দুটি স্বতন্ত্র গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

13

গামা বিতরণ সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া নিবন্ধ অনুসারে :

যদি এবং , যেখানে এবং স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবল, তবে । $X\sim\mathrm{Gamma}(a,\theta)$ $Y\sim\mathrm{Gamma}(b,\theta)$ $X$ $Y$ $X+Y\sim \mathrm{Gamma}(a+b, \theta)$

তবে আমি কোনও প্রমাণ দেখছি না। দয়া করে কেউ কি আমাকে তার প্রমাণের দিকে নির্দেশ করতে পারে?

সম্পাদনা: জেনকে অনেক ধন্যবাদ, এবং আমি উদাহরণ হিসাবে চরিত্রগত ফাংশন সম্পর্কে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় উত্তরটি পেয়েছি ।

probability pdf gamma-distribution

— Dexter12
সূত্র

3

স্বজ্ঞা: গামা ডিস্ট্রিবিউশন সমষ্টির যেমন উঠা , স্বাধীন সূচকীয় ডিস্ট্রিবিউশন কোথা থেকে এল তা এই প্রেক্ষাপটে অবিলম্বে যে একটি গামা থাকবে বন্টন প্রদান এবং উভয় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

(n)

$(n)$

n

$n$

X + Y

$X+Y$

(a + b, θ)

$(a+b,\theta)$

a

$a$

b

$b$

— শুক্র

15

প্রমাণটি নিম্নরূপ: (1) মনে রাখবেন যে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফলের বৈশিষ্ট্যগত কার্যটি তাদের স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলির পণ্য; (2) গামা দৈব চলক চারিত্রিক ফাংশন পান এখানে ; (৩) সরল বীজগণিত করুন।

এই বীজগণিত যুক্তি ছাড়িয়ে কিছু স্বজ্ঞাততা পেতে, whuber এর মন্তব্য পরীক্ষা করুন।

দ্রষ্টব্য: ওপি জিজ্ঞাসা করেছিল যে কীভাবে গামা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি গণনা করা যায়। যদি , তবে (আপনি এই ক্ষেত্রে একটি সাধারণ ধ্রুবক হিসাবে বিবেচনা করতে পারেন ) $X\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$ $i$

ψ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{0}^{\infty} e^{i t x} λ e^{- λ x} d x = \frac{1}{1 - i t / λ} .

$\psi_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\int_0^\infty e^{itx} \lambda\,e^{-\lambda x}\,dx = \frac{1}{1-it/\lambda}\, .$

এখন হুবারের টিপটি ব্যবহার করুন: যদি , তবে , যেখানে স্বতন্ত্র । অতএব, সম্পত্তি (1) ব্যবহার করে, আমাদের $Y\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ $Y=X_1+\dots+X_k$ $X_i$ $\mathrm{Exp}(\lambda = 1/\theta)$

ψ_{Y} (t) = {(\frac{1}{1 - i t θ})}^{k} .

$\psi_Y(t) = \left( \frac{1}{1-it\theta}\right)^k \, .$

টিপ: আপনি ফলাফল এবং প্রমাণগুলির দিকে চেয়ে এই জিনিসগুলি শিখবেন না: ক্ষুধার্ত থাকুন, সমস্ত কিছু গণনা করুন, নিজের প্রমাণগুলি সন্ধান করার চেষ্টা করুন। এমনকি যদি আপনি ব্যর্থ হন তবে অন্য কারও জবাব সম্পর্কে আপনার উপলব্ধি আরও অনেক উচ্চ স্তরে থাকবে। এবং, হ্যাঁ, ব্যর্থতা ঠিক আছে: কেউ খুঁজছেন না! গণিত শেখার একমাত্র উপায় হ'ল প্রতিটি ধারণা এবং ফলাফলের জন্য মুষ্টিযুদ্ধ।

— জেন
সূত্র

রেফারেন্সড স্টেটমেন্টটি স্পষ্টভাবে "সমস্ত শাদী স্বতন্ত্র থাকে তবে সরবরাহ করে" states

— শুক্র

একটি জিনিস যদিও আমি পাই না, আমরা কীভাবে চরিত্রগত কার্যগুলিতে পৌঁছলাম?

— ডেক্সটার 12

আমি এটি উত্তরে যুক্ত করব। এটা দেখ.

