র‌্যাডম্যাচার র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

যাক স্বাধীন র্যান্ডম মান গ্রহণ ভেরিয়েবল হতে বা সম্ভাব্যতা 0.5 সাথে। যোগফল । আমি সম্ভাবনা উপরের আবদ্ধ করতে চাই । আমার এই মুহুর্তে সেরা হ'ল যেখানে সর্বজনীন ধ্রুবক। সাধারণ মাধ্যমে সম্ভাব্যতা কম এবং এবং সীমাবদ্ধ করে এটি অর্জন করা হয়। আমি কি এমন কিছু পাওয়ার আশা করতে পারি যা এই সীমাটির চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে ভাল? শুরুর জন্য আমি কমপক্ষে পেতে পারি $x_1 \ldots x_a,y_1 \ldots y_b$ $+1$ $-1$ $S = \sum_{i,j} x_i\times y_j$ $P(|S| > t)$ $2e^{-\frac{ct}{\max(a,b)}}$ $c$ $Pr(|x_1 + \dots + x_n|<\sqrt{t})$ $Pr(|y_1 + \dots + y_n|<\sqrt{t})$ $e^{-c\frac{t}{\sqrt{ab}}}$ । যদি আমি উপ-গাউশিয়ান লেজগুলি পেতে পারি যা সম্ভবত সেরা হতে পারে তবে আমরা কি এটি আশা করতে পারি (আমি এটি মনে করি না তবে কোনও যুক্তি ভাবতে পারি না)?

probability random-variable bernoulli-distribution

— user1189053
সূত্র

আপনি সরাসরি

আবদ্ধ চেরনফ প্রয়োগের কথা বিবেচনা করেছেন

S

$S$ ? আপনি

E [\exp (λ S] = E [λ \sum_{i} \sum_{j} X_{i} Y_{j}] = E [λ (\sum_{i} X_{i}) (\sum_{j} Y_{j})]

$E[\exp(\lambda S]=E\left[\lambda \sum_i\sum_j X_iY_j\right]=E\left[\lambda\left(\sum_i X_i\right)\left(\sum_j Y_j\right)\right]$

— দিলীপ সরোতে

জন্য আপনার বাউন্ডে একটি সুস্পষ্ট উন্নতি আছে

t > a b

$t \gt ab$ , তারপরে সম্ভাবনাটি শূন্য হতে হবে। আমার কাছে মনে হচ্ছে এটি একটি "উপ-গাউসিয়ান" লেজ :-)। আপনার বাঁধাটিও ভুল বলে মনে হচ্ছে: নিয়ত

ভেরিয়েবলগুলি

1

$1$ এই প্রশ্নের শর্ত পূরণ করে। জন্য

a = b

$a=b$ এবং

t = a^{2} - 1

$t=a^2-1$ সম্ভাব্যতা

1

$1$ কিন্তু আপনার আবদ্ধ হয় এসিম্পটোটিকভাবে

2 \exp (- c a) \to 0

$2\exp(-ca) \to 0$ হিসাবে

a

$a$ বৃহৎ বৃদ্ধি।

— whuber

সমস্ত ভেরিয়েবলের 1 হওয়ার সম্ভাবনা তাত্পর্যপূর্ণভাবে নেমে যায়। আমি মনে করি না আমি আপনার মন্তব্য বুঝতে পেরেছি। জন্য এবং আবদ্ধ আমি বিবৃত বেশ জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ সমষ্টি তার চেয়ে অনেক বেশী হওয়ার সম্ভাবনা যেমন সত্য হয়

a = b

$a=b$

t = a^{2} - 1

$t=a^2 -1$

t^{2} - 1

$t^2 - 1$

2^{- (a - 1)} \leq e^{- l n (2) c (a - 1 / a)}

$2^{-(a-1)} \leq e^{-ln(2)c(a-1/a)}$

— ব্যবহারকারী 1189053

আমার একটি ভুল সম্পর্কে আমি দুঃখিত। আমি ভেবেছিলাম উপরে আমি ইউনিফর্মালি উল্লেখ করেছি। সুতরাং পি = 1/2 এবং আমরা অসমতা ধরে রাখার জন্য যে কোনও ধ্রুবক (প্রয়োজনে) এর চেয়ে বড় এবং আরও নিতে পারি

