একটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ফাংশনের বৈকল্পিক Var

বলুন আমাদের কাছে পরিচিত বৈকল্পিক এবং গড় সহ এলোমেলো ভেরিয়েবল $X$ রয়েছে। প্রশ্নটি হ'ল কিছু প্রদত্ত ফাংশনের জন্য $f(X)$ প্রকরণ কী? একমাত্র সাধারণ পদ্ধতি যা সম্পর্কে আমি সচেতন তা হ'ল ডেল্টা পদ্ধতি, তবে এটি কেবল অ্যাপ্রোক্সিমেশন দেয়। এখন আমি in তে আগ্রহী $f(x)=\sqrt{x}$ , তবে কিছু সাধারণ পদ্ধতি জেনে ভাল লাগবে।

29.12.2010 সম্পাদনা করুন
আমি টেলর সিরিজ ব্যবহার করে কিছু গণনা করেছি, তবে সেগুলি সঠিক কিনা তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই, সুতরাং কেউ তাদের নিশ্চিত করতে পারলে আমি খুশি হব ।

$E[f(X)]$
$E[f(X)] \approx E[f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)(X-\mu)^2]=f(\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)\cdot Var[X]$

এখন আমরা আনুমানিক $D^2 [f(X)]$
$E[(f(X)-E[f(X)])^2] \approx E[(f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)(X-\mu)^2 -E[f(X)])^2]$

ব্যবহার করে $E[f(X)]$ আমরা জানি যে $f(\mu)-Ef(x) \approx -\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)\cdot Var[X]$

এটি ব্যবহার করে আমরা পাই:
$D^2[f(X)] \approx \frac{1}{4}\cdot f''(\mu)^2\cdot Var[X]^2-\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)^2\cdot Var[X]^2 + f'(\mu)^2\cdot Var[X]+\frac{1}{4}f''(\mu)^2\cdot E[(X-\mu)^4] +\frac{1}{2}f'(\mu)f''(\mu)E[(X-\mu)^3]$
$D^2 [f(X)] \approx \frac{1}{4}\cdot f''(\mu)^2 \cdot [D^4 X-(D^2 X)^2]+f'(\mu)\cdot D^2 X +\frac{1}{2}f'(\mu)f''(\mu)D^3 X$

variance random-variable delta-method

— টোমেক তারকজেনস্কি
সূত্র

ডেল্টা পদ্ধতিটি অ্যাসিম্পটোটিক বিতরণের জন্য ব্যবহৃত হয়। আপনার কেবলমাত্র একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল থাকলে আপনি ব্যবহার করতে পারবেন না।

— এমপিটিকাস

@ এমপিক্টাস: আসলে ডেল্টা পদ্ধতি সম্পর্কে আমি বেশি কিছু জানি না, আমি উইকিপিডিয়াতে সবেমাত্র কিছু পড়েছি। এটি উইকির উদ্ধৃতি: "ডেল্টা পদ্ধতিতে এক বা একাধিক এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রিয়াকলাপের আনুমানিকতার জন্য দ্বিতীয়-আদেশের টেলর বিস্তৃতি ব্যবহার করা হয়"।

— টোমেক তার্কিজেনস্কি

দেখে মনে হচ্ছে উইকিপিডিয়ায় আপনার যা ইচ্ছা ঠিক আছে: en.wikedia.org/wiki/… । আমি আমার উত্তরটি পুনরায় সংশোধন করব, দেখে মনে হচ্ছে আমি টেলর সম্প্রসারণকে অবমূল্যায়ন করেছি।

— এমপিটিকাস

তবে, আপনি যদি সম্পাদনাগুলি (আমার দ্বারা নয়) এর সাথে একমত না হন তবে আপনি সর্বদা সেগুলি আবার পরিবর্তন করতে পারেন, বা এগুলি আবার ঘুরিয়ে দিতে পারেন, বা কেবল পার্থক্যগুলি চিহ্নিত করে স্পষ্টতা চাইতে পারেন।

