ফিশার তথ্য ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের শর্তাদি

Question

ফিশার ইনফরমেশন ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের জন্য বিভিন্ন পাঠ্যপুস্তক বিভিন্ন অবস্থার উল্লেখ করে। এই জাতীয় বেশ কয়েকটি শর্ত নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে, যার প্রত্যেকটি "ফিশার ইনফরমেশন ম্যাট্রিক্স" এর সংজ্ঞাগুলির মধ্যে কিছুতে দেখা গেছে, তবে সমস্ত নয়।

1. শর্তগুলির একটি মানক, ন্যূনতম সেট আছে?
2. নীচের ৫ টি শর্তের মধ্যে কোনটি শেষ করা যাবে?
3. যদি শর্তগুলির মধ্যে একটি থেকে দূরে সরিয়ে নেওয়া যায় তবে আপনি কেন এটি বিবেচনা করবেন যে এটি প্রথম স্থানের অন্তর্ভুক্ত ছিল?
4. শর্তগুলির মধ্যে একটিও যদি সম্পন্ন করা যায় না, তার মানে কি এই যে পাঠ্যপুস্তকগুলি এটি নির্দিষ্ট করে নি সেগুলি একটি ভুল বা কমপক্ষে একটি অসম্পূর্ণ সংজ্ঞা দিয়েছে?

1. জ্যাকস, পরিসংখ্যানগত অনুক্রমের তত্ত্ব (১৯ 1971১), পি। 194
   ম্যাট্রিক্স সব জন্য ইতিবাচক নির্দিষ্ট হয় θ ∈ Θ । $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. শেরভিশ, পরিসংখ্যানের তত্ত্ব (1997, দ্বিতীয় তৃতীয় প্রিন্টিং), সংজ্ঞা 2.78, পি। 111
   সেট সকলের জন্য সমান θ । $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. বোরোভকভ, গাণিতিক পরিসংখ্যান (1998)। পি। 147
   হয় ক্রমাগত differentiable wrt θ আমি । $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. বোরোভকভ, গাণিতিক পরিসংখ্যান (1998)। পি। 147
   অবিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন। $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. গৌরিওক্স এবং মনফর্ট, পরিসংখ্যান এবং একনোমেট্রিক মডেল, প্রথম খণ্ড (1995)। সংজ্ঞা (ক), পৃষ্ঠা 81-82
   বিদ্যমান $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

তুলনায়, এখানে লেহম্যান এবং ক্যাসেল্লায় অবস্থার সম্পূর্ণ তালিকা রয়েছে is পয়েন্ট অনুমানের তত্ত্ব (1998)। পি। 124 :

1. একটি খোলা বিরতি আছে (সসীম, অসীম, বা অর্ধ-অসীম) $\Theta$
2. $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$

এবং এখানে বারার শর্তগুলির সম্পূর্ণ তালিকা রয়েছে , নোটিশগুলি ফান্ডমেন্টালস ডি স্ট্যাটিস্টিক গণিত (১৯ 1971১)। সংজ্ঞা 1, পি। 35 :

$\theta\in\Theta$$=0$

$\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

Answer 1

আমার কাছে সমস্ত রেফারেন্স অ্যাক্সেস নেই তবে আমি আপনার কয়েকটি পয়েন্টে কয়েকটি মন্তব্য তুলে ধরতে চাই:

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• এফআইএমের অস্তিত্বের জন্য সাধারণ শর্তাবলী প্রতিষ্ঠা করা বেশ কয়েকটি মডেলকে এড়িয়ে চলা ছাড়া এফআইএমের প্রকৃত পক্ষে বিদ্যমান। উদাহরণস্বরূপ, পৃথকযোগ্যতা শর্তটি এফআইএমের অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত নয়। এর উদাহরণ হ'ল ডাবল এক্সপেনশনিয়াল বা ল্যাপ্লেস মডেল। সংশ্লিষ্ট এফআইএম ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তবে ঘনত্বটি মোডে দ্বিগুণভাবে পৃথক নয়। কিছু অন্যান্য মডেল যা দ্বিগুণভাবে পৃথক হতে পারে তাদের খারাপ আচরণযুক্ত এফআইএম থাকে এবং কিছু অতিরিক্ত শর্তের প্রয়োজন হয় ( এই কাগজটি দেখুন )।

খুব সাধারণ পর্যাপ্ত শর্ত নিয়ে আসা সম্ভব তবে তারা খুব কঠোর হতে পারে। এফআইএমের অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি পুরোপুরি অধ্যয়ন করা হয়নি। তারপরে, আপনার প্রথম প্রশ্নের উত্তর সহজ নাও হতে পারে।