অজানা পক্ষপাত সহ একটি মুদ্রা দেওয়া, একটি দক্ষ মুদ্রা থেকে দক্ষতার সাথে বিভিন্ন উত্পন্ন করুন

অজানা বায়াস সহ একটি মুদ্রা দেওয়া , আমি কীভাবে সম্ভাব্যতার সাথে দক্ষতার সাথে পার্থক্যগুলি তৈরি করতে পারি - যেগুলি সম্ভাব্যতা 0.5 দিয়ে বার্নোল্লি-বিতরণ করা হয়? এটি হ'ল, উত্পাদিত ভেরিয়েট প্রতি ন্যূনতম সংখ্যার ফ্লিপ ব্যবহার করা। $p$

random-generation

— নীল জি
সূত্র

একটি সহজ সমাধানটি মুদ্রাটি দুটি বার ফ্লিপ করা: এটি যদি ম্যাপ হয় তবে এটি যদি ম্যাপ হয় তবে এটি লেজ হয়। অন্যথায়, এই দুটির মধ্যে একটির প্রাপ্ত না হওয়া পর্যন্ত পরীক্ষাটি পুনরাবৃত্তি করুন।

H T

$HT$

T H

$TH$

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল: চমৎকার! উত্তর যুক্ত করবেন না কেন?

— নিল জি

@ গ্লেন_ বি: ঠিক আছে, তবে আপনি উত্পন্ন বৈকল্পিকের জন্য ন্যূনতম সংখ্যার ফ্লিপগুলি দিয়ে এটি করতে পারেন?

— নিল জি

@ মিশেললুগো: আমি বলব এটি অবশ্যই উপর নির্ভর করে । :-) আমরা জানি যে আমরা এটি একটি ফ্লিপ করতে পারি। যদি আমরা জানি আমরা এটি দুটি ক্ষেত্রে করতে পারি এবং, আমরা জানি যে এটি উভয় ক্ষেত্রেই অনুকূল। উত্তরটি এনট্রপি সাথে সম্পর্কিত হওয়া উচিত । যদি আমরা সেই ব্যতীত সম্পর্কে কিছু না জানি তবে আমি সন্দেহ করি যে একটি সাধারণ গেম-তত্ত্বের ফলাফলটি উপযুক্ত উপায়ে "অনুকূল" হিসাবে আমার প্রথম মন্তব্যে স্কিমের কাছাকাছি কিছু অর্জন করবে।

p

$p$

p = 1 / 2

$p = 1/2$

p = 1 / 4

$p = 1/4$

H (p)

$H(p)$

p

$p$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— কার্ডিনাল

হ্যালো, জর্জিও 1927, এবং সাইটে আপনাকে স্বাগতম! দয়া করে এই প্রশ্নের "স্ব-অধ্যয়ন" ট্যাগ যুক্ত করুন, কারণ এটি লোকেরা দেখতে দেয় যে কেবল উত্তর দেওয়ার পরিবর্তে তাদের আপনাকে উত্তরের দিকে পরিচালিত করা উচিত।

— জোবোম্যান

উত্তর:

এটি বেশ কয়েকটি দুর্দান্ত সমাধানের সাথে একটি সুপরিচিত সমস্যা যা এখানে এবং স্ট্যাকওভারফ্লোতে আলোচনা করা হয়েছে (মনে হচ্ছে আমি একাধিক লিঙ্ক পোস্ট করতে পারি না তবে একটি দ্রুত গুগল অনুসন্ধান আপনাকে কিছু আকর্ষণীয় এন্ট্রি দেয়)। উইকিপিডিয়া এন্ট্রি একবার দেখুন

http://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_biased_coin

— কার্লোস ফুয়েন্তেস
সূত্র

দুঃখিত, আমি প্রশ্নটি এমনভাবে সংশোধন করেছি যাতে এটি এত সহজে গুগল-সক্ষম হয় না…

— নিল জি

লোকেরা প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার বিষয়ে চিন্তাভাবনা করে মনে রাখবেন যে এই উত্তরটি আমার সম্পাদিত প্রশ্নের জন্য অনুকূল নয়।

— নীল জি

এটি একটি ক্লাসিক সমস্যা, আমি বিশ্বাস করি মূলত ভন নিউমনকেই দায়ী করা হয়। একটি সমাধান হ'ল জোড়গুলিতে মুদ্রাটি জোড়ায় জোড়ায় না ফেলে যতক্ষণ না জোড়গুলি আলাদা হয় এবং তার পরে জোড়ায় প্রথম মুদ্রার ফলাফল স্থগিত করা হয়।

