কমপক্ষে একবারে প্রতিটি সংখ্যা পেতে আপনাকে কত ঘন ঘন একটি 6-পক্ষীয় ডাই রোল করতে হবে?

Question

আমি কেবলমাত্র আমার বাচ্চাদের সাথে একটি গেম খেলেছি যা মূলত এটিতে উত্সাহিত হয়: যে whoever পক্ষের ডাই জয়ের পক্ষে কমপক্ষে একবারে প্রতিটি সংখ্যা রোল করে।

আমি জিতেছি, শেষ পর্যন্ত এবং অন্যরা পরে 1-2 টি শেষ করেছে। এখন আমি ভাবছি: গেমটির দৈর্ঘ্যের প্রত্যাশা কী?

আমি জানি যে আপনি নির্দিষ্ট সংখ্যায় আঘাত না করা পর্যন্ত রোলসের সংখ্যার প্রত্যাশা হ'ল ।$\sum_{n=1}^\infty n\frac{1}{6}(\frac{5}{6})^{n-1}=6$

তবে আমার দুটি প্রশ্ন রয়েছে:

1. আপনি কমপক্ষে একবারে প্রতিটি সংখ্যা না পাওয়া পর্যন্ত আপনাকে কতবার ছয় পক্ষের ডাই রোল করতে হবে?
2. চারটি স্বাধীন ট্রায়ালের মধ্যে (অর্থাত্ চারজন খেলোয়াড়), সর্বোচ্চ সংখ্যক রোলগুলির প্রয়োজনীয়তা কী? [দ্রষ্টব্য: এটি সর্বাধিক, ন্যূনতম নয়, কারণ তাদের বয়সে, এটি আমার বাচ্চাদের জন্য প্রথমে পৌঁছানোর চেয়ে সমাপ্তি সম্পর্কে আরও বেশি]

আমি ফলাফলটি অনুকরণ করতে পারি, তবে আমি কীভাবে বিশ্লেষণাত্মকভাবে এটি গণনা করতে যাব তা অবাক করি।

---

এখানে মাতলাবে একটি মন্টি কার্লো সিমুলেশন রয়েছে

mx=zeros(1000000,1);
for i=1:1000000,
   %# assume it's never going to take us >100 rolls
   r=randi(6,100,1);
   %# since R2013a, unique returns the first occurrence
   %# for earlier versions, take the minimum of x
   %# and subtract it from the total array length
   [~,x]=unique(r); 
   mx(i,1)=max(x);
end

%# make sure we haven't violated an assumption
assert(numel(x)==6)

%# find the expected value for the coupon collector problem
expectationForOneRun = mean(mx)

%# find the expected number of rolls as a maximum of four independent players
maxExpectationForFourRuns = mean( max( reshape( mx, 4, []), [], 1) )

expectationForOneRun =
   14.7014 (SEM 0.006)

maxExpectationForFourRuns =
   21.4815 (SEM 0.01)

Comments

কুপন সংগ্রাহকের সমস্যাটি আরও দেখুন - গুগলিং আপনাকে আরও অনেক হিট এবং আরও তথ্য দেবে। এছাড়াও এখানে stats.SE এ অনুসন্ধান করার চেষ্টা করুন ।

— Glen_b

@ গ্লেন_বি: ধন্যবাদ, আমি সেই নামটি জানতাম না!

— জোনাস

@ শুভ: আমি নিশ্চিত না যে এই প্রশ্নটি বন্ধ করা উচিত ছিল। তিনি চারটি পরীক্ষার প্রত্যাশিত সর্বনিম্ন হিট সময় চান। আমি গতিশীল প্রোগ্রামিং সমাধানের জন্য আমার উত্তরটি ঠিক করতে চলেছিলাম।

