum_{i} ω_{i})^{2} - \sum_{i} ω_{i}^{2}} \sum_{i} ω_{i} (x_{i} - mean (X))^{2}

$\text{Var}(X):=\frac{\sum_i \omega_i}{(\sum_i \omega_i)^2-\sum_i \omega_i^ 2}\sum_i\omega_i(x_i - \text{mean}(X))^2$

ক) ওজন যখন ছোট হয় তখন তা আমার বোঝায় না। স্বাভাবিককরণের মান 0 বা এমনকি নেতিবাচক হতে পারে। তবে কীভাবে বি) ( পর্যবেক্ষণের সংখ্যা) - এটি কি সঠিক পদ্ধতির? আপনার কি কিছু রেফারেন্স রয়েছে যা এটি দেখায়? আমি বিশ্বাস করি "আপডেটিং গড় এবং বৈচিত্রের অনুমান: উন্নত পদ্ধতি", ডিএইচডি পশ্চিম, 1979 এটি ব্যবহার করে। তৃতীয়, সি) এই প্রশ্নের উত্তরের আমার ব্যাখ্যা: /mathpro/22203/unbiised-estimate-of-the-variance-of-an- unnormalised-weighted-mean $n$

গ এর জন্য) আমি ঠিক বুঝতে পেরেছি যে ডোনমিনেটর দেখতে অনেকটা মতো লাগে । এখানে কিছু সাধারণ সংযোগ আছে? আমি মনে করি এটি সম্পূর্ণভাবে সারিবদ্ধ হয় না; এবং স্পষ্টতই এখানে সংযোগটি রয়েছে যা আমরা বৈকল্পিক গণনা করার চেষ্টা করছি ... $\text{Var}(\Omega)$

তাদের সমস্ত সেট করার স্যানিটি চেকটি "বেঁচে" আছে বলে মনে হচ্ছে । সুতরাং কোনটি আমার ব্যবহার করা উচিত, কোন প্রাঙ্গনের অধীনে? '' আপডেট: '' হুবহু এবং সমস্ত অবশিষ্ট ক্ষুদ্রার সাথে স্যানিটি চেক করার পরামর্শ দেয় । এটি এ এবং বি কে বাতিল বলে মনে হচ্ছে $\omega_i=1$ $\omega_1=\omega_2=.5$ $\omega_i=\epsilon$

— Anony-হেয়ার ক্রিম
সূত্র

যখন আপনি এমন দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করেন যেখানে দুটি বৃহত্তম ওজন সমান হয় এবং বাকী সমস্ত অদৃশ্য হয়ে যায়, উভয়ই (এ) এবং (খ) বিতর্ক থেকে বাদ পড়ে (কারণ তারা জন্য জানা ফলাফলের সাথে একমত নয় )। (গ) একটি আনুমানিক হিসাবে উপস্থিত হয়; আমি সন্দেহ করি যে সঠিক ফ্যাক্টরটি ওজনের অনেক বেশি জটিল কাজ।

n = 2

$n=2$

— হোবল

নিচে থিপউন @ নীচের টিপন পরামর্শ দিচ্ছে যে এটি সি। আপনার কি আরও বিস্তারিত উদ্বেগ রয়েছে?

— অ্যানি-মৌসেস

সলিউশন (এ) কাজ করে, আমি এটি অতীতে বাস্তবায়ন করেছি এবং পরীক্ষামূলক পরীক্ষাগুলি থেকে নিশ্চিত করতে পারি যে এটি সঠিক ফলাফল দেয়। তবে, আপনাকে অবশ্যই ওজন এবং> 0

— গর্বসিত

ধন্যবাদ! ওজন খুব বেশি গতিশীল গড়ের জন্য যখন ওজন হয় তখন এটি আমাকে সঠিক ট্র্যাকটিতে উঠতে সাহায্য করেছিল! এটি প্রমাণিত হয়েছে যে বৈকল্পিকটি গণনা করার নিষ্পাপ উপায়টি 2 টির একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর দ্বারা এটিকে তাত্পর্যপূর্ণ করে তোলে, ছোট (1-1 / এন) সংশোধন ছাড়াও যা সরল গড়ের গণনার সাথে সমানভাবে দেখায়। এটি একটি বিশেষ পাগল বিশেষ কেস!

— saolof

উত্তর:

আমি গণিত দিয়ে গিয়ে ভেরিয়েন্ট সি দিয়ে শেষ করেছি:

ভী একটি R (এক্স) = \frac{(\underset{আমি}{Σ} ω_{আমি})^{2}}{(\underset{আমি}{Σ} ω_{আমি})^{2} - \underset{আমি}{Σ} ω_{আমি}^{2}} \bar{ভী}

$Var(X) = \frac{(\sum_i \omega_i)^2}{(\sum_i \omega_i)^2 - \sum_i \omega_i^2}\overline V$ যেখানে হ'ল সংশোধিত বৈকল্পিক অনুমান। সূত্রটি সাথে সম্মত হয় যখন সমস্ত অভিন্ন হয়। আমি নীচে প্রমাণ বিস্তারিত:

\bar{V}

$\overline V$

ω_{i}

$\omega_i$

সেটিং , আমরা $\lambda_i = \frac{\omega_i}{\sum_i \omega_i}$

\bar{ভী} = \underset{আমি}{Σ} λ_{আমি} ({এক্স}_{আমি} - \underset{ঞ}{Σ} λ_{ঞ} {এক্স}_{ঞ})^{2}

