লিনিয়ার মডেলের opালগুলি একটি নির্দিষ্ট মানের সমান হলে কীভাবে পরীক্ষা করবেন?

Question

ধরা যাক, আমাদের কাছে একটি সাধারণ লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেল রয়েছে এবং নাল অনুমানটি general সাধারণ বিকল্পের বিরুদ্ধে পরীক্ষা করতে চান।$Z = aX + bY$$H_0: a=b=\frac{1}{2}$

আমি মনে করি এক অনুমান ব্যবহার করতে পারেন এবং এবং আরও একটি আবেদন -test আস্থা ব্যবধান কাছাকাছি পেতে । এটা কি ঠিক আছে?$\hat{a}$$SE(\hat{a})$$Z$$\frac{1}{2}$

অন্য প্রশ্নটি দৃ .়ভাবে এটির সাথে জড়িত। মনে করুন যে আমাদের কাছে একটি নমুনা এবং আমরা পরিসংখ্যান গণনা করছি$\{(x_1,y_1,z_1),\ldots ,(x_n,y_n,z_n) \}$$\chi^2$

$$\begin{equation} \sum_{i=1}^n \frac{(z_i-\frac{x_i+y_i}{2})^2}{\frac{x_i+y_i}{2}}. \end{equation}$$ these এই পরিসংখ্যানগুলি কি একই নাল অনুমানের পরীক্ষা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে?

Answer 1

লিনিয়ার রিগ্রেশন-তে অনুমান করা হয় যে এবং এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয়। অতএব, মডেল$X$$Y$

$$Z = a X + b Y + \epsilon$$

বীজগণিত হিসাবে একই

$$Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2})X + (b - \frac{1}{2})Y + \epsilon = \alpha X + \beta Y + \epsilon.$$

এখানে, এবং । ত্রুটি শব্দটি প্রভাবিত নয়। যথাক্রমে এবং as হিসাবে গুণফলগুলি অনুমান করে এই মডেলটি ফিট করুন এবং সাধারণ উপায়ে হাইপোথিসিস পরীক্ষা করুন ।$\alpha = a - \frac{1}{2}$$\beta =b - \frac{1}{2}$$\epsilon$$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$$\alpha = \beta = 0$

---

প্রশ্নের শেষে লিখিত পরিসংখ্যান একটির সাথে আনুষ্ঠানিক মিল থাকলেও চি-স্কোয়ার পরিসংখ্যান নয়। একটি চি-স্কোয়্যার স্ট্যাটিস্টিকের মধ্যে ডেটা মান নয়, গণনা জড়িত থাকে এবং অবশ্যই অবশ্যই এর সংখ্যায় কোভারিয়েট নয়, প্রত্যাশিত মান থাকতে হবে। এক বা একাধিক zero শূন্য (বা এটির কাছাকাছি) হওয়া সম্ভব, যা দেখায় যে এই গঠনের সাথে গুরুতর কিছু ভুল। এমনকি যদি তা নিশ্চিত না হয় তবে বিবেচনা করুন যে , এবং পরিমাপের এককগুলি কিছু হতে পারে (যেমন ড্রামস, পার্সেকস এবং পিকস), যাতে মতো লিনিয়ার সংমিশ্রণ অর্থ (সাধারণভাবে) অর্থহীন। এটি কিছুই পরীক্ষা করে না।$\frac{x_i+y_i}{2}$$Z$$X$$Y$$z_i - (x_i+y_i)/2$

Comments

আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ. এটা খুব দরকারী ছিল। আসলে, আমি প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশটি গঠনের ক্ষেত্রে খুব সুনির্দিষ্ট ছিলাম না। কল্পনা করুন যে এক্স এবং ওয়াইসটি একই ইউনিটে পরিমাপ করা ধনাত্মক সংখ্যা। জেডএস (পর্যবেক্ষণের ফলাফল) কোনওভাবে সেই অর্থে "মিথস্ক্রিয়া" পরিমাপ করুন যে কোনও মিথস্ক্রিয়া না থাকলে zs হওয়া উচিত (x + y) / 2 (প্রত্যাশিত ফলাফল)। সুতরাং আমার দৃষ্টিকোণ থেকে নাল হাইপোথিসিস a = b = 1/2 এর সাথে রিগ্রেশন ব্যবহার করা বা পিয়ারসনের চি ^ 2 পরিসংখ্যান ব্যবহার করে ফিটের নেককারের তুলনা করা সমান ছিল। এটা কি কোন চেতনা তৈরী করে? ধন্যবাদ!

— ল্যান

@ ল্যান আমার মনে হয় ওল্ফগ্যাংয়ের উত্তরটি আপনি প্রস্তাব দিচ্ছেন যে পরীক্ষাটি কীভাবে করা যায় তা সুন্দরভাবে চিত্রিত করে। এটি একটি অনুমানকে "সাধারণ উপায়ে" পরীক্ষা করার দ্বারা বোঝানো একটি উদাহরণ।

— হোবার

Answer 2

আপনি একটি সম্পূর্ণ বনাম হ্রাস মডেল পরীক্ষার মাধ্যমে এই অনুমানটি পরীক্ষা করতে পারেন। আপনি এখানে এটি কিভাবে। প্রথমে মডেলটি ফিট করুন এবং সেই মডেলটি থেকে অবশিষ্টাংশগুলি পান। অবশিষ্টাংশগুলি স্কোয়ার করুন এবং তাদের যোগফল দিন। এটি সম্পূর্ণ মডেলের জন্য বর্গ ত্রুটির যোগফল। আসুন এই কল করুন । এরপরে, গণনা করুন যেখানে । এগুলি নাল অনুমানের অধীনে আপনার অবশিষ্টাংশ। তাদের স্কোয়ার এবং তাদের যোগফল। এটি হ্রাস করা মডেলের জন্য বর্গ ত্রুটির যোগফল। আসুন এই কল করুন ।$Z = aX + bY$$SSE_f$$Z - \hat{Z}$$\hat{Z} = 1/2*X + 1/2*Y$$SSE_r$

এখন গণনা:

এফ = ,$((SSE_r - SSE_f)/2) / (SSE_f / (n-2))$

যেখানে নমুনার আকার। অধীনে , এই এফ-পরিসংখ্যানগুলি এবং ডিগ্রি স্বাধীনতার সাথে একটি এফ-বিতরণ অনুসরণ করে ।$n$$H_0$$2$$n-2$

এখানে আর ব্যবহার করে একটি উদাহরণ দেওয়া হল:

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
z <- 1/2*x + 1/2*y + rnorm(n) ### note I am simulating under H0 here

res <- lm(z ~ x + y - 1)
summary(res)
SSE.f <- sum(resid(res)^2)

zhat  <- 1/2*x + 1/2*y
SSE.r <- sum((z-zhat)^2)

F <- ((SSE.r - SSE.f) / 2) / (SSE.f / (n-2))
pf(F, 2, n-2, lower.tail=FALSE) ### this is the p-value

পি-মান .05 এর নীচে থাকলে শূন্যটিকে প্রত্যাখ্যান করুন (যদি আপনার সত্যই হয় .05)।$\alpha$

আমি ধরে নিলাম আপনার মডেলটির কোনও ইন্টারসেপ্ট না রাখার জন্য আপনি আসলেই বোঝাতে চেয়েছিলেন। অন্য কথায়, আমি ধরে নিই যে আপনি এবং নয় , মডেলটির সাথে সত্যিই কাজ ।$Z = aX + bY$$Z = c + aX + bY$