দুটি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের সম্মিলন

আমি সমান্তরালভাবে একটি বিতরণের covariance গণনা করছি এবং আমি একক গৌসিয়ান মধ্যে বিতরণ ফলাফল একত্রিত করা প্রয়োজন। আমি কীভাবে দুজনকে একত্রিত করব?

প্রায় একইভাবে বিতরণ ও আকারের হয়ে গেলে দু'জনের মধ্যে রৈখিকভাবে ইন্টারপোলটিং হয়।

উইকিপিডিয়া সংমিশ্রনের জন্য নীচে একটি ফোরামেলা সরবরাহ করে তবে এটি ঠিক মনে হয় না; দুটি সমানভাবে বিতরণ করা বিতরণগুলির একই সমবায় হওয়া উচিত, তবে পৃষ্ঠার নীচে সূত্রটি সমবায় দ্বিগুণ।

দুটি ম্যাট্রিক একত্রিত করার উপায় আছে?

covariance moments

— ম্যাট কেম্প
সূত্র

উইকিপিডিয়া সূত্রটি আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয়, ম্যাট: আপনি খেয়াল করবেন না যে এটি একটি আংশিক সূত্র যেখানে পরে আপনাকে নমুনার আকার দিয়ে ভাগ করতে হবে।

— whuber

আপনার সাহায্যে আমি এখনই এটি সন্ধান করেছি - আপনি যদি এটি কোনও উত্তর দিয়ে রাখেন তবে আমি উত্তর হিসাবে চিহ্নিত করব।

— ম্যাট কেম্প

এই প্রশ্নটি বিভিন্ন অনুমানে প্রচুর আসে। যা তাদের কাছে সাধারণ তা

আমি কীভাবে মুহুর্ত-ভিত্তিক পরিসংখ্যানগুলিকে একত্রিত করতে পারি যা আমার ডেটার বিচ্ছিন্ন সাবসেটগুলি থেকে গণনা করা হয়েছে?

সবচেয়ে সহজ অ্যাপ্লিকেশনটি ডেটা উদ্বেগ করে যা দুটি গ্রুপে বিভক্ত হয়েছে। আপনি গ্রুপ আকার এবং গ্রুপ মানে জানেন। এই চারটি পরিমাণের একার দিক থেকে, ডেটার সামগ্রিক অর্থ কী?

অন্যান্য অ্যাপ্লিকেশনগুলি বৈকল্পিক, মানক বিচ্যুতি, কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স, স্ককি এবং মাল্টিভারিয়েট পরিসংখ্যানগুলি থেকে সাধারণকরণ করে; এবং ডেটা একাধিক সাবগ্রুপ জড়িত থাকতে পারে। লক্ষ্য করুন যে এই পরিমাণগুলির মধ্যে অনেকগুলি মুহুর্তগুলির কিছুটা জটিল সংমিশ্রণ: উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিটি প্রথম এবং দ্বিতীয় মুহুর্তের গড় এবং গড় বর্গক্ষেত্রের চতুষ্কোণ সংমিশ্রণের বর্গমূল হয়।

এই জাতীয় সমস্ত কেসগুলি বিভিন্ন মুহুর্তগুলিকে যোগফলগুলিতে হ্রাস করে সহজেই পরিচালনা করা হয় , কারণ অঙ্কগুলি স্পষ্টত এবং সহজেই একত্রিত হয়: সেগুলি যুক্ত করা হয়। গাণিতিকভাবে এটি নীচে নেমে আসে: আপনার কাছে ব্যাচ রয়েছে : ) আকারের গ্রুপে বিভক্ত $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $j_1, j_2, \ldots, j_g$ । আসুন ম গ্রুপটি $(x_1, x_2, \ldots, x_{j_1}; x_{j_1+1}, \ldots, x_{j_1+j_2}; x_{j_1+j_2+1}, \ldots; \ldots; \ldots, x_n)$ $i$ । সংজ্ঞা দ্বারা, মমুহূর্ততথ্য কোনো ব্যাচের এর গড় ম ক্ষমতা, $X_{(i)} = (x_{j_i+1},x_{j_i+2}, \ldots, x_{j_{i+1}})$ $k$ $y_1, \ldots, y_j$ $k$

μ_{k} (y) = (y_{1}^{k} + y_{2}^{k} + \dots + y_{j}^{k}) / j .