— গ্লেন_বি -রিনস্টেট মনিকা

@ গ্লেন_বি: আমি তাদের সাথে একমত (ই-এক্স-মিউ) = 0 ই ই [[(এক্স-মিউ) ^ 3] = 0-ই বোঝাচ্ছে না

— টোমেক তারকজেনস্কি

উত্তর:

হালনাগাদ

আমি টেলর বিস্তৃতি অবমূল্যায়ন করেছি। তারা আসলে কাজ। আমি ধরে নিয়েছি যে বাকী টার্মটির অবিচ্ছেদ্য আনবাউন্ড করা যেতে পারে, তবে সামান্য কাজ করে দেখানো যেতে পারে যে এটি এমন নয়।

টেলর সম্প্রসারণ সীমাবদ্ধ বন্ধ বিরতিতে ফাংশনগুলির জন্য কাজ করে। সীমাবদ্ধ ভেরিয়েন্স সহ এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য শেবিশেভ বৈষম্য দেয়

পি (| এক্স - ই এক্স | > গ) \leq \frac{ভী একটি R (এক্স)}{গ}

$P(|X-EX|>c)\le \frac{Var(X)}{c}$

সুতরাং কোন আমরা বৃহৎ যথেষ্ট জানতে পারেন যাতে $\varepsilon>0$ $c$

পি (এক্স \in [ই এক্স - গ, ই এক্স + + গ]) = পি (| এক্স - ই এক্স | \leq গ) < 1 - ε

$P(X\in [EX-c,EX+c])=P(|X-EX|\le c)<1-\varepsilon$

প্রথমে অনুমান করা যাক । আমাদের কাছে যেখানে বিতরণের ফাংশন । $Ef(X)$

\begin{aligned} ই চ (এক্স) = \int_{| এক্স - ই এক্স | \leq গ} চ (এক্স) ঘ এফ (এক্স) + + \int_{| এক্স - ই এক্স | > গ} চ (এক্স) ঘ এফ (এক্স) \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)=\int_{|x-EX|\le c}f(x)dF(x)+\int_{|x-EX|>c}f(x)dF(x) \end{align}$

F (x)

$F(x)$

X

$X$

যেহেতু প্রথম অবিচ্ছেদ্য ডোমেইনের ব্যবধান হয় যা বন্ধ বেষ্টিত ব্যবধান আমরা টেলর সম্প্রসারণ প্রয়োগ করতে পারবেন: যেখানে এবং সমতা সমস্ত ধারণ করে । আমি টেলর সম্প্রসারণে মাত্র 4 টি পদ নিয়েছি, তবে সাধারণভাবে আমরা যতটা আমাদের পছন্দ মতো নিতে পারি, যতক্ষণ ফাংশন পর্যাপ্ত মসৃণ হয়। $[EX-c,EX+c]$

\begin{aligned} f (x) = f (E X) + f^{'} (E X) (x - E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} (x - E X)^{2} + \frac{f^{‴} (α)}{3} (x - E X)^{3} \end{aligned}

$\begin{align} f(x)=f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2+\frac{f'''(\alpha)}{3}(x-EX)^3 \end{align}$

α \in [E X - c, E X + c]

$\alpha\in [EX-c,EX+c]$

x \in [E X - c, E X + c]

$x\in[EX-c,EX+c]$

f

$f$

এই সূত্রটি পূর্বেরটি আমরা পেয়ে যাচ্ছি st

\begin{aligned} E f (X) & = \int_{| x - E X | \leq c} f (E X) + f^{'} (E X) (x - E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} (x - E X)^{2} d F (x) \\ + \int_{| x - E X | \leq c} \frac{f^{‴} (α)}{3} (x - E X)^{3} d F (x) + \int_{| x - E X | > c} f (x) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)&=\int_{|x-EX|\le c}f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2dF(x)\\\\ &+\int_{|x-EX|\le c}\frac{f'''(\alpha)}{3}(x-EX)^3dF(x) +\int_{|x-EX|>c}f(x)dF(x) \end{align}$ এখন আমরা নীচের সূত্রটি পেতে ইন্টিগ্রেশনের ডোমেন বাড়াতে পারি