— ব্যবহারকারী 1189053

যতক্ষণ না আমার চোখ আমাকে প্রতারিত করে, আপনি কোনও সংখ্যার পণ্য বিবেচনা করছেন products :-)

— মূল

উত্তর:

বীজগণিত সম্পর্ক

এস = \underset{আমি, ঞ}{Σ} {এক্স}_{আমি} Y_{ঞ} = \underset{আমি}{Σ} {এক্স}_{আমি} \underset{ঞ}{Σ} Y_{ঞ}

$S = \sum_{i,j} x_i y_j = \sum_i x_i \sum_j y_j$

দুটি স্বতন্ত্র অঙ্কের পণ্য হিসাবে প্রদর্শন করে । কারণ এবং স্বতন্ত্র বার্নৌলি বৈকল্পিক, একটি দ্বিপদী পরিবর্তনশীল যা দ্বিগুণ এবং স্থানান্তরিত করা হয়েছে। সুতরাং এর গড় এবং এর প্রকরণটি । একইভাবে এর গড় এবং বিবর্তন রয়েছে । আসুন এখনই তাদের সংজ্ঞায়িত করে প্রমিতকরণ করুন $S$ $(x_i+1)/2$ $(y_j+1)/2$ $(1/2)$ $X=\sum_{i=1}^a x_i$ $(a, 1/2)$ $0$ $a$ $Y=\sum_{j=1}^b y_j$ $0$ $b$

{এক্স}_{একটি} = \frac{1}{\sqrt{একটি}} Σ_{আমি = 1}^{একটি} {এক্স}_{আমি},

$X_a = \frac{1}{\sqrt a} \sum_{i=1}^a x_i,$

কোথা হইতে

এস = \sqrt{একটি খ} {এক্স}_{একটি} {এক্স}_{খ} = \sqrt{একটি খ} {জেড}_{একটি খ} ।

$S = \sqrt{ab} X_a X_b = \sqrt{ab}Z_{ab}.$

সঠিকতা একটি উচ্চ (এবং গণনীয়) ডিগ্রী, হিসাবে বৃদ্ধি বৃহৎ আদর্শ সাধারন বন্টনের পন্থা। সুতরাং আসুন আমরা দুটি স্ট্যান্ডার্ড নরমালগুলির গুণমান হিসাবে হিসাবে আনুমানিক । $a$ $X_a$ $S$ $\sqrt{ab}$

পরবর্তী পদক্ষেপটি লক্ষ্য করা হয়

{জেড}_{একটি খ} = {এক্স}_{একটি} {এক্স}_{খ} = \frac{1}{2} ({(\frac{{এক্স}_{একটি} + + {এক্স}_{খ}}{\sqrt{2}})}^{2} - {(\frac{{এক্স}_{একটি} - {এক্স}_{খ}}{\sqrt{2}})}^{2}) = \frac{1}{2} ({ইউ}^{2} - {ভী}^{2}) ।

$Z_{ab} = X_aX_b = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{X_a+X_b}{\sqrt 2}\right)^2 - \left(\frac{X_a-X_b}{\sqrt 2}\right)^2 \right) = \frac{1}{2}\left(U^2 - V^2\right).$