$\mu_k(y) = \left(y_1^k + y_2^k + \cdots + y_j^k\right)/j.$

স্পষ্টতই হল ম শক্তিগুলির যোগফল । অতএব, সাব-গ্রুপগুলিতে আমাদের পূর্বের পচনগুলিকে উল্লেখ করে আমরা পাওয়ারের যোগফলকে যোগফলের গ্রুপগুলিতে বিভক্ত করতে পারি, প্রাপ্ত করতে পারি $j \mu_k(y)$ $k$ $g$ $n$

\begin{aligned} এন μ_{ট} (এক্স) & = ({এক্স}_{1}^{ট} + + {এক্স}_{2}^{ট} + + \dots + + {এক্স}_{এন}^{ট}) \\ = ({এক্স}_{1}^{ট} + + {এক্স}_{2}^{ট} + + \dots + + {এক্স}_{ঞ_{1}}^{ট}) + + \dots + + ({এক্স}_{ঞ_{1} + + \dots + + ঞ_{ছ - 1} + + 1}^{ট} + + {এক্স}_{ঞ_{1} + + \dots + + ঞ_{ছ - 1} + + 2}^{ট} + + \dots + + {এক্স}_{এন}^{ট}) \\ = ঞ_{1} μ_{ট} ({এক্স}_{(1)}) + + ঞ_{2} μ_{ট} ({এক্স}_{(2)}) + + \dots + + ঞ_{ছ} μ_{ট} ({এক্স}_{(ছ)}) । \end{aligned}

$\eqalign{ n \mu_k(X) &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_n^k\right) \\ &= \left(x_1^k + x_2^k + \cdots + x_{j_1}^k\right) + \cdots + \left(x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+1}^k + x_{j_1+\cdots+j_{g-1}+2}^k + \cdots + x_n^k\right)\\ &= j_1 \mu_k(X_{(1)}) + j_2 \mu_k(X_{(2)}) + \cdots + j_g \mu_k(X_{(g)}). }$

দ্বারা ভাগ প্রদর্শণ পদ সমগ্র ব্যাচের তম মুহূর্ত $n$ $k$ $k$ ম তার উপগোষ্ঠী মুহূর্তের।

বর্তমান অ্যাপ্লিকেশনটিতে, কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের এন্ট্রিগুলি অবশ্যই অবশ্যই সমবায়িকাগুলি, যা বহু মুহূর্তের প্রথম মুহূর্ত এবং প্রথম মুহুর্তের ক্ষেত্রে প্রকাশযোগ্য। গণনার মূল অংশটি এখানে নেমে আসে: প্রতিটি পদক্ষেপে আপনি আপনার মাল্টিভারিয়েট ডেটার দুটি নির্দিষ্ট উপাদানগুলিতে মনোনিবেশ করবেন; আসুন তাদের এবং । আপনি যে নম্বরগুলি দেখছেন সেগুলি ফর্মটিতে রয়েছে $x$ $y$

(({এক্স}_{1}, Y_{1}), ({এক্স}_{2}, Y_{2}), ..., ({এক্স}_{এন}, Y_{এন})),

$((x_1,y_1), (x_2,y_2), \ldots, (x_n,y_n)),$

গ্রুপে বিভক্ত হিসাবে আগের মত । প্রতিটি গোষ্ঠীর জন্য আপনি এর পণ্যের গড় যোগফল জানেন : এটি হ'ল মাল্টিভারিয়েট মুহুর্ত, । এই গোষ্ঠী মানগুলি একত্রিত করতে, আপনি তাদেরকে গ্রুপের আকার দ্বারা গুণিত করবেন, ফলাফলগুলি যোগ করবেন এবং মোটটি দ্বারা ভাগ করবেন $g$ $x_iy_i$ $(1,1)$ $\mu_{(1,1)}$ $n$ ।