\begin{aligned} E f (X) & = f (E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} E (X - E X)^{2} + R_{3} \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)&=f(EX)+\frac{f''(EX)}{2}E(X-EX)^2+R_3\\\\ \end{align}$ যেখানে এখন কিছু মুহুর্তের শর্তে আমরা দেখাতে পারি যে এই অবশিষ্ট টার্মের দ্বিতীয় পদটি এর চেয়ে বড় which দুর্ভাগ্যক্রমে প্রথম পদটি অবশেষ এবং তাই অনুমানের গুণমানটি এবং আবদ্ধ বিরতিতে এর তৃতীয় ডেরাইভেটিভের আচরণের উপর নির্ভর করে । এ জাতীয় অনুমানের সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য সবচেয়ে ভাল কাজ করা উচিত ।

\begin{aligned} R_{3} & = \frac{f^{‴} (α)}{3} E (X - E X)^{3} + \\ + \int_{| x - E X | > c} (f (E X) + f^{'} (E X) (x - E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} (x - E X)^{2} + f (X)) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} R_3&=\frac{f'''(\alpha)}{3}E(X-EX)^3+\\\\ &+\int_{|x-EX|>c}\left(f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2+f(X)\right)dF(x) \end{align}$

P (| X - E X | > c)

$P(|X-EX|>c)$

E (X - E X)^{3}

$E(X-EX)^3$

f

$f$

E (X - E X)^{3} = 0

$E(X-EX)^3=0$

এখন বৈকল্পিকতার জন্য আমরা টেলর অনুমিতিকরণটি জন্য ব্যবহার করতে পারি , এর সূত্রটি বিয়োগ করতে পারি এবং পার্থক্যটি বর্গাকৃতির করতে পারি। তারপর $f(x)$ $Ef(x)$

$E(f(x)-Ef(x))^2=(f'(EX))^2Var(X)+T_3$

যেখানে মুহূর্ত জড়িত জন্য । আমরা কেবলমাত্র প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভস ব্যবহার করে কেবল প্রথম অর্ডার টেলর সম্প্রসারণ ব্যবহার করে এই সূত্রটিতে পৌঁছে যেতে পারি। ত্রুটি পদটি একই রকম হবে। $T_3$ $E(X-EX)^k$ $k=4,5,6$

অন্য উপায়টি প্রসারিত করা : $f^2(x)$

\begin{aligned} f^{2} (x) & = f^{2} (E X) + 2 f (E X) f^{'} (E X) (x - E X) \\ + [(f^{'} (E X))^{2} + f (E X) f^{″} (E X)] (X - E X)^{2} + \frac{(f^{2} (β))^{‴}}{3} (X - E X)^{3} \end{aligned}

$\begin{align} f^2(x)&=f^2(EX)+2f(EX)f'(EX)(x-EX)\\\\ &+[(f'(EX))^2+f(EX)f''(EX)](X-EX)^2+\frac{(f^2(\beta))'''}{3}(X-EX)^3 \end{align}$

একইভাবে আমরা তারপরে যেখানে অনুরূপ ।

\begin{aligned} E f^{2} (x) = f^{2} (E X) + [(f^{'} (E X))^{2} + f (E X) f^{″} (E X)] V a r (X) + {\tilde{R}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align*} Ef^2(x)=f^2(EX)+[(f'(EX))^2+f(EX)f''(EX)]Var(X)+\tilde{R}_3 \end{align*}$

{\tilde{R}}_{3}

$\tilde{R}_3$

R_{3}

$R_3$

তারপরে পরিবর্তনের সূত্রটি হয়ে যায় যেখানে তৃতীয় মুহুর্ত এবং ।

\begin{aligned} V a r (f (X)) = [f^{'} (E X)]^{2} V a r (X) - \frac{[f^{″} (E X)]^{2}}{4} V a r^{2} (X) + {\tilde{T}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align} Var(f(X))=[f'(EX)]^2Var(X)-\frac{[f''(EX)]^2}{4}Var^2(X)+\tilde{T}_3 \end{align}$

