পয়েন্টওয়াইজ পণ্যের অধীনে কার্নেল ফাংশনগুলির ঘনিষ্ঠতার প্রমাণ

13

আমি কীভাবে প্রমাণ করতে পারি যে দুটি কার্নেল ফাংশনের পয়েন্টওয়াইজ পণ্যটি একটি কার্নেল ফাংশন?

machine-learning kernel-trick

— Gigili
সূত্র

18

বিন্দু অনুসারে পণ্য দ্বারা, আমি ধরে নিলাম আপনার অর্থ যদি উভয়ই বৈধ কার্নেল ফাংশন, তবে তাদের পণ্য $k_1(x,y), k_2(x,y)$

\begin{aligned} k_{p} (x, y) = k_{1} (x, y) k_{2} (x, y) \end{aligned}

$\begin{align} k_{p}( x, y) = k_1( x, y) k_2(x,y) \end{align}$

এটি একটি বৈধ কার্নেল ফাংশন।

যখন আমরা মার্সারের উপপাদ্যটি প্রার্থনা করি তখন এই সম্পত্তিটি প্রমাণ করা বরং সহজ ward যেহেতু বৈধ কার্নেল, তাই আমরা জানি (মার্সারের মাধ্যমে) তাদের অবশ্যই একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য প্রতিনিধিত্ব স্বীকার করতে হবে। যাক বোঝাতে বৈশিষ্ট্য ভেক্টর এবং জন্য একই বোঝাতে । $k_1, k_2$ $a$ $k_1$ $b$ $k_2$

\begin{aligned} k_{1} (x, y) = a (x)^{T} a (y), a (z) = [a_{1} (z), a_{2} (z), \dots a_{M} (z)] \\ k_{2} (x, y) = b (x)^{T} b (y), b (z) = [b_{1} (z), b_{2} (z), \dots b_{N} (z)] \end{aligned}

$\begin{align} k_1(x,y) = a(x)^T a(y), \qquad a( z ) = [a_1(z), a_2(z), \ldots a_M(z)] \\ k_2(x,y) = b(x)^T b(y), \qquad b( z ) = [b_1(z), b_2(z), \ldots b_N(z)] \end{align}$

সুতরাং এমন একটি ফাংশন যা একটি ডিম ভেক্টর তৈরি করে , এবং একটি -ডিম ভেক্টর তৈরি করে। $a$ $M$ $b$ $N$

এর পরে, আমরা কেবল পণ্যটি এবং এর শর্তে লিখি এবং কিছু পুনরায় সংঘবদ্ধকরণ সম্পাদন করি। $a$ $b$

\begin{aligned} k_{p} (x, y) & = k_{1} (x, y) k_{2} (x, y) \\ = (\sum_{m = 1}^{M} a_{m} (x) a_{m} (y)) (\sum_{n = 1}^{N} b_{n} (x) b_{n} (y)) \\ = \sum_{m = 1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} [a_{m} (x) b_{n} (x)] [a_{m} (y) b_{n} (y)] \\ = \sum_{m = 1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} c_{m n} (x) c_{m n} (y) \\ = c (x)^{T} c (y) \end{aligned}

$\begin{align} k_{p}(x,y) &= k_1(x,y) k_2(x,y) \\&= \Big( \sum_{m=1}^M a_m(x) a_m(y) \Big) \Big( \sum_{n=1}^N b_n(x) b_n(y) \Big) \\&= \sum_{m=1}^M \sum_{n=1}^N [ a_m(x) b_n(x) ] [a_m(y) b_n(y)] \\&= \sum_{m=1}^M \sum_{n=1}^N c_{mn}( x ) c_{mn}( y ) \\&= c(x)^T c(y) \end{align}$

যেখানে হ'ল ডাইমেনশনাল ভেক্টর, সেন্ট । $c(z)$ $M \cdot N$ $c_{mn}(z) = a_m(z) b_n(z)$

এখন, কারণ আমরা লিখতে পারেন একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য বৈশিষ্ট্য মানচিত্র ব্যবহার , আমরা জানি একটি বৈধ কার্নেল (মার্সার এর উপপাদ্য মাধ্যমে) হয়। এখানেই শেষ এটা পেতে ওখানে যাও. $k_p(x,y)$ $c$ $k_p$

— মাইক হিউজেস
সূত্র

আপনি কীভাবে জানবেন যে হিলবার্টের বৈশিষ্ট্যটি সীমাবদ্ধ? এটি কি বিচ্ছেদযোগ্যও হতে পারে?

— Andrei Kh

আপনার প্রথম অনুচ্ছেদ অনুযায়ী আমরা কেবল জানি

k

$k$

⟹

$\implies$

k_{p}

$k_p$

3

নিম্নলিখিত প্রমাণ সম্পর্কে কীভাবে:

উত্স: ইউচিকাগো কার্নেল পদ্ধতিগুলির বক্তৃতা , পৃষ্ঠা 5

— PALEN
সূত্র

0

$K1$ $K2$ $k_1(x,y)$ $k_2(x,y)$ $k(x,y) = k_1(x,y)k_2(x,y)$ $K = K1 \circ K2$

$K_3 = K1 \otimes K2$
$K$ $K_3$

— সিয়াও জাং
সূত্র