বহুমাত্রিক পয়েন্টগুলির মধ্যে বৈচিত্র কীভাবে সন্ধান করবেন?

Question

ধরুন আমার কাছে একটি ম্যাট্রিক্স এক্স রয়েছে যা পি বাই এন, অর্থাৎ এটিতে এন পর্যবেক্ষণ রয়েছে, পি-ডাইমেনশনাল স্পেসে প্রতিটি পর্যবেক্ষণ রয়েছে।

আমি কীভাবে এই এন পর্যবেক্ষণের বৈকল্পিকতা খুঁজে পাব?

পি = 1 এর ক্ষেত্রে আমার নিয়মিত বৈকল্পিক সূত্রটি ব্যবহার করা দরকার। P> 1 এর ক্ষেত্রে কী হবে।

Answer 1

$p$$X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

$$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$$

অর্থাৎ, একটি এলোমেলো ভেক্টরের বৈচিত্রটি ম্যাট্রিক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা মূল তির্যক এবং সমস্ত উপাদানগুলির মধ্যে অন্যান্য উপাদানগুলির মধ্যে কোভেরিয়েন্সগুলির সমস্ত রূপগুলি সংরক্ষণ করে। নমুনা কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স তখন জনসংখ্যার ভেরিয়েবলের জন্য নমুনা এনালগগুলিতে প্লাগ করে গণনা করা হবে:$p \times p$

$$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$$ যেখানে feature বৈশিষ্ট্য এবং the এর নমুনা গড়ের জন্য ম পর্যবেক্ষণকে বোঝায়${X_{ij}}$$i$$j$${{\bar X}_{ \cdot j}}$$j$তম বৈশিষ্ট্য। মোট কথা, একটি এলোমেলো ভেক্টরের বৈকল্পিকটিকে পৃথক রূপ এবং সমবায়িকাগুলি সহ ম্যাট্রিক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অতএব পৃথকভাবে সমস্ত ভেক্টর উপাদানগুলির জন্য নমুনার রূপগুলি এবং কোভেরিয়েন্সগুলি গণনা করা যথেষ্ট।