{\tilde{T}}_{3}

$\tilde{T}_3$

— mpiktas
সূত্র

আমার বৈকল্পিকের সঠিক মূল্যটি জানতে হবে না, আমার পক্ষে প্রায় অনুমান করা উচিত।

— টোমেক তার্কিজেনস্কি

প্রকৃতপক্ষে, এর আনুমানিক সূত্রটি প্রায়শই অর্থনীতি, অর্থ ও বীমা ক্ষেত্রে ঝুঁকি বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়।

E [f (X)]

$\mathbb{E}[f(X)]$

— রাস্কোলনিকভ

@ রাসকোলনিকভ, হ্যাঁ তবে এটি টেলর সম্প্রসারণ সম্পর্কে আমার স্বীকৃতভাবে বাসি জ্ঞানের বিরোধিতা করে। স্পষ্টতই বাকী মেয়াদটি আমলে নেওয়া উচিত। যদি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সীমিত হয়, তবে সমস্যা নেই, যেহেতু বহুবৈচিত্র্যগুলি সীমানা বিরতিতে আনুমানিক অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়াকলাপ। তবে আমরা আনবাউন্ডেড এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলির সাথে ডিল করি। অবশ্যই এলোমেলো স্বাভাবিকের জন্য আমরা এটি বলতে পারি যে এটি কার্যকরভাবে আবদ্ধ, তবে এখনও সাধারণ ক্ষেত্রে কিছু বাজে আশ্চর্য সৃষ্টি হতে পারে বা নাও পারে। আমি আমার উত্তরটি ঠিক করব যখন আমার স্পষ্ট উত্তর হবে।

— এমপিক্টাস

@ টোমেক তারাকজেনস্কি, the এর তৃতীয় ডেরাইভেটিভ লার্জ জন্য খুব দ্রুত শূন্যে চলে গেছে, তবে শূন্যের নিকটে সীমাহীন। সুতরাং আপনি যদি শূন্যের কাছাকাছি সমর্থন সহ ইউনিফর্ম বিতরণটি বেছে নেন, তবে বাকী মেয়াদটি বড় হতে পারে।

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

x

$x$

— এমপিক্টাস

নোট করুন যে আপনার লিঙ্কে সাম্যটি আনুমানিক। এই উত্তরে সমস্ত সমীকরণ হুবহু। ভ্যারিয়েন্স নোট যে প্রথম ব্যুৎপন্ন আনুমানিক হয় উপরন্তু না । এছাড়াও আমি কখনও বলিনি যে এটি for এর জন্য কাজ করবে না , কেবলমাত্র that for এর জন্য ডোমেনটি শূন্যের কাছাকাছি থাকলে আনুমানিক সূত্রটিতে বিশাল ত্রুটি হতে পারে ।

E X

$EX$

x

$x$

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$

X

$X$

— এমপিটকাস

এক্স এর প্রথম দুটি মুহুর্ত জানতে (অর্থ এবং প্রকরণ) যথেষ্ট নয়, যদি ফ (এক্স) ফাংশনটি স্বেচ্ছাসেবী (অ লিনিয়ার) হয়। রুপান্তরিত পরিবর্তনশীল ওয়াইয়ের বৈকল্পিক গণনা করার জন্যই নয়, এটির গড়ের জন্যও। এটি দেখতে এবং সম্ভবত আপনার সমস্যার আক্রমণ করার জন্য - আপনি ধরে নিতে পারেন যে আপনার রূপান্তর কার্যটি এক্স এর মাঝামাঝি সময়ে একটি টেলর সম্প্রসারণ করেছে এবং সেখান থেকে কাজ করুন।

— leonbloy
সূত্র