K এর সাথে সম্পর্কিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পণ্যটির বৈচিত্র

পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পণ্যটির বৈচিত্র কী? $k$

variance random-variable

আপনার প্রয়োজনীয়তার চেয়ে এই বিষয়ে আরও তথ্য গুডম্যান (1962): "র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রোডাক্টের ভেরিয়েন্স" এ পাওয়া যেতে পারে , যা কিছু স্বতন্ত্রতার সাথে স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং সম্ভাব্যভাবে সম্পর্কযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবল উভয়ের সূত্র ধরে der পূর্বের একটি কাগজে ( গুডম্যান, ১৯60০ ) সঠিকভাবে দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের উত্পাদনের সূত্রটি নেওয়া হয়েছিল, যা কিছুটা সহজ (যদিও এখনও বেশ জাঁকজমকপূর্ণ), তাই আপনি যদি আবিষ্কারটি বুঝতে চান তবে এটি শুরু করার জন্য আরও ভাল জায়গা হতে পারে ।

সম্পূর্ণতার জন্য, যদিও এটি এরকম হয়।

দুটি পরিবর্তনশীল

নিম্নলিখিতটি ধরে নিন:

$x$ এবং দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল $y$
$X$ এবং তাদের (শূন্য নয়) প্রত্যাশা $Y$
$V(x)$ এবং হ'ল তাদের রূপগুলি $V(y)$
$\delta_x = (x-X)/X$ (এবং একইভাবে ) $\delta_y$
$D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
$\Delta_x = x-X$ (এবং একইভাবে ) $\Delta_y$
$E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
$G(x)$ হ'ল প্রকরণের স্কোয়ার সহগ: (একইভাবে ) $V(x)/X^2$ $G(Y)$

তারপরে: বা সমতুল্য:

V (x y) = (X Y)^{2} [G (y) + G (x) + 2 D_{1, 1} + 2 D_{1, 2} + 2 D_{2, 1} + D_{2, 2} - D_{1, 1}^{2}]

$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2}

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$

দুটিরও বেশি ভেরিয়েবল

১৯60০-এর গবেষণাপত্রটি পরামর্শ দেয় যে এটি পাঠকের জন্য একটি অনুশীলন (যা 1962-এর কাগজকে অনুপ্রাণিত করেছে বলে মনে হয়!)।

কয়েকটি এক্সটেনশন সহ স্বরলিপিটি একই রকম:

$(x_1, x_2, \ldots x_n)$ এবং পরিবর্তে এলোমেলো পরিবর্তনশীল হতে হবে $x$ $y$
$M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
$A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
$s_i$ = 0, 1, বা 2 $i = 1, 2, \ldots k$
$u$ = এর মধ্যে 1 এর সংখ্যার $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$m$ = 2 এর মধ্যে সংখ্যার $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$D(u,m) = 2^u - 2$ জন্য এবং জন্য , $m=0$ $2^u$ $m>1$
$C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
$\sum_{s_1 \cdots s_k}$ এর সমষ্টি ইঙ্গিত সেট যেখানে $3^k - k -1$ $(s_1, s_2, \ldots s_k)$ $2m + u > 1$

তারপরে, শেষ অবধি:

V (\prod_{i = 1}^{k} x_{i}) = \prod X_{i}^{2} (\sum_{s_{1} \dots s_{k}} C (s_{1}, s_{2} \dots s_{k}) - A^{2})

$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$

বিশদগুলির জন্য কাগজপত্রগুলি এবং কিছুটা ট্র্যাকটেবল আনুমানিকতা দেখুন!

— ম্যাট ক্রাউস
সূত্র

দয়া করে নোট করুন, ম্যাট ক্রাউসের উপরের উত্তরটিতে একটি ভুল পাশাপাশি কাগজও রয়েছে। সি (এস 1, ..., স্ক) ফাংশনটির সংজ্ঞা অনুসারে এটি একটি যোগফলের পরিবর্তে পণ্য হওয়া উচিত।

— নিকোলাস গিজলার

আপনি কি আরও একটু বিস্তারিত বলতে পারেন ..? "কারণ আমি - ইন্টারনেট থেকে একজন বেনাম ব্যক্তি - তাই বলে" আসলেই কোনও উত্তর নয় ...