— নিল জি

@ শুভ: আমি আমার পোস্টটি স্পষ্ট করতে সম্পাদনা করব

— জোনাস

প্রাসঙ্গিক গণিত.এসই পোস্ট: কুপন সংগ্রাহকের সমস্যায় সম্ভাব্যতা বন্টন

— Glen_b

Answer 1

যেহেতু একটি "সম্পূর্ণ বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতির" জন্য অনুরোধ করা হয়েছে, এখানে একটি সঠিক সমাধান দেওয়া হয়েছে। এটি মিশ্র প্রতিস্থাপনের অবস্থার সাথে কালো এবং সাদা বলের একটি সেটে একটি কালো বল আঁকার সম্ভাবনাতে সমস্যার সমাধানের বিকল্প বিকল্পও দেয় ।

---

গেমের মুভের সংখ্যা, , সম্ভাব্যতাগুলির সাথে জ্যামিতিক ভেরিয়েবলের ছয়টি স্বতন্ত্র উপলব্ধির সমষ্টি হিসাবে মডেল করা যেতে পারে , তাদের প্রত্যেককে দ্বারা স্থানান্তরিত করা হয়েছে (কারণ একটি জ্যামিতিক পরিবর্তনশীল কেবল একটি সাফল্যের পূর্ববর্তী রোলগুলি গণনা করে এবং আমাদের সেই রোলগুলিও গণনা করতে হবে যার উপর সাফল্য লক্ষ্য করা গেছে)। জ্যামিতিক বিতরণের সাথে গণনা করে আমরা অতএব এমন উত্তরগুলি পাব যা পছন্দসইগুলির চেয়ে কম এবং অতএব অবশ্যই অবশ্যই শেষে যুক্ত করা উচিত ।$X$$(p)$$p=1, 5/6, 4/6, 3/6, 2/6, 1/6$$1$6 6$6$$6$

সম্ভাব্যতা উৎপাদিত ফাংশন (PGF) যেমন একটি এর জ্যামিতিক পরিবর্তনশীল পরামিতি সঙ্গে হয়$p$

$$f(z, p) = \frac{p}{1-(1-p)z}.$$

সুতরাং এই ছয়টি ভেরিয়েবলের যোগফলের জন্য পিজিএফ হয়

$$g(z) = \prod_{i=1}^6 f(z, i/6) = 6^{-z-4} \left(-5\ 2^{z+5}+10\ 3^{z+4}-5\ 4^{z+4}+5^{z+4}+5\right).$$

( আংশিক ভগ্নাংশের মাধ্যমে পণ্যটি পাঁচ পদে বিভক্ত করে এই বদ্ধ আকারে গণনা করা যেতে পারে ))

ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন (সিডিএফ) এর আংশিক অঙ্কগুলি ( মধ্যে একটি পাওয়ার সিরিজ হিসাবে ) থেকে প্রাপ্ত হয় , যা জ্যামিতিক সিরিজের যোগফলের সমান, এবং দ্বারা দেওয়া হয়$g$$z$

$$F(z) = 6^{-z-4} \left(-(1)\ 1^{z+4} + (5)\ 2^{z+4}-(10)\ 3^{z+4}+(10)\ 4^{z+4}-(5)\ 5^{z+4}+(1)\ 6^{z+4}\right).$$

(আমি এই বহিঃপ্রকাশটি এমন এক আকারে লিখেছি যা অন্তর্ভুক্তি-বহিষ্কারের নীতিমালার মাধ্যমে বিকল্প উত্সের পরামর্শ দেয় ))

এটি থেকে আমরা গেমের (প্রথম প্রশ্নের উত্তর দেওয়া) প্রত্যাশিত সংখ্যাটি পেয়েছি

$$\mathbb{E}(6+X) = 6+\sum_{i=1}^\infty \left(1-F(i)\right) = \frac{147}{10}.$$

সর্বোচ্চ স্বতন্ত্র সংস্করণগুলির সিডিএফ হ'ল (এবং এ থেকে আমরা নীতিগতভাবে সর্বোচ্চ আমাদের পছন্দ মতো কোনও সম্ভাব্য প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি, যেমন এর বৈচিত্র কী, এর 99 তম পারসেন্টাইল কী? , এবং তাই)। সঙ্গে আমরা একজন প্রত্যাশা প্রাপ্ত$m$$X$$F(z)^m$$m=4$