স্বাধীন স্ট্যান্ডার্ড সাধারণ ভেরিয়েবল এবং এর স্কোয়ারের পার্থক্যের একাধিক । of এর বিতরণ বিশ্লেষণাত্মকভাবে গণনা করা যেতে পারে ( বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনটি ): এর পিডিএফ শৃঙ্খলার বেসেল ফাংশনের সাথে সমানুপাতিক, কে । যেহেতু এই ফাংশনটির সূচকযুক্ত লেজ রয়েছে, তাই আমরা অবিলম্বে উপসংহারে পৌঁছলাম যে বড় এবং এবং স্থির , প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেয়ে চেয়ে ভাল আর কোনও অনুমান করা যায় না। $U$ $V$ $Z_{ab}$ $K_0(|z|)/\pi$ $a$ $b$ $t$ ${\Pr}_{a,b}(S \gt t)$

উন্নতির জন্য কিছু জায়গা নেই অবশেষ যখন এক (অন্তত) এর এবং বড় বা এর লেজ পয়েন্ট হয় না পাসে । বিতরণের সরাসরি গণনার একটি চেয়ে অনেক বড় বিন্দুতে লেজ সম্ভাব্যতার বন্ধ সরুকারী বাঁকা দেন , প্রায় পরলোক । এর সিডিএফ এই লগ-রৈখিক প্লট বিভিন্ন মানের জন্য (শিরোনাম দেওয়া) এবং (হিসাবে একই মান ধরে মোটামুটিভাবে ছোটো , প্রতিটি চক্রান্ত রঙের আলাদা) দেন কি হচ্ছে। রেফারেন্স, সীমাবদ্ধতা গ্রাফের জন্য $a$ $b$ $S$ $\pm a b$ $S$ $\sqrt{ab}$ $\sqrt{ab\max(a,b)}$ $S$ $a$ $b$ $a$ $K_0$ বিতরণ কালো দেখানো হয়। (কারণ প্রায় , প্রতিসাম্যযুক্ত , তাই এটি নেতিবাচক লেজটি দেখার পক্ষে যথেষ্ট) $S$ $0$ $\Pr(S \gt t) = \Pr(-S \lt -t)$

পরিসংখ্যান

হিসাবে বৃহত্তর বৃদ্ধি, সিডিএফ রেফারেন্স লাইন কাছাকাছি বৃদ্ধি। $b$

এই বক্ররেখার বৈশিষ্ট্য ও পরিমাণ নির্ধারণের জন্য দ্বিপদী পরিবর্তনের স্বাভাবিক অনুমানের একটি সূক্ষ্ম বিশ্লেষণের প্রয়োজন হবে।

বেসেল ফাংশন সান্নিধ্যের গুণমান এই বিস্তৃত অংশগুলিতে (প্রতিটি প্লটের উপরের ডান দিকের কোণায়) আরও স্পষ্ট হয়। আমরা ইতিমধ্যে লেজগুলিতে বেশ দূরে আছি। যদিও লগারিদমিক ভার্টিকাল স্কেল যথেষ্ট পরিমাণে পার্থক্যগুলি আড়াল করতে পারে, স্পষ্টতই যখন পৌঁছেছে তখন । $a$ $500$ $|S| \lt a\sqrt{b}$

Insets

এর বিতরণ গণনা করার জন্য কোড $S$

নিম্নলিখিতটি কার্যকর করতে কয়েক সেকেন্ড সময় নেবে। (এটা 36 সমন্বয় জন্য কয়েক মিলিয়ন সম্ভাব্যতা নির্ণয় এবং ।) ধীর মেশিন অন, বড় একটি বা দুটি মান বাদ এবং থেকে নিম্ন চক্রান্ত সীমা বৃদ্ধি প্রায় থেকে । $a$ $b$ ab $10^{-300}$ $10^{-160}$

s <- function(a, b) {
  # Returns the distribution of S as a vector indexed by its support.
  products <- factor(as.vector(outer(seq(-a, a, by=2), seq(-b, b, by=2))))
  probs <- as.vector(outer(dbinom(0:a, a, 1/2), dbinom(0:b, b, 1/2)))
  tapply(probs, products, sum)
}

