নমুনা অটোোকোরিয়েন্স ফাংশন সম্পর্কে প্রশ্ন

আমি একটি টাইম সিরিজ বিশ্লেষণ বইটি পড়ছি এবং নমুনা স্বতঃবর্তনের জন্য সূত্রটি বইটিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

\hat{γ} (h) = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n - h} (x_{t + h} - \bar{x}) (x_{t} - \bar{x})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\displaystyle\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

সাথেজন্য । গড়। $\widehat{\gamma}(-h) = \widehat{\gamma}(h)\;$ $\;h = 0,1, ..., n-1$ $\bar{x}$

কেউ স্বজ্ঞাতভাবে ব্যাখ্যা করতে পারেন কেন আমরা দ্বারা নয়, ভাগ করি ? বইটি ব্যাখ্যা করে যে এটি কারণ সূত্রটি একটি অ-নেতিবাচক সুনির্দিষ্ট ফাংশন এবং তাই দ্বারা ভাগ করে নেওয়া পছন্দ করা হয় তবে এটি আমার কাছে পরিষ্কার নয়। কেউ কি এটি প্রমাণ করতে পারে বা উদাহরণ বা কিছু প্রদর্শন করতে পারে? $n$ $n-h$ $n$

আমার কাছে প্রথমে স্বজ্ঞাত জিনিসটি দিয়ে ভাগ করা । এটি কি স্বায়ত্তশাসনের পক্ষপাতহীন বা পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানকারী? $n-h$

time-series probability mathematical-statistics

— jjepsuomi
সূত্র

যদি আপনার সময় সিরিজ ঠিক সব অপরের সাথে , অথবা অজানা হচ্ছে, তারপর সমষ্টি অগত্যা থামবে আবশ্যক যখন ঘটে যোগফল: পরের শব্দ ( ) যোগফলের অন্তর্ভুক্ত হবে এতে it এবং the নমুনার অংশ নয়।

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

x_{i}

$x_i$

i < 1

$i < 1$

i > n

$i >n$

t = n - h

$t=n-h$

x_{t + h} = x_{n}

$x_{t+h}=x_n$

t = n - h + 1

$t=n-h+1$

x_{n - h + 1 + h} = x_{n + 1}

$x_{n-h+1+h}=x_{n+1}$

x_{n + 1}

$x_{n+1}$

— দিলীপ সরোতে

দ্বারা কিনা ডিভাইড প্রশ্ন উদ্বেগ: @Dilip আমি যে সমস্যা মনে করি না বা সংজ্ঞা ।

n

$n$

n - h

$n-h$

\hat{γ}

$\hat{\gamma}$

— whuber

$\widehat{\gamma}$ কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়: "সময়" , এটি অনুমান করে যে এলোমেলো ভেক্টর (সেই সময়ে এলোমেলো ক্ষেত্র থেকে প্রাপ্ত) হ'ল ম্যাট্রিক্স । ভবিষ্যদ্বাণী হিসাবে অনেক সমস্যার জন্য, এই জাতীয় ম্যাট্রিকগুলি নোনসিংুলার হওয়া অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। পোটিভেটিভ কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হিসাবে, অবশ্যই তাদের কোনও নেতিবাচক ইগ্যালভ্যালু থাকতে পারে না, সেহেতু সেগুলি অবশ্যই ইতিবাচক-সুনির্দিষ্ট হতে হবে। $t_1, t_2, \ldots, t_k$ $X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_k}$ $\left(\widehat{\gamma}(t_i - t_j), 1 \le i, j \le k\right)$

সবচেয়ে সহজ পরিস্থিতি যেখানে দুটি সূত্রের মধ্যে পার্থক্য

\hat{γ} (জ) = {এন}^{- 1} Σ_{টি = 1}^{এন - জ} ({এক্স}_{টি + + জ} - \bar{এক্স}) ({এক্স}_{টি} - \bar{এক্স})

$\widehat{\gamma}(h) = n^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

এবং

{\hat{γ}}_{0} (জ) = (এন - জ)^{- 1} Σ_{টি = 1}^{এন - জ} ({এক্স}_{টি + + জ} - \bar{এক্স}) ({এক্স}_{টি} - \bar{এক্স})