স্পষ্টভাবে দিন টসে ফলাফল হতে সঙ্গে প্রথম মুদ্রা হচ্ছে, এবং দ্বিতীয় মুদ্রা হচ্ছে। প্রতিটি কয়েনের মাথার সম্ভাবনা । তারপরে প্রতিসামতার কারণে, যা । এক্সপ্লোরের সাথে এই প্রতিসামগ্রী নোটটি দেখুন যে ফলাফলগুলি বা দ্বারা বোঝায় যে দুটিই স্বাধীনতার কারণে সমানভাবে সম্ভবত। $(X_i,Y_i)$ $i$ $X_i$ $Y_i$ $p$ $P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=P(X_i=T|X_i\neq Y_i)$ $P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=1/2$ $X_i\neq Y_i$ $(H,T)$ $(T,H)$

অভিজ্ঞতাগতভাবে, যেমন অসম জুটি না হওয়া পর্যন্ত অপেক্ষা করার সময়

1 / P (X \neq Y) = \frac{1}{1 - p^{2} - (1 - p)^{2}} = \frac{1}{2 p (1 - p)},

$1/P(X\neq Y)=\frac{1}{1-p^2-(1-p)^2}=\frac{1}{2p(1-p)},$

যা বাড়ে 0 বা 1 (যা বোঝায়) এর কাছাকাছি চলে যায়। $p$

— অ্যালেক্স আর।
সূত্র

আমি নিশ্চিত কিভাবে দক্ষতার পদ যোগফল নই, কিন্তু আমরা বন্ধ করতে পারবেন যখনই রোলস মোট সংখ্যা এবং সফলতাগুলি মোট সংখ্যা যেমন যে হয় এমনকি যেহেতু আমরা বিভিন্ন পার্টিশন করতে পারেন যে অর্ডারগুলি আমরা এবং অর্জন করতে পারতাম সমান সম্ভাবনার দুটি গ্রুপে প্রতিটি আলাদা আউটপুট লেবেলের সাথে সম্পর্কিত। আমরা সতর্কতা অবলম্বন করা আবশ্যক যে আমরা ইতিমধ্যে এই উপাদান অর্থাৎ বিনিময়ে থামানো না, কোনো উপাদান দৈর্ঘ্য একটি উপসর্গ রয়েছে প্রয়োজন সঙ্গে সফলতা যেমন যে এমনকি হল। কীভাবে এটিকে প্রত্যাশিত সংখ্যক ফ্লিপগুলিতে পরিণত করবেন আমি নিশ্চিত নই। $n$ $t$ $\binom{n}{t}$ $n$ $t$ $n'$ $t'$ $\binom{n'}{t'}$

বর্ণনা করা:

আমরা TH বা HT এ থামাতে পারি যেহেতু এগুলির সমান সম্ভাবনা রয়েছে। পাস্কেলের ত্রিভুজটি নীচে সরানো, পরের সমান শর্তগুলি চতুর্থ সারিতে রয়েছে: ৪,,, ৪. এর অর্থ হ'ল আমরা যখন দ্বিপক্ষীয় মিল তৈরি করতে পারি তখন থেকে একটি মাথা যদি উঠে আসে তবে আমরা রোলগুলি থামাতে পারি: এইচএইচটিچের সাথে এইচএইচটিটি, এবং প্রযুক্তিগতভাবে এইচটিএইচএইচ যদিও আমরা ইতিমধ্যে তাদের জন্য বন্ধ করে দিতাম। একইভাবে, বিনোম 42 টি টিটিএইচ-এর সাথে মিলে যাওয়া উত্পাদন করে (বাকী, আমরা তাদের কাছে পৌঁছানোর আগেই ইতিমধ্যে থেমে থাকতাম)। $\binom42$

জন্য , ক্রম সব উপসর্গ বন্ধ করেছেন। এটি কিছুটা আকর্ষণীয় হয়ে যায় যেখানে আমরা এফএফএফএফটিটিটিএফএফএফএফটিটিটিএফটির সাথে মেলে। $\binom52$ $\binom83$