par(mfrow=c(2,3))
b.vec <- c(51, 101, 149, 201, 299, 501)
cols <- terrain.colors(length(b.vec)+1)
for (a in c(50, 100, 150, 200, 300, 500)) {
  plot(c(-sqrt(a*max(b.vec)),0), c(10^(-300), 1), type="n", log="y", 
       xlab="S/sqrt(ab)", ylab="CDF", main=paste(a))
  curve(besselK(abs(x), 0)/pi, lwd=2, add=TRUE)
  for (j in 1:length(b.vec)) {
    b <- b.vec[j]
    x <- s(a,b)
    n <- as.numeric(names(x))
    k <- n <= 0
    y <- cumsum(x[k])
    lines(n[k]/sqrt(a*b), y, col=cols[j], lwd=2)
  }
}

— whuber
সূত্র

খুব সুন্দরভাবে সম্পন্ন! কেউ 2 স্ট্যান্ডার্ড নরমালসের পণ্যের সিডিএফের জন্য সঠিক ফর্মটি পেতে পারেন theণাত্মক লেজের জন্য, এটি 1/2 (1 + y BesselK[0,-y] StruveL[-1, y] - y BesselK[1,-y] StruveL[0, y])। এটি দেখতে আকর্ষণীয় হবে: (ক) ওপি'র গণ্ডি কীভাবে সম্পাদন করে এবং (খ) আপনার সাধারণ আনুমানিকতা সম্পাদন করে, আমরা যে ক্ষেত্রে উপরের দিকে তাকিয়ে ছিলাম, যেমন সঠিক পিএমএফ বিচ্ছিন্ন সমাধানটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত।

a = 5, b = 7

$a=5, b= 7$

— নেকখরা

@wolfies হ্যাঁ, আমি যে অভিব্যক্তি খুব প্রাপ্ত: এটা এর পুচ্ছ সংহত । যেহেতু চূড়ান্ত লেজগুলিতে সঠিক বিতরণটি এ থেকে প্রস্থান করে, সেগুলি অবিচ্ছেদ্য বিশ্লেষণকে আর কোনওভাবে বহন করা সার্থক বলে মনে হয় নি। যৌক্তিক পরবর্তী পদক্ষেপটি লেজগুলির আরও বিচক্ষণ বিশ্লেষণ, যার অর্থ সাধারণ অনুমানের বাইরে যাওয়া।

K_{0}

$K_0$

— whuber

মন্তব্য: প্রশ্নটিতে আরভি-র কী ধরণের বিবেচনা করা হয় তা আরও ভালভাবে প্রতিবিম্বিত করার চেষ্টা করে আমি শিরোনাম সম্পাদনা করেছি। যে কেউ পুনরায় সম্পাদনা করতে দ্বিধা বোধ করেন।

অনুপ্রেরণা: আমি অনুমান করি যে উপরের আবদ্ধের জন্য নিষ্পত্তি করার দরকার নেই, যদি আমরা বিতরণ করতে পারি $|S_{ab}|$ । ( আপডেট : আমরা ভুবার মন্তব্য ও উত্তর দেখতে পারি না )।

বোঝাতে । এটি যাচাই করা সহজ যে এর এবং এর সমান বিতরণ রয়েছে । মুহূর্তটি উত্পন্ন করার ফাংশনটি $Z_k = X_iY_j,\;\; k=1,...,ab$ $Z$ $X$ $Y$

{এম}_{জেড} (টি) = ই [ই^{z- র টি}] = \frac{1}{2} ই^{- টি} + + \frac{1}{2} ই^{টি} = ক্ষুদ্র ভারী দণ্ড (টি)

$M_Z(t) = E[e^{zt}]=\frac 12e^{-t}+\frac 12e^t = \cosh(t)$

তদুপরি $Z$ এর শুরুটি হ'ল, যুগল-ভিত্তিক স্বাধীন: পরিবর্তনশীল vari $W = Z_1+Z_2$ (সূচকগুলি অবশ্যই যে কোনও হতে পারে), এর সমর্থন রয়েছে $\{-2,0,2\}$ সম্পর্কিত সম্ভাব্যতা সহ $\{1/4,1/2,1/4\}$ । এটির মুহূর্তটি উত্পন্ন করার কাজ