$\widehat{\gamma}_0(h) = (n-h)^{-1}\sum_{t=1}^{n-h}(x_{t+h}-\bar{x})(x_t-\bar{x})$

এর দৈর্ঘ্য হলে প্রদর্শিত হয় ; বলুন, । জন্য এবং এটা গনা সহজ $x$ $2$ $x = (0,1)$ $t_1=t$ $t_2 = t+1$

{\hat{γ}}_{0} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array}),

$\widehat{\gamma}_0 = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{array} \right),$

যা একক, যদিও

\hat{γ} = (\begin{array}{cc} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array})

$\widehat{\gamma} = \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \end{array} \right)$

যার এগেনুয়ালগুলি এবং , সেখান থেকে এটি ইতিবাচক-সুনির্দিষ্ট। $3/8$ $1/8$

একই ধরণের ঘটনাটি ক্ষেত্রে ঘটে , যেখানে positive ইতিবাচক-নির্দিষ্ট তবে যখন , বলুন - ম্যাট্রিক্সের অবক্ষয় হয় (এর এবং মধ্যে পর্যায়ক্রমে )। $x = (0,1,0,1)$ $\widehat{\gamma}$ $\widehat{\gamma}_0$ $t_i = (1,2,3,4)$ $1$ $1/4$ $-1/4$

(এখানে একটি নিদর্শন রয়েছে: ফর্মের যে কোনও জন্য সমস্যা দেখা দেয় । $x$ $(a,b,a,b,\ldots,a,b)$

সবচেয়ে অ্যাপ্লিকেশন পর্যবেক্ষণ সিরিজ এতক্ষণ যে বেশিরভাগ সুদের - যা অনেক কম মধ্যে --দী পার্থক্য এবং কোন ফল হয়। সুতরাং বাস্তবে পার্থক্যটি কোনও বড় বিষয় নয় এবং তাত্ত্বিকভাবে ইতিবাচক-সুনির্দিষ্টতার প্রয়োজন নিরপেক্ষ অনুমানের জন্য কোনও সম্ভাবনা আকাঙ্ক্ষাকে দৃ strongly়ভাবে প্রশ্রয় দেয়। $x_t$ $h$ $n$ $n^{-1}$ $(n-h)^{-1}$

— whuber
সূত্র

আমি মনে করি এটি গুরুত্বপূর্ণ হিসাবে মনে করি যে উভয় অনুমানকারী পক্ষপাতদুষ্ট অনুমানক, এমনকি যদি আপনি এটি এনএই দ্বারা ভাগ করে নেন।

— রান

@ রান যদিও আপনি সঠিক বলেছেন যে এই অনুমানকরা পক্ষপাতদুষ্ট, আমি একমত নই যে এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়: শেষ অনুচ্ছেদে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, সামান্য পরিমাণে পক্ষপাতিত্বই যে কারও উদ্বেগের মধ্যে সবচেয়ে কম। নিরপেক্ষ অনুমানক, using ব্যবহার করে বা কমই পৃথক ।

(n - h - 1)^{- 1}

$(n-h-1)^{-1}$

\hat{γ}

$\widehat{\gamma}$

{\hat{γ}}_{0}

$\widehat{\gamma}_0$

— হোবার

খুব সুন্দর উত্তর +1। সম্ভবত পয়েন্টটি যুক্ত করতে দরকারী , যখন , সুতরাং যখন কাছাকাছি থাকে , অনুমানকারী হতে পারে, যখন একরকম ছোট্ট নমুনার ওঠানামা । এই পয়েন্টটির বিশদ আলোচনার জন্য উদাহরণ হিসাবে প্রিস্টলি (1981) "স্পেকট্রাল অ্যানালাইসিস এবং টাইম সিরিজ" p324 দেখুন

V {\hat{γ}}_{0} (h) = O (1 / (n - h))

$\mathbb{V} \hat{\gamma}_0(h) = O(1/(n-h))$

V \hat{γ} (h) = O (1 / n)

$\mathbb{V} \hat{\gamma}(h) = O(1/n)$

h

$h$

n

$n$

{\hat{γ}}_{0} (h)

$\hat{\gamma}_0(h)$

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$

\forall h

$\forall h$

— কলিন টি বোয়ার্স