উপর অভিন্ন বিতরণের জন্য ইউক্লিডিয় আদর্শ লেজের সীমা

Question

সমানভাবে নির্বাচিত উপাদানটির ইউক্যালিডিয়ান আদর্শ কতবার উপরের সীমাগুলি হিসাবে পরিচিত $\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$ প্রদত্ত প্রান্তিকের চেয়ে বড় হবে?

আমি মূলত এমন সীমানাগুলিতে আগ্রহী যা ঘনঘন শূন্যে রূপান্তরিত হয় যখন $n$ চেয়ে অনেক কম থাকে ।$d$

Comments

এই প্রান্তিক মান জন্য উত্তর দিতে সহজ $t\le n$ --you're শুধু hyperspheres এর ভলিউম কম্পিউটিং - আরো কঠিন কিন্তু কাজ করার $t \gt n$ । আপনি কি এই পরিস্থিতিতে একটি হয়?

— হোবার

আমার লাগতো $\: t > n \;\;$। $\;\;\;\;$

— রিকি ডেমার

এই মুহুর্তে আমার কাছে বিশদ উত্তর পোস্ট করার মতো সময় নেই, তবে এর মধ্যেই এখানে একটি ইঙ্গিত দেওয়া হয়েছে: স্ট্যান্ডার্ড চেরনফ বাউন্ড কৌশল ব্যবহার করে একই অর্থের সাথে বাইনোমিয়াল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সাথে তুলনা করুন $\sum_k (X_k/n)^2$। এটি যথাযথ a এবং b সরবরাহিত t > n for এর জন্য ফর্মের একটি সীমা প্রদান করবে $a^d e^{-b t^2}$$a$$b$$t > n \sqrt{d (n+1)/3n}$ যা স্কোয়ারড ইউক্লিডিয়ান দূরত্বের অর্থ কী তা একবার চিন্তা করলে আপনি তা বোধগম্য হন। আশা করি কিছু সাহায্য করবে।

— কার্ডিনাল

Answer 1

স্বজ্ঞাতভাবে, এটি সুস্পষ্ট হওয়া উচিত যে একটি বিন্দুটির স্থানাঙ্কগুলি ইউনিফর্ম বিতরণ থেকে এলোমেলোভাবে নমুনাযুক্ত মাত্রার অভিশাপের কারণে ছোট্ট মডুলাস হওয়া উচিত। হিসাবে বেড়ে যায়, সম্ভাব্যতা যে একটি বিন্দু পরিমাণ থেকে এলোমেলোভাবে নমুনা ঘ -dimensional ইউনিট বল দূরত্ব কম আছে বা এর সমান হবে ε কেন্দ্র থেকে ε ঘ , যা ব্যাখ্যা মূলকভাবে ফাস্ট ড্রপ।$d$$d$$\epsilon$$\epsilon^{d}$

আমি কার্ডিনালের সমাধানটির সম্পূর্ণ সংস্করণ দেব।

পূর্ণসংখ্যার উপর একটি পৃথক, অভিন্ন বিতরণের স্বতন্ত্র অনুলিপি হতে দাও - n ⩽ k ⩽ n । স্পষ্টতই, , এবং এটি সহজেই গণনা করা যায় যে$X_i$$-n \leqslant k \leqslant n$Var স্বাগতম ( এক্স আমি ) = ঢ ( এন + + 1 $\mathbb{E}[X] = 0$$\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

সেই এবং সেই ভার ( এক্স 2 আই ) = ই [ এক্স 4 আই ] - ই [ এক্স 2 আই ] $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

সুতরাং,$\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$ গণনা

যাক$Y_i = X_i^2$

$$\sum_{i=1}^d Y_i = (\text{Distance of Randomly Sampled Point to Origin})^2$$

আমি আগামীকাল এটি শেষ করব, তবে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এই ভেরিয়েবলটির গড় গড় প্রায় , তবে of points পয়েন্টের ভগ্নাংশের সর্বাধিকতম দূরত্বের চেয়ে কম দূরত্ব রয়েছে 2-ডিডিএন$\frac{n^2}{3}$$2^{-d}$$\frac{dn^2}{2}$

Answer 2

সব যদি উপর স্বাধীন বিযুক্ত ইউনিফর্ম অনুসরণ , তারপর যেমন আছে থেকে পছন্দ করে নিন মূল্যবোধ ও তাদের গড় 0, আমরা সব জন্য আছে : [ - n , n ] 2 এন + 1 $X_i$$[-n, n]$$2n+1$$i$

, এবং$\mathbb{E}(X_i)= 0$

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

যদি ভেক্টরের স্কোয়ারড ইউক্লিডিয় আদর্শ ( এক্স 1 , এক্স 2 , । । । এক্স ঘ ) , এবং কারণ স্বাধীনতার এক্স আমি :$S$$(X_1, X_2, ... X_d)$$X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

এখান থেকে আপনি মার্কভের অসমতা ব্যবহার করতে পারেন: $\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

সঙ্গে এই বাউন্ড রি , কারণ যখন যা স্বাভাবিক ঘ বৃহত্তর যখন একটি নির্দিষ্ট থ্রেশহোল্ড তুলনায় ইউক্লিডিয় আদর্শ বৃহত্তর পায় একটি ।$d$$d$$a$

এখন যদি আপনি সংজ্ঞায়িত একটি "স্বাভাবিক" স্কোয়ারড আদর্শ (কোন ব্যাপার কিভাবে বড় একই প্রত্যাশিত মূল্য আছে যেমন ঘ আপনি পেতে):$S^*$$d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

কমপক্ষে এই সীমাটি দিয়ে বাড়বে না , তবে এটি তাত্পর্যপূর্ণভাবে হ্রাস পাচ্ছে এমন আপনার অনুসন্ধান সলিউড থেকে অনেক দূরে! আমি ভাবছি মার্কোভ বৈষম্যের দুর্বলতার কারণে এটি হতে পারে কিনা ...$d$

আমার মনে হয় আপনার প্রশ্নটি যথাযথভাবে করা উচিত, কারণ আপনার ভেক্টরগুলির গড় ইউক্যালিডিয়ান রীতিটি উপরে উল্লিখিতভাবে বৃদ্ধি পেয়েছে , সুতরাং আপনি পি ( এস > এ ) এর জন্য একটি উচ্চতর সীমা খুঁজে পাওয়ার খুব সম্ভাবনা নেই যা একটি নির্দিষ্ট প্রান্তিকের সাথে ডি-তে হ্রাস পাচ্ছে you ক ।$d$$\mathbb{P}(S > a)$$d$$a$