$$6+\sum_{i=1}^\infty \left(1-F(i)^4\right) \approx 21.4820363\ldots.$$

(মানটি একটি যুক্তিযুক্ত ভগ্নাংশ যা হ্রাস আকারে একটি 71-সংখ্যার ডিনোমিনেটর রয়েছে)) মানক বিচ্যুতি এখানে চার খেলোয়াড়দের জন্য সর্বোচ্চ (এটা দ্বারা স্থানান্তরিত করা হয়েছে সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের একটা চক্রান্ত ইতিমধ্যে):$6.77108\ldots.$$6$

যেহেতু কেউ আশা করতে পারে, এটি ইতিবাচকভাবে স্কিউড। মোডটি রোল এ রয়েছে। এটি বিরল যে শেষ করা ব্যক্তিটি টিরও রোল নেবে (এটি প্রায় ) )।$18$$50$$0.3\%$

Comments

এই সমাধান পদ্ধতিটি পর্যবেক্ষণ দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল যে জ্যামিতিক ভেরিয়েবলগুলির যোগফলগুলি একই পরামিতিগুলির জ্যামিতিক ভেরিয়েবলগুলির মিশ্রণ (সম্ভবত নেতিবাচক ওজন সহ)। একই রকম সম্পর্ক গামা ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে রয়েছে (বিভিন্ন হারের পরামিতি সহ)। আমি ম্যাথমেটিকায় কাজ করার জন্য ক্ষমা চাইছি তবে আমি নিশ্চিত যে মতলবও এই গণনাগুলি সম্পাদন করতে পারে :-)।

— whuber

এই উত্তরটির আমি প্রত্যাশা করছি। আপনাকে অনেক ধন্যবাদ! আমি মনে করি আমার মতলবতে সংখ্যার ফলাফলগুলি গণনা করতে সক্ষম হওয়া উচিত :)

— জোনাস

কীভাবে জ্যামিতিক বিতরণের সম্ভাব্য ভর বন্টনের সাথে সম্পর্কিত? কোথায় পণ্যের নেই থেকে এসেছে? আমি এর অর্থ পেয়েছি তবে এর অর্থ কী ? $f(z, p) = \frac{p}{1-(1-p)z}$$\prod_{i=1}^6 f(z, i/6)$$F(z)$$g(z)$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

আমি এখন দেখতে পাচ্ছি যে হ'ল সম্ভাব্যতা তৈরির ফাংশন। $f(z,p)$

— সেক্সটাস এম্পেরিকাস

@ মার্তিজজন ওয়েটারিংস আপনাকে ধন্যবাদ - আমি বিশ্বাস করি যে এটি আরও সঠিক এবং প্রচলিত শব্দ। (আপনি বলতে পারেন যে আমি পিএমএফ এবং পিজিএফকে প্রায় একই জিনিস হিসাবে ভাবার প্রবণতা ব্যবহার করি, দীর্ঘকালীন অভ্যাসের কারণে।) আমি এই পোস্টে পরিভাষাটি পরিবর্তন করব।

— হুড়াহুড়ো করে

Answer 2

পুনরাবৃত্ত সম্পর্কের সাহায্যে সমস্যাটিকে আক্রমণ করার জন্য দ্য পেইনের সঠিক ধারণা রয়েছে। states with রাজ্যগুলির সাথে চিহ্নিত মার্কভ চেইনের বিষয়টি বিবেচনা করুন যা ঘটেছে স্বতন্ত্র ডাইস রোলগুলির সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত। রাজ্য 0 হল প্রারম্ভিক রাষ্ট্র এবং 6 টি রাজ্য সমাপ্তি রাষ্ট্র। এর পরে, রাষ্ট্র থেকে ট্রানজিশন সম্ভাব্যতা নিজেই হয় । রাষ্ট্র থেকে ট্রানজিশন সম্ভাব্যতা রাষ্ট্র হয় । সুতরাং রাজ্যের হিটিং সময়টি $\{0, \dotsc, 6\}$$i$$\frac{i}{6}$$i$$i+1$$\frac{6-i}{6}$

