সমতার নাল অনুমান

ধরুন একটি সাধারণ বিতরণের একটি সাধারণ এলোমেলো নমুনা । $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

আমি নিম্নলিখিত অনুমান পরীক্ষা করতে আগ্রহী: প্রদত্ত ধ্রুবক ।

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

আমি দুই একতরফা করণ চিন্তা ছিল স্বাভাবিক bioequivalence পরীক্ষামূলক অবস্থা, যেখানে নাল একটি অনুরূপ ভাবে -tests (TOST) এবংপরিবর্তে , তবে আমি জানিনা যে এটি বোধগম্য হয় বা সঠিক। $t$ $|\mu| \ge c$

আমার ধারণা একতরফা পরীক্ষা এবং এবং বিশ্বব্যাপী নাল অনুমানকে বাতিল করুন যদি ভ্যালুগুলির একটি তাত্পর্য স্তরের চেয়ে ছোট হয় ।

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$

আগাম ধন্যবাদ!

সম্পাদনা করুন:

আমি এই সম্পর্কে কিছুক্ষণ ভাবছিলাম, এবং আমি মনে করি যে আমি প্রস্তাবিত পদ্ধতির কোনও তাত্পর্যপূর্ণ স্তর নেই । $\alpha$

ধরুন যে প্রকৃত মূল্য হয় এবং পরিচিত হয়। $\mu$ $\mu_0$ $\sigma^2$

প্রথম পরীক্ষায় নাল প্রত্যাখ্যান হওয়ার সম্ভাবনা যেখানে distribution যদি সাধারণ বিতরণের মান সিডিএফ, এবং a এর মান value ।

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

যদি , । তারপরে, যদি , । বিকল্পভাবে, যদি , । $\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

দ্বিতীয় পরীক্ষায় নাল প্রত্যাখ্যান হওয়ার সম্ভাবনা

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

আবার, যদি আমাদের কাছে । একইভাবে, যদি , । শেষ , যদি , । $\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

যেহেতু দুটি পরীক্ষার প্রত্যাখ্যান অঞ্চলগুলি তাই প্রত্যাখ্যান করার সম্ভাবনা হ'ল: $H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

সুতরাং, যদি , হল (গ্লোবাল) নাল অনুমানকে প্রত্যাখ্যান করার সম্ভাবনার একটি উপরের গণ্ডি। সুতরাং, আমি প্রস্তাবিত পদ্ধতির খুব উদার ছিল। $\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

যদি আমি ভুল নই, আমরা একটি তাৎপর্য স্তর অর্জন করতে পারেন একই দুটি টেস্ট করছেন এবং নাল প্রত্যাখ্যান দ্বারা যদি তাদের একজনের -value চেয়ে কম হয় । অনুরূপ একটি যুক্তি ঝুলিতে যখন ভ্যারিয়েন্স অজানা এবং আমরা আবেদন করতে হবে -test। $\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— Vic101
সূত্র

সম্পাদনাটি সঠিক ট্র্যাকটিতে রয়েছে :-)।

— whuber

খুব মজার প্রশ্ন !!

আপনি যৌক্তিক ফলাফলটি ব্যবহার করছেন, অর্থাত্ প্রলোভন শর্ত। এই প্রবৃত্তির শর্তটি শাস্ত্রীয় যুক্তির একেবারে ভিত্তি তৈরি করে, এটি কোনও ভিত্তি থেকে ফলাফলের অনুমান বা ছাড়ের গ্যারান্টি দেয়।

আপনার প্রস্তাবের পিছনে যুক্তিগুলি নিম্নলিখিত:

তাহলে entails , তারপর পর্যবেক্ষিত তথ্য বিরুদ্ধে আরো প্রমাণ আঁকা উচিত চেয়ে। $H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

আপনার অক্জিলিয়ারী অনুমানের নিরিখে এবং , আমরা , যে, entails এবং entails । অতএব, entailment শর্ত অনুযায়ী, আমরা আরো প্রমাণ বিরুদ্ধে মান্য করা উচিত পারেন চেয়ে বা । তারপরে, আপনি এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছেন যে বা under এর অধীনে গণনা করা p-মানগুলির মধ্যে একটি যদি যথেষ্ট পরিমাণে ছোট হয় তবে অধীনে গণনা করা পি-মানটি আরও ছোট হবে। $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

যাইহোক, এই যৌক্তিক যুক্তি পি-মানগুলির জন্য বৈধ নয়, অর্থাত্, পি-মানগুলি যৌক্তিক পরিণতিটিকে সম্মান করে না। প্রতিটি পি-মান একটি নির্দিষ্ট নাল অনুমানের অধীনে তৈরি করা হয়, অতএব, বিভিন্ন নাল অনুমানের জন্য পি-মানগুলি বিভিন্ন মেট্রিকের অধীনে গণনা করা হয়। এই কারণে পি-মানগুলি প্যারামিটার স্পেস (বা নাল হাইপোথেসিসের স্পেস) এর উপর যৌক্তিক যুক্তিকে সম্মান করতে পারে না।