এই পদ্ধতির প্রয়োগের জন্য আপনাকে আগে চিন্তা করতে হবে : আপনি যদি কেবল সমবায়ীয় এবং উপগোষ্ঠী আকারগুলি জানেন তবে সমবায়িকাগুলি একত্রিত করা সম্ভব নয় : আপনাকে উপগোষ্ঠীর মাধ্যমগুলিও জানতে হবে (কারণ উপায়গুলি একটি প্রয়োজনীয় পদ্ধতিতে জড়িত রয়েছে সমস্ত ovক্যবদ্ধ সূত্রগুলিতে) বা বীজগণিতিকরূপে ক্ষুদ্রতর ible সূত্রগুলিতে প্রদর্শিত যে কোনও ধ্রুবক সম্পর্কে আপনার কিছু যত্ন নিতে হবে; অজ্ঞানীদের প্রধান ফাঁদটি হ'ল "জনসংখ্যার সমবায়" (যেখানে বিভাগটি দ্বারা থাকে ) দিয়ে একটি "নমুনা কোভেরিয়েন্স" (যার সাথে দ্বারা বিভক্ত পণ্যগুলির যোগফল জড়িত) বিভ্রান্ত করা । এটি নতুন কিছু প্রবর্তন করে না; আপনাকে কেবলমাত্র নমুনা কোভারিয়েন্সকে গুণতে হবে $n-1$ $n$ $n-1$ (বা দ্বারা গোষ্ঠীগত সমবায় ) (বা ) এর চেয়ে যোগফলটি পুনরুদ্ধার করতে । $j_i-1$ $n$ $j_i$

ওহ, হ্যাঁ: বর্তমান প্রশ্ন সম্পর্কে। উইকিপিডিয়া নিবন্ধে প্রদত্ত সূত্রটি গ্রুপের অর্থ (প্রথম মুহূর্ত) এবং গ্রুপের পরিমাণের পণ্যগুলির ক্ষেত্রে দেওয়া হয়েছে। আমি উপরে বর্ণিত হিসাবে, এগুলি সংযোজন করে এবং তারপরে কোভেরিয়েন্সগুলি পাওয়ার জন্য বিভাগের সাথে ফলাফলগুলি সামঞ্জস্য করে মিলিত হবে । দ্বারা চূড়ান্ত বিভাগ দেখানো হয় না। $n$

— whuber
সূত্র

আমি কে-তম মুহুর্তের সংজ্ঞা সম্পর্কে কিছুটা বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি। আপনি কি শূন্য মানে ডেটা ধরে নিচ্ছেন?

— রেসচু

k^{th}

$k^\text{th}$

খারাপ হতে পারে! আমি 'কেন্দ্রীয়' এবং 'কাঁচা' মুহুর্তগুলিতে মিশ্রণ করছিলাম। বিবৃতির জন্য ধন্যবাদ!

— পুনরায়

আমি মনে করি পেনাল্টিমেট অনুচ্ছেদে "সাবগ্রুপ আকারের মাধ্যমগুলি জানতে" পরিবর্তে "উপগোষ্ঠীর মাধ্যমগুলি জানতে" পড়া উচিত? (আমি উত্তরটি খুব যত্ন সহকারে অধ্যয়ন করতে বিরক্ত না করায় আমি নিজেই এটি সম্পাদনা করতে দ্বিধা বোধ করি)

— জুহো কোককালা

@ জুহো আপনি অনেকটা সঠিক যে লক্ষ্য করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ!

— whuber