{এম}_{ওয়াট} (টি) = ই [ই^{({z- র}_{1} + + {z- র}_{2}) টি}] = \frac{1}{4} ই^{- 2 টি} + + \frac{1}{2} + + \frac{1}{4} ই^{2 টি} = = \frac{1}{4} (ই^{- 2 টি} + + 1) + + \frac{1}{4} (ই^{2 টি} + + 1) = \frac{1}{4} 2 ই^{- টি} ক্ষুদ্র ভারী দণ্ড (টি) + + \frac{1}{4} 2 ই^{টি} ক্ষুদ্র ভারী দণ্ড (টি) = ক্ষুদ্র ভারী দণ্ড (টি) \cdot ক্ষুদ্র ভারী দণ্ড (টি) = {এম}_{{জেড}_{1}} (টি) {এম}_{{জেড}_{2}} (টি)

$M_{W}(t) = E[e^{(z_1+z_2)t}] = \frac 14e^{-2t}+\frac 12 +\frac 14e^{2t}=\\ =\frac 14(e^{-2t}+1)+ \frac 14(e^{2t}+1) = \frac 14 2e^{-t}\cosh(t)+\frac 14 2e^{t}\cosh(t)\\ =\cosh(t)\cdot \cosh(t) = M_{Z_1}(t)M_{Z_2}(t)$

আমি নীচের মত পূর্ণ স্বাধীনতা ধরে রেখেছি সন্দেহ করার চেষ্টা করব (এটি কি জ্ঞানী ব্যক্তিদের কাছে সুস্পষ্ট?): এই অংশটির জন্য, বোঝান $Z_{ij}=X_iY_j$ । তারপরে চেইন রুল দিয়ে

P [Z_{a b}, . . ., Z_{11}] = P [Z_{a b} ∣ Z_{a, b - 1}, . . ., Z_{11}] \cdot . . . \cdot P [Z_{13} ∣ Z_{12}, Z_{11}] \cdot P [Z_{12} ∣ Z_{11}] \cdot P [Z_{11}]

$P[Z_{ab},...,Z_{11}] = P[Z_{ab}\mid Z_{a,b-1},...,Z_{11}]\cdot ...\cdot P[Z_{13}\mid Z_{12},Z_{11}]\cdot P[Z_{12}\mid Z_{11}]\cdot P[Z_{11}]$

যুগ যুগম স্বাধীনতা আমরা পেয়েছি $P[Z_{12}\mid Z_{11}] = P[Z_{12}]$ ।
বিবেচনা $P[Z_{13},Z_{12}\mid Z_{11}]$ । $Z_{13}$ এবং $Z_{12}$ স্বাধীন শর্তাধীন হয় $Z_{11}$ তাহলে আমাদের আছে

P [Z_{13} ∣ Z_{12}, Z_{11}] = P [Z_{13} ∣ Z_{11}] = P [Z_{13}]

$P[Z_{13}\mid Z_{12},Z_{11}] = P[Z_{13}\mid Z_{11}] = P[Z_{13}]$ যুগ যুগম স্বাধীনতা দ্বারা দ্বিতীয় সমতা। তবে এটি সূচিত করে

P [Z_{13} ∣ Z_{12}, Z_{11}] \cdot P [Z_{12} ∣ Z_{11}] \cdot P [Z_{11}] = P [Z_{13}, Z_{12}, Z_{11}] = P [Z_{13}] \cdot P [Z_{12}] \cdot P [Z_{11}]

$P[Z_{13}\mid Z_{12},Z_{11}]\cdot P[Z_{12}\mid Z_{11}]\cdot P[Z_{11}] = P[Z_{13},\,Z_{12},\,Z_{11}] = P[Z_{13}]\cdot P[Z_{12}]\cdot P[Z_{11}]$