জন্য 8 রোলস পর থামানো থাকার আর সুযোগ কোথায় যদি আমরা এর বন্ধ করে রোলস একজন প্রত্যাশিত নম্বর দিয়ে । সমাধানগুলি যেখানে আমরা পৃথক না হওয়া পর্যন্ত ঘূর্ণায়মান জোড় রাখি, সেখানে বন্ধ না হওয়ার সম্ভাবনা we যদি আমরা ৪ টি বন্ধ করে দিয়ে থাকি তবে একটি প্রত্যাশিত সংখ্যক রোল থাকে rec পুনরাবৃত্তি দ্বারা, প্রত্যাশিত উল্টাতে উপরের একটি আবদ্ধ উপস্থাপন অ্যালগরিদম জন্য । $p=\frac12$ $\frac1{128}$ $\frac{53}{16}$ $\frac{1}{16}$ $\frac{128}{127} \cdot \frac{53}{16} = \frac{424}{127} < 4$

থামার বিষয়গুলি মুদ্রণের জন্য আমি পাইথন প্রোগ্রাম লিখেছিলাম:

import scipy.misc
from collections import defaultdict


bins = defaultdict(list)


def go(depth, seq=[], k=0):
    n = len(seq)
    if scipy.misc.comb(n, k, True) % 2 == 0:
        bins[(n,k)].append("".join("T" if x else "F"
                                   for x in seq))
        return
    if n < depth:
        for i in range(2):
            seq.append(i)
            go(depth, seq, k+i)
            seq.pop()

go(8)

for key, value in sorted(bins.items()):
    for i, v in enumerate(value):
        print(v, "->", "F" if i < len(value) // 2 else "T")
    print()

কপি করে প্রিন্ট:

FT -> F
TF -> T

FFFT -> F
FFTF -> T

FFTT -> F
TTFF -> T

TTFT -> F
TTTF -> T

FFFFFT -> F
FFFFTF -> T

TTTTFT -> F
TTTTTF -> T

FFFFFFFT -> F
FFFFFFTF -> T

FFFFFFTT -> F
FFFFTTFF -> T

FFFFTTFT -> F
FFFFTTTF -> T

FFFFTTTT -> F
TTTTFFFF -> T

TTTTFFFT -> F
TTTTFFTF -> T

TTTTFFTT -> F
TTTTTTFF -> T

TTTTTTFT -> F
TTTTTTTF -> T

— নীল জি
সূত্র

যখন অজানা, কোনও সমাধানে এবং মান সীমাবদ্ধ করার জন্য কাজ । এটি পরিষ্কার করে তুলতে হবে যে @ কার্ডিনালের সমাধানটি সর্বোত্তম। ফ্লিপ প্রত্যাশিত নম্বর (অজানা দেওয়া অবশ্যই,) হল।

p

$p$

p \to 0

$p\to 0$

p \to 1

$p\to 1$

p

$p$

2 / ((p (1 - p))

$2/((p(1-p))$

— whuber

@ শুভ: কেন এটি সর্বোত্তম হওয়া উচিত তা আমি দেখছি না। আমার সমাধান তার মতো সমস্ত ক্ষেত্রেই থেমে আছে। যাইহোক, উদাহরণস্বরূপ তিনি তৃতীয়ের পরে রোল করতে থাকবে, যেখানে থামানো সম্ভব।

— নিল জি

আপনার সমাধান কি? আমি এখানে বর্ণিত একটি দেখতে পাচ্ছি না। আমি মনে করি আমাদের কাছে @ কার্ডিনাল এর সমাধান সম্পর্কে বিভিন্ন ধারণা থাকতে পারে। আমি এর অর্থ বুঝতে পেরেছি "যখনই মাথার সংখ্যাটি লেজের সংখ্যার সমান হয় এবং মেনু করে যে ক্রমটির প্রথম ফলাফলের মান হয়।"

— whuber

@ হুবার: আপনি এর অর্থ: "একটি সহজ সমাধানটি মুদ্রাটি দুটি বার ফ্লিপ করা: এটি যদি এইচটি মানচিত্রে হয় তবে এটি যদি এইচ ম্যাপটি লেজগুলিতে থাকে to অন্যথায়, এই দুটির মধ্যে একটির প্রাপ্ত না হওয়া পর্যন্ত পরীক্ষাটি পুনরাবৃত্তি করুন" " এটি এইচএইচটিটির জন্য থামবে না। এটি এমনকি একটি সূচকগুলিতে জুটি এইচটি বা টিএইচ এর জন্য অপেক্ষা করে।

— নিল জি

আমার সমাধানটি হল সম্যক উপসর্গগুলির দ্বি দ্বিপক্ষীয় মিল খুঁজে পাওয়া (যার মধ্যে কোনওটিই অন্যরকমের উপসর্গ নয়) এবং প্রতিটি অর্ধেকটি মাথা বা লেজের সাথে যুক্ত করে।

— নিল জি