বিপদের হার, সম্ভাবনার ঘনত্ব, বেঁচে থাকার ফাংশনের মধ্যে সম্পর্কের প্রমাণ

Question

আমি বেঁচে থাকার বিশ্লেষণের উপর কিছুটা পড়ছি এবং বেশিরভাগ পাঠ্যপুস্তক এটিকে জানিয়েছে

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t} =\frac{f(t)}{1-F(t)} (1)$

যেখানে হ'ল বিপদের হার,$h(t)$

$f(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t)}{ \Delta t}(2)$ ঘনত্ব ফাংশন,

$F(t)=Pr(T<t) (3)$ এবং

$S(t)=Pr(T>t)=1-F(t) (4)$

এছাড়াও তারা যে বিবৃতি

$S(t)= e^{- \int_0^t h(s)ds } (5)$

বেশিরভাগ পাঠ্যপুস্তক (কমপক্ষে আমার কাছে রয়েছে) (1) বা (5) এর জন্য প্রমাণ সরবরাহ করে না। আমি মনে করি আমি নিম্নলিখিত হিসাবে (1) পেতে পেরেছি

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t}=$ $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t ) P(t < T \leq t+\Delta t)}{ P(T \geq t)\Delta t}$ যার কারণে (2) এবং (4) $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )f(t)}{S(t)\Delta t}$ but $P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )=1$ অতএব $h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

কিভাবে একটি প্রমাণ (5)?

Comments

আপনি লক্ষনীয় যে আছে ডেরিভেটিভ হয় ? $h(t)$$- \log S(t)$

— স্টাফেন লরেন্ট

হ্যাঁ আমি তাও পাই না ...

— নস্টক

আপনার (1) প্রমাণে, আপনাকে প্রথমে যুক্তি দেওয়া উচিত যে অংকের 2 তম সম্ভাবনাটি 1, এবং তারপরে (2) এবং (4) প্রয়োগ করুন।

— ocram

আদেশ কেন গুরুত্বপূর্ণ?

— নস্টক

আপনি যদি অর্ডারটি রাখেন তবে আপনার যুক্তি দেওয়া উচিত যে রাইটারো (প্রবা নিজেই নয়) হিসাবে সীমাটি সমান । যাই হোক, এটা বিস্তারিত আছে ...$\Delta t \rightarrow 0$$1$

— ocram

Answer 1

ডেরিভেটিভ হয় অতএব, @ স্টাফেন লরেন্টের দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে, আমাদের রয়েছে যেখানে শেষ সমতাটি (1) থেকে অনুসরণ করে।$S$

$$\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}} = \frac{\mathrm{d}(1 - F(t))}{\mathrm{dt}} = - \frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{dt}} = -f(t)$$ $$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)} = \frac{f(t)}{S(t)} = h(t)$$

পূর্ববর্তী সম্পর্কের উভয় পক্ষের অবিচ্ছেদ্য অংশ গ্রহণ করে আমরা যাতে

$$-\log(S(t)) = \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s$$ $$S(t) = \exp \left\{- \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s\right\}$$

এটি আপনার সমীকরণ (5)। সূচকীয় অংশের অবিচ্ছেদ্য অংশটি সংহত বিপত্তি, যাকে সংহতিমূলক বিপত্তি [যাতে ]।$H(t)$$S(t) = \exp(-H(t))$

Comments

আপনি কি দয়া করে কিছুটা আরও স্পষ্ট হতে পারবেন $$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)}$$

— গণিত

এটাই চেইন রুল। আমাদের কাছে যাতে$\frac{\mathrm{d}\, \log(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}$ $$\cfrac{\mathrm{d}\, \log(f(x))}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}\,f(x)}{\mathrm{d}x}}{x}$$

— th

শেষ সমীকরণের ডান হাতের এক্সটি কি f (x) ?, অর্থাৎ পৃথক y = লগ এস (টি) হওয়া উচিত? ইউ = এস (টি) সুতরাং Let । উপরন্তু, আমরা আছে এবং তাই । শৃঙ্খলা নিয়ম অনুসারে, তাই $$\frac{du}{dt} =dS(t)/dt = S'(t)$$ $y = log S(t) = log(u)$ $$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S(t)}$$ $$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dt} = \frac{1}{S(t)} S'(t) = \frac{S'(t)}{S(t)}$$

— user1420372

@ ব্যবহারকারী 1420372: হ্যাঁ, আপনি ঠিক বলেছেন। এটি চ (x) হওয়া উচিত ছিল।

— অক্টোবরে 5'17

Answer 2

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}\ $$ $$= \frac{f(t)}{1-F(t)}$$ $$= \frac{f(t)}{1- \int^t_0{f(s) ds}}$$

উভয় পক্ষকে একীভূত করুন: উভয় পক্ষের পার্থক্য করুন:

$$\int^t_0 h(s) ds = \int^t_0 \frac{f(s)}{1- \int^t_0{f(s)ds}}ds$$ $$= -\ln [1- \int^t_0{f(s)ds}]^t_0+ c$$ $$1- \int^t_0{f(s)ds} = \exp [-\int^t_0 h(s) ds]$$ $$-f(t) = -h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$$ $$f(t) = h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$$

যেহেতু

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}$$

$$S(t) = \frac{f(t)}{h(t)}$$

প্রতিস্থাপন দ্বারা , অতএব, $f(t)$$h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

$$S(t) = \frac{h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]}{h(t)}$$ $$S(t) = \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$$

Answer 3

আমরা নীচের সমীকরণটি প্রমাণ করি: প্রমাণ:

$$S(t)=\exp\{-\int_{0}^{t}h(u)du\}$$

আমরা প্রথমে prove প্রমাণ প্রমাণ করি:

$$f(t)=-\frac{dS(t)}{dt}$$

$$f(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{dP(T<t)}{dt}=\frac{d(1-S(t))}{dt}=-\frac{dS(t)}{dt}\ \blacksquare$$ এবং আমরা জানি $$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$$ সাবস্টিটিউট মধ্যে আমরা পেতে তারপরে আমাদের মূল প্রমাণটি চালিয়ে যান। উপরের সমীকরণের উভয় দিককে একীভূত করে আমাদের কাছে পরে আমরা ফলাফল পাই $f(t)$$h(t)$ $$h(t)=\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$$ $$\int_0^th(u)du=\int_0^t\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}dt=\int_0^t-S(t)^{-1}dS(t)\\ =-[\log S(t)-\log S(0)]=-\log S(t)$$ $$S(t)=\exp\{-\int_0^th(u)du\}\ \blacksquare$$