ইত্যাদি (আমার মনে হয়) ( আপডেট : আমি ভুল মনে করি । স্বাধীনতা সম্ভবত কোনও ত্রিপলীর জন্য ধারণ করে তবে পুরো গুচ্ছের পক্ষে নয় So সুতরাং এরপরে যা ঘটেছিল তা কেবল একটি সরল এলোমেলো পদক্ষেপের বিতরণ, এবং প্রশ্নের সঠিক উত্তর নয় - দেখুন ওল্ফিজ 'এবং ভুবারের উত্তর)।

যদি সম্পূর্ণ স্বাধীনতা প্রকৃতপক্ষে ধরে রাখে, তবে আমাদের আইআইডি ডিকোটমাস আরভির যোগফলের বিস্তৃতকরণের কাজ রয়েছে

S_{a b} = \sum_{k = 1}^{a b} Z_{k}

$S_{ab}=\sum_{k=1}^{ab}Z_k$

যা দেখতে সাধারণ এলোমেলো হাঁটার মতো , যদিও এটি পরের ক্রম হিসাবে স্পষ্ট ব্যাখ্যা ছাড়াই।

যদি $ab=even$ এর সমর্থন $S$ সমান পূর্ণসংখ্যা হবে $[-ab,...,ab]$ শূন্য সহ, যদিও $ab=odd$ এর সমর্থন $S$ বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হবে $[-ab,...,ab]$ শূন্য ছাড়া।

আমরা কেস এর চিকিত্সা $ab=odd$ ।
বোঝান $m$ সংখ্যা হতে $Z$ মান নিচ্ছে $-1$ । তারপরে সমর্থন $S$ লেখা যেতে পারে $S\in \{ab-2m;m\in \mathbb Z_+\cup\{0\};m\le ab\}$ । যে কোনও দেওয়া $m$ , আমরা এর জন্য একটি অনন্য মূল্য অর্জন করি $S$ । তদ্ব্যতীত, প্রতিসম সম্ভাব্যতা এবং স্বাধীনতার কারণে (বা কেবল বিনিময়যোগ্যতা?), এর সমস্ত সম্ভাব্য যৌথ উপলব্ধি iz $Z$ -variables $\{Z_1=z_1,..., Z_{ab}=z_{ab}\}$ সমকক্ষ হয়। সুতরাং আমরা গণনা করি এবং আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এর সম্ভাব্যতা গণ ফাংশন $S$ হল

P (S = a b - 2 m) = (\binom{a b}{m}) \cdot \frac{1}{2^{a b}}, 0 \leq m \leq a b

$P(S=ab-2m)={ab \choose m}\cdot \frac 1{2^{ab}}, \qquad 0\le m\le ab$

সংজ্ঞা $s\equiv ab-2m$ , এবং নির্মাণের মাধ্যমে বিজোড় সংখ্যা এবং এর সমর্থনের সাধারণ উপাদান $S$ , আমাদের আছে

P (S = s) = (\binom{a b}{\frac{a b - s}{2}}) \cdot \frac{1}{2^{a b}}

$P(S=s)={ab \choose \frac{ab-s}{2}}\cdot \frac 1{2^{ab}}$

চলন্ত $|S|$ , যেহেতু $ab=odd$ , বিতরণ $S$ সম্ভাব্যতার ভর শূন্যে বরাদ্দ না করে শূন্যের কাছাকাছি প্রতিসাম্য এবং তাই এর বিতরণ $|S|$ উল্লম্ব অক্ষের চারপাশে ঘনত্বের গ্রাফটি "ভাঁজ" করার মাধ্যমে প্রাপ্ত হয়, ইতিবাচক মানের জন্য সম্ভাব্যতাগুলি দ্বিগুণ করে,

