গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পার্থক্য

দুটি স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এবং , ডিস্ট্রিবিউশন কী, অর্থাৎ ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

ফলাফলটি সুপরিচিত না হলে আমি কীভাবে ফলাফলটি অর্জন করতে যাব?

distributions gamma-distribution

— FBC
সূত্র

আমার মনে হয় প্রাসঙ্গিক হতে পারে: stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— দিমিত্রি ভি। মাস্টারভ

দুর্ভাগ্যক্রমে প্রাসঙ্গিক নয়, সেই পোস্টটি গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ওজনফলকে বিবেচনা করে যেখানে ওজন কঠোরভাবে ইতিবাচক। আমার ক্ষেত্রে ওজন যথাক্রমে +1 এবং -1 হবে।

— এফবিসি

মোসচোপ্লোস পত্রিকায় দাবি করা হয়েছে যে পদ্ধতিটি রৈখিক সংমিশ্রণে প্রসারিত করা যেতে পারে, তবে আপনি ঠিক বলেছেন যে উদ্ধারকাজটি 0 এর চেয়ে বেশি ওজনের মধ্যে সীমাবদ্ধ বলে মনে হচ্ছে I

— দিমিত্রি ভি। মাস্টারভ

দুটি স্কেলের কারণ একই না হলে সরল বা বদ্ধ আকারে কিছু অর্জনের খুব কম আশা আছে।

— whuber

কেবলমাত্র একটি ছোট্ট মন্তব্য: একই প্যারামিটারের সাথে তাত্পর্যপূর্ণভাবে বিতরণ করা আরভিগুলির বিশেষ ক্ষেত্রে ফলটি ল্যাপ্লেস ( en.wikedia.org/wiki/Laplays_distribration )।

— রিক

উত্তর:

আমি কীভাবে সমস্যাটির কাছে যেতে পারি এবং কী আকারে প্যারামিটারগুলি পূর্ণসংখ্যা হয় তার পরে বিশেষ ফলটি কী হবে বলে আমি মনে করি তা বর্ণনা করব তবে বিশদটি পূরণ করবেন না।

প্রথমত, মনে রাখবেন যে মান উপর লাগে এবং তাই সমর্থন আছে । $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
দ্বিতীয়ত, মান ফলাফল থেকে দুটি স্বাধীন একটানা র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর সমষ্টি ঘনত্ব তাদের ঘনত্বের সংবর্তন, যে, যে এবং যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ঘনত্ব is , কে
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
তৃতীয়, অ-নেতিবাচক এলোমেলো ভেরিয়েবল এবং নোট করুন যে উপরের এক্সপ্রেশনটি $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
অবশেষে, parametrization ব্যবহার ঘনত্ব সঙ্গে একটি দৈব চলক মানে $\Gamma(s,\lambda)$ , এবং এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল, আমরা জন্য আছেযে $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$ একইভাবে,,
$\begin{aligned} চ_{এক্স - ওয়াই} (z- র) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (Y + + z- র))^{গুলি - 1}}{Γ (গুলি)} মেপুঃ (- λ (Y + + z- র)) μ \frac{(μ Y)^{টি - 1}}{Γ (টি)} মেপুঃ (- μ Y) ঘ Y \\ (1) & = মেপুঃ (- λ z- র) \int_{0}^{\infty} পি (Y, z- র) মেপুঃ (- (λ + + μ) Y) ঘ Y । \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} চ_{এক্স - ওয়াই} (z- র) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ এক্স)^{গুলি - 1}}{Γ (গুলি)} মেপুঃ (- λ এক্স) μ \frac{(μ (এক্স - z- র))^{টি - 1}}{Γ (টি)} মেপুঃ (- μ (এক্স - z- র)) ঘ এক্স \\ (2) & = মেপুঃ (μ z- র) \int_{0}^{\infty} কুই (এক্স, z- র) মেপুঃ (- (λ + + μ) এক্স) ঘ এক্স । \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} {এক্স}^{গুলি - 1} (এক্স + + β)^{গুলি - 1} মেপুঃ (- ν এক্স) ঘ এক্স

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

+1: আগে এই সমস্যার দিকে নজর রেখে আমি এই উত্তরটি আকর্ষণীয় মনে করি।

— নীল জি

কোনও বদ্ধ ফর্ম সমাধান না থাকায় আমি এই উত্তরটি গ্রহণ করতে যাচ্ছি। এটি যতটা কাছে যায় তত কাছাকাছি, ধন্যবাদ!

— এফবিসি

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

আমার জানা মতে দুটি স্বতন্ত্র গামা আরভি'র পার্থক্যের বন্টন প্রথম 1993 সালে মাথাই দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল He তিনি একটি বন্ধ ফর্ম সমাধান পেয়েছিলেন। আমি তার কাজ এখানে পুনরুত্পাদন করব না। পরিবর্তে আমি আপনাকে মূল উত্সের দিকে নির্দেশ করব। বদ্ধ ফর্ম সমাধানটি 241 পৃষ্ঠায় উপপাদ্য ২.১ হিসাবে তার কাগজে পাওয়া যাবে নন-সেন্ট্রাল জেনারেলাইজড ল্যাপ্লেসিয়নেস অব চতুর্ভুজীয় রূপগুলিতে স্বাভাবিক ভেরিয়েবলগুলিতে ।

— নাথান ক্রক
সূত্র