— জেন

সম্ভবত আপনি একটি চারিত্রিক ফাংশন জন্য একটি রেফারেন্স অন্তর্ভুক্ত করতে পারে জন্য অ পূর্ণসংখ্যা মান ?

Γ (a, θ)

$\Gamma(a,\theta)$

a

$a$

— দিলীপ সরোতে

14

এখানে এমন একটি উত্তর দেওয়া আছে যা চরিত্রগত ফাংশনগুলি ব্যবহার করার দরকার নেই, তবে পরিবর্তে এমন কিছু ধারণাগুলিকে শক্তিশালী করে যার পরিসংখ্যানগুলির অন্যান্য ব্যবহার রয়েছে। স্বতন্ত্র এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির যোগফলের ঘনত্ব হ'ল ঘনত্বগুলির সংমিশ্রণ। সুতরাং, প্রকাশের স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য নিলে, আমাদের , $\theta = 1$ $z > 0$

\begin{aligned} f_{X + Y} (z) & = \int_{0}^{z} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x \\ = \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} e^{- x}}{Γ (a)} \frac{(z - x)^{b - 1} e^{- (z - x)}}{Γ (b)} d x \\ = e^{- z} \int_{0}^{z} \frac{x^{a - 1} (z - x)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d x & now substitute x = z t and think \\ = e^{- z} z^{a + b - 1} \int_{0}^{1} \frac{t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1}}{Γ (a) Γ (b)} d t & of Beta (a, b) random variables \\ = \frac{e^{- z} z^{a + b - 1}}{Γ (a + b)} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X+Y}(z) &= \int_0^z f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx\\ &=\int_0^z \frac{x^{a-1}e^{-x}}{\Gamma(a)}\frac{(z-x)^{b-1}e^{-(z-x)}}{\Gamma(b)}\,\mathrm dx\\ &= e^{-z}\int_0^z \frac{x^{a-1}(z-x)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dx &\scriptstyle{\text{now substitute}}~ x = zt~ \text{and think}\\ &= e^{-z}z^{a+b-1}\int_0^1 \frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\,\mathrm dt & \scriptstyle{\text{of Beta}}(a,b)~\text{random variables}\\ &= \frac{e^{-z}z^{a+b-1}}{\Gamma(a+b)} \end{align}$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

3

(+1) সবকিছু প্রমাণ করার একাধিক উপায় থাকা আদর্শ ideal রূপান্তরকরণ বিবেচনা করে কেউ উত্তর পোস্ট করবে ।

(X, Y) \mapsto (U, V) = (X + Y, X)

$(X,Y)\mapsto(U,V)=(X+Y,X)$

— জেন

আমরা কি একইভাবে বন্ধ ফর্ম এক্সপ্রেশনে ঘনত্বটি খুঁজে পেতে পারি ? আমি সেই ক্ষেত্রে ইন্টিগ্রালগুলি সহজ করতে অক্ষম।

X - Y

$X-Y$

— পিকছুচামিলিয়ন

আমার কাছে এই উত্তরটি দেখুন

— দিলীপ সরোতে

3

আরো অনুসন্ধানমূলক পর্যায়ে: যদি এবং পূর্ণসংখ্যা, গামা বন্টন একটি Erlang বন্টন, এবং তাই এবং যথাক্রমে জন্য অপেক্ষা গুণ বর্ণনা এবং হার ছিল একটি পইসন প্রক্রিয়ায় ঘটনার । দুই অপেক্ষার সময় এবং হয় $a$ $b$ $X$ $Y$ $a$ $b$ $\theta$ $X$ $Y$

স্বাধীন
ঘটনার জন্য অপেক্ষার সময় পর্যন্ত যোগফল $a+b$

এবং সংঘটনগুলির জন্য অপেক্ষার সময়টি গামা ( ) বিতরণ করা হয় । $a+b$ $a+b,\theta$

এর কোনওটিই গাণিতিক প্রমাণ নয়, তবে এটি সংযোগের হাড়গুলিতে কিছুটা মাংস রাখে এবং আপনি যদি গাণিতিক প্রমাণের সাথে এটির মাংস দিতে চান তবে ব্যবহার করা যেতে পারে।

— সুইভেন ওলাভ নাইবার্গ
সূত্র