P (| S | = | s |) = (\binom{a b}{\frac{a b - s}{2}}) \cdot \frac{1}{2^{a b - 1}}

$P(|S|=|s|)={ab \choose \frac{ab-s}{2}}\cdot \frac 1{2^{ab-1}}$

তারপরে ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনটি হ'ল

P (| S | \leq | s |) = \frac{1}{2^{a b - 1}} \sum_{1 \leq i \leq s, i o d d} (\binom{a b}{\frac{a b - i}{2}})

$P(|S|\le|s|)=\frac 1{2^{ab-1}}\sum_{1\le i\le s,\, i\,odd}{ab \choose \frac{ab-i}{2}}$

সুতরাং, কোনও বাস্তবের জন্য $t$ , $1\le t<ab$ , আমরা প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা অর্জন করি

পি (| এস | > টি) = 1 - পি (| এস | \leq টি) = 1 - \frac{1}{2^{একটি খ - 1}} \underset{1 \leq আমি \leq টি, আমি ণ ঘ ঘ}{Σ} (\binom{একটি খ}{\frac{একটি খ - আমি}{2}})

$P(|S|> t) = 1- P(|S|\le t) = 1-\frac 1{2^{ab-1}}\sum_{1\le i\le t,\, i\,odd}{ab \choose {\frac{ab-i}{2}}}$

লক্ষ করুন যে ইঙ্গিত $i=odd$ গ্যারান্টি দেয় যে যোগফলটি কেবলমাত্র সমর্থনগুলিতে অন্তর্ভুক্ত মানগুলিতে চলে $|S|$ - উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা সেট করি $t=10.5$ , এখনও $i$ পর্যন্ত চালানো হবে $9$ , যেহেতু এটি পূর্ণসংখ্যা হওয়ার শীর্ষে এটি বিজোড় হতে সীমাবদ্ধ।

— আলেকোস পাপাদোপল্লোস
সূত্র

Negativeণাত্মক মানের সংখ্যা

(X_{1} Y_{1}, X_{1} Y_{2}, X_{2} Y_{1}, X_{2} Y_{2})

$(X_1Y_1,X_1Y_2,X_2Y_1,X_2Y_2)$ হতে হবে এমনকি । অতএব এই চারটি এলোমেলো ভেরিয়েবল (আমার ধারণা তারা আপনার চারটি)

Z

$Z$ s - স্বরলিপিটি অস্পষ্ট) স্বতন্ত্র নয়।

— হুবুহু

@ শুভ ধন্যবাদ সমস্যা (আমার সমস্যাটি হ'ল) হ'ল আমি যে নির্দিষ্ট উদাহরণটি ব্যবহার করি তার মধ্যে আমি স্বাধীনতা পেতে থাকি। আপনার লেখা নির্দিষ্ট চারটি ভেরিয়েবল আমি কাজ করব।

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

হ্যাঁ, এটি জটিল কারণ স্বতন্ত্র

Z

$Z$ গুলি যুগলভাবে স্বাধীন এবং (আমি বিশ্বাস করি) তিনটি স্বতন্ত্র

Z

$Z$ গুলি স্বাধীন হয়। (সমস্যার উপরে ক্রিয়েটিভ আক্রমণের কারণে আমি আপনার উত্তরটিকে

— উজ্জীবিত

@ হুইবার আবার হোয়াট ধন্যবাদ, সত্যিই এটি সহায়ক। আমি ভাবছি, এর বিতরণটির অনুক্রমের জন্য আমাদের কী প্রয়োজন

S

$S$ বৈধ হতে, যে সমস্ত ঘটনা

{\cap_{k = 1}^{a b} Z_{k}}

$\{\cap_{k=1}^{ab}Z_k\}$ সমকক্ষ হয়। যৌথ স্বাধীনতা ব্যর্থ হওয়ার সাথে সাথে কি এই জাতীয় সম্পত্তি রাখা সম্ভব? আমি বলতে চাই, যৌথ স্বাধীনতা সামঞ্জস্য রাখার জন্য যথেষ্ট, তবে এটিও কি প্রয়োজনীয়?