— টিম

যদি আপনি স্বতন্ত্র র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য বৈকল্পিক ভার (x * y) পাওয়ার চেষ্টা করেন, স্বেচ্ছাসেবক কে এর সূত্রের মাধ্যমে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে কেবল একটি পণ্য এবং যোগফল নয় আপনাকে সঠিক উত্তর দেয়। তদ্ব্যতীত, আপনি যদি কাগজটির দিকে নজর দেন তবে আপনি এটিও দেখতে পাবেন, কাগজের 59 পৃষ্ঠায় (কমপক্ষে আমার সংস্করণে) তিনি একটি অঙ্কের পরিবর্তে একটি পণ্য ব্যবহার করেছিলেন।

— নিকোলাস গিজার 14

দুটি এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে, দুটি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের পণ্যের পরিবর্তনের জন্য একটি সহজ-পাঠযোগ্য সূত্রটি @ ম্যাক্রোর মাধ্যমে এই উত্তরে পাওয়া যাবে। এই উত্তরটি

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2},

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2,$

(x^{2}, y^{2})

$(x^2,y^2)$

একটি সম্পাদনা পরামর্শ, এটি সত্যই একটি মন্তব্য হওয়া উচিত ছিল, প্রস্তাবিত হয়েছিল যে মূল কাগজটিতে একটি টাইপো রয়েছে যেখানে একটি যোগফল এবং পণ্য মিশ্রিত হয় এবং এই উত্তরটি সংশোধন করা উচিত। দেখুন stats.stackexchange.com/review/suggested-edits/83662

— Silverfish

\begin{aligned} E_{1, 1} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])] = C o v (x, y) = 0 \\ E_{1, 2} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])^{2}] \\ = E [x - E (x)] E [(y - E [y])^{2}] \\ = (E [x] - E [x]) E [(y - E [y])^{2}] = 0 \\ E_{2, 1} & = 0 \\ E_{2, 2} & = E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}] \\ = E [(x - E [x])^{2}] E [(y - E [y])^{2} \\ = V [x] V [y] \\ V [x y] & = E [x]^{2} V [y] + E [y]^{2} V [x] + V [x] V [y] \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$

— আনন্দ
সূত্র

n

$n$

ম্যাট দ্বারা প্রদত্ত সাধারণ সূত্রের পাশাপাশি এটি লক্ষণীয় যে এখানে শূন্যের অর্থের জন্য গাউসিয়ান এলোমেলো পরিবর্তনশীলগুলির জন্য আরও কিছু সুস্পষ্ট সূত্র রয়েছে। এটি ইসেরলিসের উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে, কেন্দ্রীভূত মাল্টিভারিয়েট স্বাভাবিক বিতরণের জন্য উচ্চতর মুহূর্তগুলি দেখুন ।

$(x_1, \ldots, x_k)$ $\Sigma$ $k$ $E\left(\prod_i x_i\right) = 0$

V (\prod_{i} x_{i}) = E (\prod_{i} x_{i}^{2}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j}

$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$

Σ \prod

$\Sigma \prod$

{1, \dots, 2 k}

$\{1, \ldots, 2k\}$

k

$k$

{i, j}

$\{i, j\}$

k

$k$

{\tilde{Σ}}_{i, j}

$\tilde{\Sigma}_{i,j}$

\tilde{Σ} = (\begin{array}{cc} Σ & Σ \\ Σ & Σ \end{array})

$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$

(x_{1}, \dots, x_{k}, x_{1}, \dots, x_{k})

$(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$

k

$k$

V (\prod_{i} x_{i}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j} - {(\sum \prod Σ_{i, j})}^{2} .

$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$

k = 2

$k = 2$

V (x_{1} x_{2}) = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + 2 (Σ_{1, 2})^{2} - Σ_{1, 2}^{2} = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + (Σ_{1, 2})^{2} .

$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$

k = 3

$k = 3$

V (x_{1} x_{2} x_{3}) = \sum Σ_{i, j} Σ_{k, l} Σ_{r, t},

$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$

setpartspartitions $k = 8$ $k = 9$ $k = 10$

$k = 2$ $k$

— NRH
সূত্র

O (3^{k})

$O(3^k)$