একাধিক র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পণ্যটির বৈচিত্র

আমরা দুটি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের জন্য উত্তর জানি:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

তবে, যদি আমরা বেশি ভেরিয়েবল, এর পণ্য গ্রহণ করি তবে প্রতিটি ভেরিয়েবলের বৈকল্পিক এবং প্রত্যাশিত মানগুলির ক্ষেত্রে উত্তরটি কী হবে? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— damla
সূত্র

যেহেতু একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এবং (ধরে নেওয়া সমস্ত স্বতন্ত্র) এটি স্বতন্ত্র , উত্তরটি inductively প্রাপ্ত হয়: নতুন কিছুর প্রয়োজন নেই। পাছে এটি খুব রহস্যজনক বলে মনে হচ্ছে না, কৌশলটি এটি নির্দেশ করার চেয়ে আলাদা নয় যেহেতু আপনি একটি ক্যালকুলেটর দিয়ে দুটি সংখ্যা যুক্ত করতে পারেন, আপনি বারবার সংযোজন করে একই ক্যালকুলেটরের সাথে সংখ্যা যুক্ত করতে পারেন ।

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

আপনি কি আপনার প্রদর্শিত সমীকরণের প্রমাণ লিখতে পারেন ? আমি খুঁজে বের করতে হবে তা ঘটেছে জানতে আগ্রহী নই শব্দ যা করা উচিত আপনি কিছু জড়িত পদ দিতে ।

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— দিলিপ সরোতে

@ দিলিপ সরওয়াতে, আমি সন্দেহ করি এই প্রশ্নটি এবং স্বতন্ত্রভাবে স্বতন্ত্রভাবে ধরে নিয়েছে । উভয়ই অসম্পর্কিত এবং উভয়ই অসম্পর্কিত থাকাকালীন ওপি'র সূত্রটি সঠিক । সম্পর্কিত সম্পর্কিত আমার উত্তরটি এখানে দেখুন ।

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— ম্যাক্রো

@ ম্যাক্রো আপনি যে পয়েন্টগুলি উত্থাপন করেছেন সে সম্পর্কে আমি ভালভাবে অবগত। কি আমি বুঝি এবং / অথবা নিজের জন্য চিন্তা করার ওপি পেতে চেষ্টা ছিল / নিজেকে ছিল যে জন্য স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যেমনটা থেকে সরলীকৃত থেকে সরল যা আমি মনে করি whuber ইঙ্গিত করে যে inductive পদ্ধতি চেয়ে শেষ ফলাফল পাওয়ার একটি আরও সরাসরি উপায়।

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$

— দিলীপ সরোতে

@ দিলিপ সরওয়াতে, দুর্দান্ত আমি আপনাকে পরামর্শ দিয়েছি যে এটি পোস্ট হিসাবে উত্তর হিসাবে আমি এটি upvote করতে পারেন!

— ম্যাক্রো

আমি যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল অনুমান করা হবে হয় স্বাধীন , যা শর্ত ওপি হয়েছে না সমস্যা বিবৃতি অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। এই অনুমানের সাথে, আমাদের কাছে রয়েছে যে যদি উপরের প্রথম পণ্যটির শব্দটি গুণিত হয় তবে একটি প্রসারণের শর্তাবলী উপরের দ্বিতীয় পণ্যটির মেয়াদ বাতিল করে Thus সুতরাং, মামলার জন্য $X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$ , আমাদের ফলাফলটি ওপি দ্বারা বর্ণিত আছে। যেমন @ ম্যাক্রো উল্লেখ করেছে, , আমাদের ধরে নিতে হবে না যে এবং স্বতন্ত্র: দুর্বল শর্ত যে এবং এবং এবং পাশাপাশি পর্যাপ্ত রয়েছে। তবে জন্য পারস্পরিক সম্পর্কের অভাব যথেষ্ট নয়। স্বাধীনতা যথেষ্ট, কিন্তু প্রয়োজন হয় না। যা প্রয়োজন তা হ'ল উপরের পণ্যগুলির প্রত্যাশার পণ্যগুলিতে প্রত্যাশার ফ্যাক্টরিং, যা স্বাধীনতা গ্যারান্টি দেয়।

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

অনেক ধন্যবাদ! আমি সত্যিই এটার প্রশংসা করছি. হ্যাঁ, প্রশ্নটি ছিল স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য।

— দামলা

নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের জন্যও কি একই কাজ করা সম্ভব? আমি হলে ভেরিয়েন্সের কী হবে তা চেষ্টা করছি ? এক্স এর বৈকল্পিকতা এবং প্রত্যাশিত মানের ক্ষেত্রে আমরা একটি বৈকল্পিক সূত্রটি পেতে পারি?

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

— দামলা

আমি প্রশ্নটি একটি নতুন পৃষ্ঠায় পোস্ট করেছি। অনেক ধন্যবাদ! stats.stackexchange.com/questions/53380/…

— দামলা

দিলীপ, একটি অবাধ করার জন্য একটি সাধারণীকরণ ছাড়া কিছুই না

n

$n$

3

$3$