$$\begin{align} \sum_{i=0}^5 \frac{6}{6-i} = 14.7 \end{align}$$

সর্বাধিক চারটি পরীক্ষার জন্য, রাজ্যগুলি বিবেচনা করুন যা চতুর্ভুজ are আপনি লক্ষ্য স্থিতির জন্য প্রত্যাশিত মারার সময়টি সন্ধান করতে চান । যে কোনো অবস্থায় প্রত্যাশিত আঘাত সময় প্রতিটি উৎস রাষ্ট্রের জন্য ভরযুক্ত গড় প্রত্যাশিত আঘাত সময় প্লাস সময় থেকে যেতে করতে দ্বারা পরিমেয় , রাষ্ট্র এ আসার সম্ভাবনা এবং চলন্তঞ আমি টি আমি আমি ঞ পি আমি পি আমি ঞ আমি $(6,6,6,6)$$j$$i$$T_i$$i$$j$$p_ip_{ij}$$i$$j$। আপনি গতিশীল প্রোগ্রামিং দ্বারা হিটিংয়ের সময় এবং সম্ভাবনাগুলি আবিষ্কার করতে পারেন। আঘাতের সময় এবং সম্ভাব্যতা পূরণের জন্য ট্র্যাভারসাল অর্ডার থাকার কারণে এটি এতটা কঠিন নয়। উদাহরণস্বরূপ, দুটি মারা যাওয়ার জন্য: প্রথমে টি এবং পি (0,0) এর জন্য গণনা করুন, তারপরে (1,0), তারপরে (1, 1), (2, 0), তারপরে (2, 1), ইত্যাদি

পাইথনে:

import numpy as np
import itertools as it
from tools.decorator import memoized  # A standard memoization decorator

SIDES = 6

@memoized
def get_t_and_p(state):
    if all(s == 0 for s in state):
        return 0, 1.0
    n = len(state)
    choices = [[s - 1, s] if s > 0 else [s]
               for s in state]
    ts = []
    ps = []
    for last_state in it.product(*choices):
        if last_state == state:
            continue
        last_t, last_p = get_t_and_p(tuple(sorted(last_state)))
        if last_p == 0.0:
            continue
        transition_p = 1.0
        stay_p = 1.0
        for ls, s in zip(last_state, state):
            if ls < s:
                transition_p *= (SIDES - ls) / SIDES
            else:
                transition_p *= ls / SIDES
            stay_p *= ls / SIDES
        if transition_p == 0.0:
            continue
        transition_time = 1 / (1 - stay_p)
        ts.append(last_t + transition_time)
        ps.append(last_p * transition_p / (1 - stay_p))
    if len(ts) == 0:
        return 0, 0.0
    t = np.average(ts, weights=ps)
    p = sum(ps)
    return t, p

print(get_t_and_p((SIDES,) * 4)[0])

Comments

আপনি গেমটির চারটি স্বতন্ত্র repititions মধ্যে প্রত্যাশিত সর্বোচ্চ রোল মিস করেছেন।

— সম্ভাব্যতাব্লোগিক

আহ, আমি ঠিক তা লক্ষ করেছি। আমি মনে করি আপনি ন্যূনতম বলতে চাইছেন, তবে হ্যাঁ।

— নিল জি

@ নীলজি: আমি আসলে সর্বাধিক বলতে চাইছি (আমার আপডেট হওয়া প্রশ্নটি দেখুন), যদিও আমি ধরে নিই যে কৌশলটি ন্যূনতম এবং সর্বোচ্চের জন্য একই। আপনি দয়া করে গতিশীল প্রোগ্রামিং কৌশলটি বিস্তারিতভাবে বলতে পারেন?

