দ্বিমুখী আনোভাতে আন্তঃসংযোগের জন্য নল অনুমানের ধারণাটি কী?

20

ধরা যাক আমাদের দুটি উপাদান (A এবং B) রয়েছে যার প্রতিটি দুটি স্তরের (A1, A2 এবং B1, B2) এবং একটি প্রতিক্রিয়া পরিবর্তনশীল (y)।

এই ধরণের দ্বিপথ আনোভা সম্পাদন করার সময়:

y~A+B+A*B

আমরা তিনটি নাল অনুমান পরীক্ষা করছি:

এ ফ্যাক্টর এর মাধ্যমের কোনও পার্থক্য নেই
বি ফ্যাক্টরের মাধ্যমের কোনও পার্থক্য নেই
A এবং B ফ্যাক্টরের মধ্যে কোনও মিথস্ক্রিয়া নেই

যখন লিখিত হয়, প্রথম দুটি অনুমান সহজেই তৈরি করা যায় (1 এর জন্য এটি $H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$ )

তবে অনুমান 3 কীভাবে তৈরি করা উচিত?

সম্পাদনা : এবং কীভাবে এটি আরও দুটি স্তরের ক্ষেত্রে তৈরি করা হবে?

ধন্যবাদ।

hypothesis-testing anova

— তাল গালিলি
সূত্র

3

আমাকে সম্পাদনা করার অনুমতি দেওয়ার মতো খ্যাতি আমার নেই, তবে আমি মনে করি আপনি

(বা আপনি যদি ডাবল সাবস্ক্রিপ্ট চান তবে

) চান [উফ! : বা ]

H_{0} = μ_{A 1} = μ_{A 2}

$H_0 = \mu_{A1}=\mu_{A2}$

μ_{A_{1}}

$\mu_{A_1}$ H_0 = \mu_{A1}=\mu_{A2}\mu_{A_1}

— বেন বলকার 15

1

ওফস, আপনি দেখতে পেলেন না যে আপনি ফ্যাক্টর নাম এবং তাদের স্তরগুলি বোঝাতে বড় বড় অক্ষর ব্যবহার করছেন - এটি ঠিক করুন ( @ বর্ণনাকে অনুসরণ করে)

— chl

18

আমি মনে করি অনুমান এবং এর সাথে সম্পর্কিত পরীক্ষাটি পরিষ্কারভাবে আলাদা করা জরুরী। নিম্নলিখিতগুলির জন্য, আমি একটি ভারসাম্যযুক্ত, সিআরএফ- ডিজাইনের (সমান কোষের মাপসই , কার্কের স্বীকৃতি : সম্পূর্ণরূপে এলোমেলোনা কারখানা নকশা) ধরে নিচ্ছি । $pq$

হ'লফ্যাক্টর এরচিকিত্সা এবং , এবং দিয়েফ্যাক্টর এরচিকিত্সা পর্যবেক্ষণ । মডেলটি হ'ল $Y_{ijk}$ $i$ $j$ $A$ $k$ $B$ $1 \leq i \leq n$ $1 \leq j \leq p$ $1 \leq k \leq q$ $Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

নকশা: $\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

কক্ষে প্রত্যাশিত মান , ব্যক্তি পরিমাপের সঙ্গে যুক্ত ত্রুটি যে কক্ষে। স্বরলিপি ইঙ্গিত করে যে সূচকগুলি কোনো ব্যক্তির জন্য ঠিক করা হয়েছে কারণ যে ব্যক্তি শুধুমাত্র এক অবস্থায় পালন করা হয়। প্রভাবগুলির জন্য কয়েকটি সংজ্ঞা: $\mu_{jk}$ $jk$ $\epsilon_{i(jk)}$ $i$ $()$ $jk$ $i$

(ফ্যাক্টরএরচিকিত্সার জন্য গড় প্রত্যাশিত মান) $\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ $j$ $A$

(ফ্যাক্টরএরচিকিত্সারজন্য গড় প্রত্যাশিত মান) $\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ $k$ $B$

(ফ্যাক্টর এর চিকিত্সা এরপ্রভাব, ) $\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ $j$ $A$ $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

(ফ্যাক্টর এর চিকিত্সা এরপ্রভাব, ) $\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ $k$ $B$ $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

(চিকিত্সার সংযুক্তির জন্য মিথষ্ক্রিয়া প্রভাব ফ্যাক্টর এর চিকিত্সার সঙ্গে ফ্যাক্টর এর , $(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
$j$ $A$ $k$ $B$ $\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

$\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
(conditional main effect for treatment $j$ of factor $A$ within fixed treatment $k$ of factor $B$ , $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

$\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(conditional main effect for treatment $k$ of factor $B$ within fixed treatment $j$ of factor $A$ , $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

With these definitions, the model can also be written as: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

$H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
(all individual interaction terms are $0$ , such that $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$ . This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)
$H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
(all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$ . This is essentially Dason's answer.)
$H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
(all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$ .)
$H_{0_{I}}$ : In a diagramm which shows the expected values $\mu_{jk}$ with the levels of factor $A$ on the $x$ -axis and the levels of factor $B$ drawn as separate lines, the $q$ different lines are parallel.

— caracal
সূত্র

1

A really impressive answer Caracal - thank you.

— Tal Galili

9

An interaction tells us that the levels of factor A have different effects based on what level of factor B you're applying. So we can test this through a linear contrast. Let C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) where A1B1 stands for the mean of the group that received A1 and B1 and so on. So here we're looking at A1B1 - A1B2 which is the effect that factor B is having when we're applying A1. If there is no interaction this should be the same as the effect B is having when we apply A2: A2B1 - A2B2. If those are the same then their difference should be 0 so we could use the tests:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$

— Dason
সূত্র

1

Thanks Dason, that helped. Also, after reading your reply, it suddenly became clear to me that I am not fully sure how this generalizes in case we are having more factors. Could you advise? Thanks again. Tal

— Tal Galili

2

You can test multiple contrasts simultaneously. So for example if A had three levels and B had 2 we could use the two contrasts: C1 = (A1B1 - A2B1) - (A2B1 - A2B2) and C2 = (A2B1 - A2B2) - (A3B1 - A3B2) and use a 2 degree of freedom test to simultaneously test if C1 = C2 = 0. It's also interesting to note that C2 could equally have been (A1B1 - A1B2) - (A3B1 - A3B2) and we would come up with the same thing.

— Dason

Hi @Dason: you seem to have multiple accounts. Could you please complete the form at stats.stackexchange.com/contact and request that they be merged? That will simplify your use of this site (and give you the combined net reputation of both accounts).

— whuber