$\overline V = \sum_i \lambda_i (x_i - \sum_j \lambda_j x_j)^2$

অভ্যন্তরীণ শব্দটি প্রসারিত করে:

({এক্স}_{আমি} - \underset{ঞ}{Σ} λ_{ঞ} {এক্স}_{ঞ})^{2} = {এক্স}_{আমি}^{2} + + \underset{ঞ, ট}{Σ} λ_{ঞ} λ_{ট} {এক্স}_{ঞ} {এক্স}_{ট} - 2 \underset{ঞ}{Σ} λ_{ঞ} {এক্স}_{আমি} {এক্স}_{ঞ}

$(x_i - \sum_j \lambda_j x_j)^2 = x_i^2 + \sum_{j, k} \lambda_j \lambda_k x_j x_k - 2 \sum_j \lambda_j x_i x_j$

যদি আমরা প্রত্যাশাটি গ্রহণ করি তবে আমাদের কাছে , শব্দটি প্রতিটি পদে উপস্থিত রয়েছে, এটি বাতিল হয়ে যায় এবং আমরা পাওয়া: $E[x_i x_j] = Var(X)1_{i = j} + E[X]^2$ $E[X]$

ই [\bar{ভী}] = ভী একটি R (এক্স) \underset{আমি}{Σ} λ_{আমি} (1 + + \underset{ঞ}{Σ} λ_{ঞ}^{2} - 2 λ_{আমি})

$E[\overline V] = Var(X) \sum_i \lambda_i (1 + \sum_j \lambda_j^2- 2 \lambda_i )$ যা এটা প্রকাশের প্লাগ ইন অবশেষ সম্মান সঙ্গে বৈকল্পিক সি পেতে

ই [\bar{ভী}] = ভী একটি R (এক্স) (1 - \underset{ঞ}{Σ} λ_{ঞ}^{2})

$E[\overline V] = Var(X) (1 - \sum_j \lambda_j^2)$

λ_{i}

$\lambda_i$

ω_{i}

$\omega_i$

— ThePawn
সূত্র

এটি উপরের বৈকল্পিক সি, তাই না?

— অ্যানি-মৌসে

ওপস, হ্যাঁ, এটি বৈকল্পিক সি

— ThePawn

আমি এই সমাধানটি যথাযথভাবে পরীক্ষা করে দেখেছি এবং এটি কার্যকর হয় না ... কেবলমাত্র সমাধান (এ) যা আমি নিজেও অতীতে প্রয়োগ করেছি, তবে এটি কেবলমাত্র পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা এবং> = 0

— গৌরবযুক্ত

এই সমীকরণটি উইকিপিডিয়া, মতলব, আর এবং অন্যান্য যারা এই সমীকরণটি বাস্তবায়ন করছে তাদের মতে ভুল। এখানে অঙ্কটি বর্গক্ষেত্রযুক্ত, তবে এটি হওয়া উচিত নয়, এটি ওপি দ্বারা প্রস্তাবিত (সি) এর মতো হওয়া উচিত। দেখুন en.wikipedia.org/wiki/...

— gaborous

@ রাজাতখন্ডুজা আমি প্রমাণের কথা বলছিলাম না তবে চূড়ান্ত উত্সাহিত সমীকরণ (এই উত্তরের শীর্ষস্থানীয়)। তবে প্রকৃতপক্ষে এটি সঠিক, সংখ্যাটি কেবল স্কোয়ারযুক্ত কারণ আমরা ভি দ্বারা বহুবৃত্তি করি, সুতরাং এই সংখ্যাটি অপ্রচলিত হয়ে শেষ হয়। যাইহোক, এই অনুমানকটি পক্ষপাতিত্ব করেই রয়েছেন যেমন আমি নীচে আমার উত্তরটিতে ব্যাখ্যা করি যেহেতু এটি "নির্ভরযোগ্যতা" টাইপ ওজনের উপর নির্ভর করে।

— গর্বজনক

এ এবং সি উভয়ই সঠিক, তবে আপনি কোনটি ব্যবহার করবেন তা নির্ভর করে আপনি কোন ধরণের ওজন ব্যবহার করেন:

একটি আপনাকে "পুনরাবৃত্তি" টাইপ ওজন ব্যবহার করতে হবে (প্রতিটি পর্যবেক্ষণের জন্য সংখ্যার সংখ্যা গণনা করে) এবং নিরপেক্ষ ।
সি আপনাকে "নির্ভরযোগ্যতা"-টাইপ ওজন ব্যবহার করতে হবে (হয় প্রতিটি সাধারণ পর্যায়ের জন্য ওজন বা উভয় রূপ), এবং পক্ষপাতদুষ্ট । এটি নিরপেক্ষ হতে পারে না।

সি প্রয়োজনীয়ভাবে পক্ষপাতদুষ্ট হওয়ার কারণ হ'ল যদি আপনি "পুনরাবৃত্তি" টাইপ ওজন ব্যবহার না করেন তবে আপনি মোট পর্যবেক্ষণের (নমুনার আকার) গণনা করার ক্ষমতা হারাবেন এবং এইভাবে আপনি সংশোধন ফ্যাক্টরটি ব্যবহার করতে পারবেন না।

আরও তথ্যের জন্য, উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি যা সম্প্রতি আপডেট হয়েছে তা পরীক্ষা করুন: http://en.wikedia.org/wiki/Weided_arithmetic_mean##wight_sample_variance

— gaborous
সূত্র