— জোনাস

@ জোনাস: সর্বাধিকের জন্য আপডেট হয়েছে। আমার অনেক কাজ আছে তবে আমি পরে আপনার পক্ষে এটি কোড করতে সক্ষম হব।

— নীল জি

@ নীলজি: ধন্যবাদ আমি একটি সম্পূর্ণ বিশ্লেষণী পদ্ধতির প্রত্যাশা রেখেছিলাম, তবে ডিপি কোডটিও বেশ নির্দেশমূলক।

— জোনাস

Answer 3

1 খেলোয়াড়ের জন্য গেমটির দৈর্ঘ্যের আর মধ্যে দ্রুত এবং মলিন মন্টি কার্লো অনুমান:

N = 1e5
sample_length = function(n) { # random game length
    x = numeric(0)
    while(length(unique(x)) < n) x[length(x)+1] = sample(1:n,1)
    return(length(x))
}
game_lengths = replicate(N, sample_length(6))

ফলাফল: , , সুতরাং গড় জন্য একটি 95% আস্থা অন্তর । σ =6,24[14,645,14,722$\hat{\mu}=14.684$$\hat{\sigma} = 6.24$$[14.645,14.722]$

চার খেলোয়াড়ের গেমটির দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করার জন্য, আমরা নমুনাগুলিগুলিকে চারটি করে বিভক্ত করতে পারি এবং প্রতিটি গ্রুপের উপরে গড়ে সর্বনিম্ন দৈর্ঘ্য নিতে পারি (আপনি সর্বাধিক সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিলেন, তবে আমি ধরে নিই যে আপনি যেভাবে পড়েছি, সেহেতু আপনি ন্যূনতম বলতে চাইছেন গেমটি শেষ হয় যখন কেউ সমস্ত নম্বর পেয়ে সফল হয়):

grouped_lengths = matrix(game_lengths, ncol=4)
min_lengths = apply(grouped_lengths, 1, min)

$\hat{\mu}=9.44$$\hat{\sigma} = 2.26$$[9.411,9.468]$

Comments

আমি একটি মতলব সিমুলেশন সহ খুব অনুরূপ ফলাফলে পৌঁছেছি, তবে কীভাবে আমি বিশ্লেষণাত্মকভাবে এটি সমাধান করব তা সম্পর্কে আগ্রহী ছিলাম। এছাড়াও, যেহেতু আমি আমার বাচ্চাদের সাথে খেলি, তারা সকলেই খেলাটি শেষ করতে চায়, কে জিতুক না কেন, তাই আমি সর্বোচ্চটি সম্পর্কে জানতে চাই।

— জোনাস

Answer 4

আপনি বাকি সংখ্যা করতে হবে তার সাথে একটি পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক সম্পর্কে about$m$

$$T_{1} = 6$$ $$T_{m} = 1 + \frac{6 - m}{6}T_{m} + \frac{m}{6}T_{m-1}$$

$m$$1$

• $T_{m}$6 - $6 - m$$\frac{6 - m}{6}$
• মি $T_{m-1}$ যদি আপনি অবশিষ্ট সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি রোল করেন (সম্ভাব্যতা )$m$$\frac{m}{6}$

এই সম্পর্কের সংখ্যার প্রয়োগ দেয় ।$14.7$

Comments

এই উত্তরের সাথে কিছু ভুল দেখাচ্ছে। এটি কি শেষে হওয়া উচিত? । $T_i = T_{i-1} + \frac{6}{6-i + 1}$

— নিল জি

হ্যাঁ দুঃখিত, একটি ভুল করেছেন, আমি এটি সংশোধন করছি

— ThePawn

আমি আশা করি আপনার কোনও আপত্তি নেই যে আমি একটি উত্তর যুক্ত করেছি। 14.7 সঠিক, তবে পুনরাবৃত্তির সম্পর্কটি এখনও ত্রুটিযুক্ত ...

