মিশ্র মডেলগুলির জন্য স্বীকৃতি স্বীকৃতি

আমি স্বরলিপি যেমন:

\begin{aligned} Y_{আমি ঞ} & = β_{0} + + β_{আমি} {এক্স}_{আমি ঞ} + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ} + + ই_{আমি ঞ} \\ = β_{0 ঞ} + + β_{আমি} {এক্স}_{আমি ঞ} + + ই_{আমি ঞ} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ যেখানে , এবং

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$

\begin{aligned} Y_{আমি ঞ} & = β_{0} + + β_{1} {এক্স}_{আমি ঞ} + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{0 ঞ} + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{1 ঞ} {এক্স}_{আমি ঞ} + + ই_{আমি ঞ} \\ = β_{0 ঞ} + + β_{1 ঞ} {এক্স}_{আমি ঞ} + + ই_{আমি ঞ} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ যেখানে এবং

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

এলোমেলো ইন্টারসেপ্টস মডেল এবং এলোমেলো slালু + র্যান্ডম ইন্টারসেপ্ট মডেল যথাক্রমে।

আমি এই ম্যাট্রিক্স / ভেক্টর স্বরলিপিটিও জুড়ে এসেছি, যা আমাকে বলা হয়েছে "বড়দের জন্য মিশ্র মডেল নোটেশন" (আমার বড় ভাই অনুসারে):

Y = এক্স β + + জেড খ + + ই

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$ যেখানে fixed স্থির প্রভাব এবং the এলোমেলো প্রভাব effects

β

$\mathbf{\beta}$

b

$\mathbf{b}$

আমি যদি সঠিকভাবে বুঝতে পারি, তবে পরবর্তী চিহ্নটি পূর্বেরগুলির জন্য আরও সাধারণ স্বরলিপি যা পরবর্তীগুলির নির্দিষ্ট সংস্করণ।

আমার দেখতে হবে পূর্বেরটি কীভাবে পরবর্তীকালে থেকে পাওয়া যায়।

mixed-model mathematical-statistics

— জো কিং
সূত্র

আপনি ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি ব্যাখ্যা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছেন? আমি জিজ্ঞাসার কারণটি হ'ল এই প্রশ্নের কোনও গাণিতিক উত্সের দরকার নেই: আপনার সমস্ত সূত্রগুলি ঠিক একই জিনিস বলছে এবং সেগুলি একে অপরের সাথে সম্পর্কিত করা ম্যাট্রিক্স নোটেশন কীভাবে কাজ করে তা বোঝার বিষয়।

— whuber

@ তবে আমি কিছুটা হলেও ম্যাট্রিক্স নোটেশন এবং ম্যাট্রিক্স বীজগণিত বুঝতে পারি। তবে আমি কীভাবে ম্যাট্রিক্স ফর্মটি থেকে শুরু করে অন্যান্য ফর্মগুলিতে পৌঁছতে জানি না। সম্ভবত আমি এক্স এবং জেড ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে কিছু বুঝতে পারি না, তবে আমি কেবল আশা করছিলাম যে কেউ এটি বানান করবে।

— জো কিং

@ প্রশ্নটি উন্নত করার জন্য আমি কী করতে পারি এমন কিছু আছে বা আপনি কি বলছেন যে এটি এতটা প্রাথমিক যে এটির উত্তর প্রাপ্য নয়?

— জো কিং

@ জোকিং: আমি মনে করি যে তিনি বলছেন যে ম্যাট্রিক্স স্বরলিপিটি আপনার অ-ম্যাট্রিক্স স্বরলিপির সমতুল্য সংজ্ঞা অনুসারে is অর্থাৎ যদি আপনি ইতিমধ্যেই আছে

(ixj ম্যাট্রিক্স বার jx1 ম্যাট্রিক্স ix1 ম্যাট্রিক্স ফলনশীল

) যা

। (আপনি গুটানো পারেন

মধ্যে

একটি 1 অন্তর্ভুক্ত করে

।)

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— ওয়েন

@ ওয়াইন উভয় মডেলের এলোমেলো প্রভাব এবং স্থির প্রভাব রয়েছে। প্রথমটির একটি এলোমেলো ইন্টারসেপ্ট রয়েছে, অন্যটিতে একটি র্যান্ডম ইন্টারসেপ্ট এবং একটি এলোমেলো slাল রয়েছে। আমি যদি নিজেকে "এটি বের করতে" পারতাম তবে আমি এখানে প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করব না !!!!

— জো কিং

আমরা এলোমেলো slালু এবং এলোমেলো ইন্টারসেপ্ট সহ একটি মিশ্র মডেল বিবেচনা করি। প্রদত্ত যে আমরা কেবল এক regressor আছে, এই মডেল হিসেবে লেখা যেতে পারে যেখানে উল্লেখ করে - প্রতিক্রিয়ার গ্রুপ এর পর্যবেক্ষণ , এবং এবং

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$ সম্পর্কিত ভবিষ্যদ্বাণীকারী এবং ত্রুটি শব্দ।

এই মডেলটি ম্যাট্রিক্স স্বরলিপিতে নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

যা সমান

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

আসুন জেনে নিই আমরা আছে যাক গোষ্ঠী, অর্থাত দিন মধ্যে পর্যবেক্ষণ সংখ্যা বোঝাতে -th গ্রুপ। প্রতিটি গ্রুপের জন্য বিভক্ত, আমরা উপরের সূত্রটি লিখতে পারি $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} {ওয়াই}_{1} \\ {ওয়াই}_{2} \\ ⋮ \\ {ওয়াই}_{জে} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {এক্স}_{1} & {জেড}_{1} & 0 & 0 & 0 \\ {এক্স}_{2} & 0 & {জেড}_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & ... \\ {এক্স}_{জে} & 0 & 0 & 0 & {জেড}_{জে} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ খ_{1} \\ খ_{2} \\ ⋮ \\ খ_{জে} \end{matrix}] + + [\begin{matrix} ε_{1} \\ ε_{2} \\ ⋮ \\ ε_{জে} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

$\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

এগুলি লিখে, আমাদের আছে:

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

রিগ্রেশন সহগের ভেক্টরগুলি তখন

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

$j$

{ওয়াই}_{ঞ} = {এক্স}_{ঞ} β + + {জেড}_{ঞ} খ_{ঞ} + + ε_{ঞ}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

$i$

Y_{আমি ঞ} = β_{0} + + β_{1} {এক্স}_{আমি ঞ} + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{0 ঞ} + + {তোমার দর্শন লগ করা}_{1 ঞ} {এক্স}_{আমি ঞ} + + ε_{আমি ঞ},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

i

$i$

1

$1$

n_{j}

$n_j$

— ফিলিপ বার্কার্ড
সূত্র

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$