উদাহরণস্বরূপ যেখানে পি-মানগুলি প্রেরণ শর্তটি লঙ্ঘন করে সেগুলি শেরভিশ (1996) এবং প্যাট্রিয়োটা (2013) এ উপস্থাপন করা হয়েছে। আধুনিক কাগজ একটি bivariate সাধারন বন্টনের থেকে এবং একটি রিগ্রেশন মডেল থেকে শো উদাহরণ (উদাহরণ 1.1 এবং পৃষ্ঠাগুলি 5 এবং 6 1.2 যথাক্রমে দেখুন)। Eran Raviv bivariate ক্ষেত্রে জন্য আর কোডে একটি আলগোরিদিম প্রদান করে। এই উদাহরণগুলি থেকে শিক্ষাটি হ'ল: আপনাকে আগ্রহের নাল অনুমানের জন্য সরাসরি পি-মানটি গণনা করতে হবে। শের্ভিশ (১৯৯)) আপনার উদাহরণের জন্য পি-ভ্যালুর সূত্র সরবরাহ করে যখন এবং , পৃষ্ঠা 204-এ সূত্র (2) দেখুন p আপনি যদি কোনও পি-মান গণনা করতে চান তবে আপনাকে অবশ্যই সেই সূত্রের জন্য পর্যাপ্ত পরিমাণ থাকতে হবে আপনার ক্ষেত্রে. $n=1$ $\sigma^2 = 1$

প্যাট্রিয়োটা (২০১৩) সাধারণ নাল হাইপোথেসিস (যৌগিক বা সাধারণ নাল অনুমান) যা পরীক্ষা করার জন্য যৌক্তিক পরিণতিটিকে সম্মান করে তার জন্য একটি নতুন পরিমাপের প্রমাণ দেয়। এই পরিমাপকে কাগজে এস-মান বলা হয়। আপনার উদাহরণের জন্য পদ্ধতিটি তুলনামূলক সহজ:

(একটি অ্যাসিপটোটিক এক) এর জন্য একটি (1- ) আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান খুঁজুন : , যেখানে the নমুনা গড়, নমুনা বৈকল্পিক , হল একটি আদর্শ সাধারণ বিতরণের distribution কোয়ান্টাইল এবং নমুনার আকার। $\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
মানটি সন্ধান করুন যার জন্য এর প্রশস্ততা ন্যূনতম এবং কমপক্ষে একটি উপাদান (যেমন, সীমানা) এর সাথে মিল রয়েছে )। এই এর ভ্যালু। $\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
একদিকে, যদি , থাকে , তবে পর্যবেক্ষণ করা নমুনা নাল হাইপোথেসিস ; যদি ভ্যালু যথেষ্ট ছোট হয় তবে আপনি নালটি গ্রহণ করতে পারবেন। অন্যদিকে, যদি তবে পর্যবেক্ষণ করা নমুনা নাল হাইপোথেসিস বিরুদ্ধে তথ্য সরবরাহ ; যদি ভ্যালু যথেষ্ট ছোট হয় তবে আপনি নালটিকে প্রত্যাখ্যান করতে পারেন। অন্যথায়, আপনি নাল বাতিল বা গ্রহণ করা উচিত নয়। $\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$

লক্ষ্য করুন যে, যদি এবং নিজ নিজ -value অত্যন্ত ছোট, এর অর্থ এই যে বিকল্প হাইপোথিসিস অত্যন্ত পর্যন্ত সর্বোচ্চ বিশ্বাসযোগ্য মান থেকে দূরে, । তাহলে এবং নিজ নিজ -value অত্যন্ত ছোট, এর অর্থ এই যে নাল হাইপোথিসিস অত্যন্ত পর্যন্ত সর্বোচ্চ বিশ্বাসযোগ্য মান, থেকে দূরে । সিদ্ধান্তটি আরও ভাল করে বুঝতে আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান এবং আগ্রহের নাল অনুমানকে উপস্থাপন করার জন্য একটি ছবি আঁকার চেষ্টা করুন। আরও তথ্যের জন্য দয়া করে মূল কাগজ প্যাট্রিয়োটা (2013) পড়ুন। $\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$

এই ভ্যালুটি ব্যবহার করে নালকে গ্রহণ বা প্রত্যাখ্যান করার জন্য কীভাবে অবজেক্ট থ্রেশহোল্ডগুলি সন্ধান করা যায় তা এখনও একটি উন্মুক্ত সমস্যা। এই পদ্ধতিরটি দুর্দান্ত কারণ আমরা এখন নাল অনুমানটি গ্রহণ করতে পারি। যখনই পর্যবেক্ষণ করা নমুনা শূন্যের সাথে সম্মতি দেয় এবং এটি বিকল্প থেকে দূরে থাকে তখনই এটি অর্থবোধ করে। আপনার উদাহরণে এটি , , এবং । এটি দেখতে খুব সহজ যে তথ্যগুলির ঘনত্বটি (স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটির দশগুণ) এর উপর চূড়ান্তভাবে কেন্দ্রীভূত । দিয়ে খালি খালি চৌরাস্তা পেতে এটি 99900 স্ট্যান্ডার্ড ত্রুটিগুলির প্রয়োজন। অতএব, এটি গ্রহণ করা যথেষ্ট ন্যায্য হবে $s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$ এই ক্ষেত্রে ।

তথ্যসূত্র:

প্যাট্রিয়োটা, এজি (2013)। সাধারণ নাল হাইপোথেসিস, ফাজী সেটস এবং সিস্টেমস, ২৩৩, –৪-৮৮

শেরভিশ, এমজে (1996)। পি মানগুলি: তারা কী এবং তারা কী নয়, আমেরিকান পরিসংখ্যানবিদ, 50, 203–206।

— আলেকজান্দ্রে প্যাট্রিয়োটা
সূত্র