— নীল জি

কোনও সমস্যা নেই, প্রথমবার সাবধান হওয়া উচিত ছিল :)। আপনার উত্তর দুর্দান্ত।

— দ্যপপান

Answer 5

প্রথম প্রশ্নের একটি সহজ এবং স্বজ্ঞাত ব্যাখ্যা:

আপনার প্রথমে কোনও নম্বর রোল করা দরকার। এটি সহজ, এটি সর্বদা ঠিক 1 রোল নেবে।

$\frac{5}{6}$$\frac{6}{5}$

$\frac{4}{6}$$\frac{6}{4}$

$\frac{3}{6}$$\frac{6}{3}$

এবং এভাবে আমরা আমাদের 6th ষ্ঠ রোলটি সফলভাবে শেষ না করা পর্যন্ত:

$\frac{6}{6} + \frac{6}{5} + \frac{6}{4} + \frac{6}{3} + \frac{6}{2} + \frac{6}{1} = 14.7\ rolls$

এই উত্তরটি কেবল মার্কভ চেইন ছাড়াই নীল জি-র উত্তরের অনুরূপ।

Answer 6

পরবর্তী নতুন নম্বর পাওয়ার সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন (বা আলাদা সমতুল্য) হ'ল:

f = যোগফল (পি * (1 - পি) ^ (i - 1), i = 1 .. ইনফ)

যেখানে পি হ'ল প্রতি সম্ভাবনা রয়েছে, 1 যখন কোনও সংখ্যা রোল করা হয়নি, 1, 4/6 এর পরে 5/6 .. শেষ সংখ্যাটির জন্য 1/6 এর নিচে

প্রত্যাশিত মান, মি = সমষ্টি (আমি * পি * (১ - প)) ^ (আমি - ১)

মি = পি * যোগফল ((এন + 1) * (1 - পি) ^ n, এন = 0 .. ইনফ)

মি = পি * যোগফল (এন (1-পি) ^ n, এন = 0 .. ইনফ) + পি * যোগ ((1-পি) ^ n, এন = 0 .. ইনফ) মি = পি * (1-পি ) / (1-পি -1) ^ 2 + পি * 1 / (1- (1-পি))

মি = পি * (1 - পি) / পি ^ 2 + পি / পি

মু = (1 - পি) / পি + পি / পি

মিউ = (1 - পি + পি) / পি

মিউ = 1 / পি

1, 5/6, 4/6, 3/6, 2/6, এবং 1/6 এর PS এর প্রত্যাশিত মানগুলির (এমএস) যোগফল পূর্ববর্তী হিসাবে 14.7, তবে প্রয়োজনীয় সংখ্যার জন্য 1 / পি নির্বিশেষে সাধারণ মরা আকারের

একইভাবে, আমরা বিশ্লেষণাত্মকভাবে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি গণনা করতে পারি

সিগমা ^ 2 = সমষ্টি ((আমি - মিউ) ^ 2 * পি * (1 - পি) i (আই - 1), আই = 1 .. ইনফ)

আমি এখানে বীজগণিতকে ছাড়ব, তবে সিগমা ^ 2 = (1-পি) / পি ^ 2

6 এর ক্ষেত্রে, প্রতিটি ধাপের জন্য সিগমা ^ 2 এর যোগফল আবার সিমুলেটেড হিসাবে প্রায় 6.24 এর স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির জন্য 38.99 হয়

Answer 7

প্রশ্ন 1 ছিল:

কমপক্ষে একবারে প্রতিটি সংখ্যা না পাওয়া পর্যন্ত আপনাকে ছয় পার্শ্বযুক্ত পাশা কতবার রোল করতে হবে?

স্পষ্টতই, সঠিক উত্তরটি অবশ্যই 'অসীম' হওয়া উচিত।

Comments

এটি 'প্রতিটি সংখ্যা কমপক্ষে একবার পাওয়ার জন্য নিখুঁত নিশ্চয়তার সাথে গ্যারান্টি দেওয়া' প্রশ্নের উত্তর দেবে। যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল তার জন্য উত্তরটি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, যার বিতরণটি ভালভাবে অনুমান করা যায়।

— Glen_b