— অ্যালেকোস পাপাদোপল্লোস

আমি ভীত আমি আপনার স্বরলিপিটি বুঝতে পারছি না, যা এলোমেলো ভেরিয়েবলের ছেদ (যা এর অর্থ হতে পারে) বোঝায় appears

— হোয়াট

কোনও উত্তর নয়, তবে আলেকোসের আকর্ষণীয় উত্তরের একটি মন্তব্য যা একটি মন্তব্য বাক্সে ফিট করার জন্য অনেক দীর্ঘ।

দিন $(X_1, ..., X_a)$ স্বতন্ত্র র‌্যাডম্যাচারটি এলোমেলো ভেরিয়েবল হতে দিন এবং যাক $(Y_1, ..., Y_b)$ স্বাধীন র‌্যাডম্যাচার এলোমেলো ভেরিয়েবল হতে হবে আলেকোস নোট করে যে:

{এস}_{একটি খ} = Σ_{ট = 1}^{একটি খ} {জেড}_{ট} কোথায় {জেড}_{ট} = {এক্স}_{আমি} {ওয়াই}_{ঞ}

$S_{ab}=\sum_{k=1}^{ab}Z_k \qquad \text{where} \qquad Z_k = X_i Y_j$

"... দেখতে সাধারণ এলোমেলো হাঁটার মত দেখাচ্ছে " it এটি যদি একটি সাধারণ র্যান্ডম হাঁটার মতো হয় তবে তার বিতরণ $S$ 0 এর আশেপাশে প্রতিরোধী 'বেল-আকৃতির ইউনিমোডাল' হবে।

এটি কোনও সাধারণ এলোমেলো পদচারণা নয় তা বোঝাতে এখানে একটি দ্রুত মন্টি কার্লো তুলনা করা হল:

ত্রিভুজ বিন্দু: পিএমএফের মন্টে কার্লো সিমুলেশন $S$ প্রদত্ত $a = 5$ এবং $b = 7$
গোল বিন্দু: মন্টে কার্লো একটি সাধারণ এলোমেলো ওয়াক এর সিমুলেশন $n = 35$ ধাপ

পরিষ্কারভাবে, $S$ একটি সাধারণ এলোমেলো পদক্ষেপ নয়; এছাড়াও লক্ষ করুন যে সমস্ত সমান (বা বিজোড়) পূর্ণসংখ্যায় এস বিতরণ করা হয়নি।

মন্টে কার্লো

এখানে অঙ্ক ( গণিতের মধ্যে ) যোগফলের একক পুনরাবৃত্তি উত্পন্ন করতে ব্যবহৃত হয় $S$ দেওয়া হয়েছে $a$ এবং $b$ :

 SumAB[a_, b_] :=  Outer[Times, RandomChoice[{-1, 1}, a], RandomChoice[{-1, 1}, b]] 
                         // Flatten // Total

তারপরে, 500,000 এর মতো পাথ, কখন বলুন $a = 5$ এবং $b = 7$ , এর সাথে উত্পন্ন করা যেতে পারে:

 data57 = Table[SumAB[5, 7], {500000}];

এই সংমিশ্রনের জন্য সমর্থন ডোমেন $a$ এবং $b$ হল:

{-35, -25, -21, -15, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 25, 35}

— wolfies
সূত্র

+1 আমাদের আরও বিশ্লেষণের জন্য একটি রেফারেন্স দেওয়ার জন্য একটি সিমুলেশন (বা এরকম কিছু দৃ concrete় উদাহরণ) দীর্ঘদিন থেকেই প্রয়োজন। আপনার সিমুলেশনটি লক্ষ্য করে আরও বেশি দক্ষ (প্রায় 25 বার দ্রুত) তৈরি করা যেতে পারে

S

$S$ কারণ হিসাবে

(\sum_{i} x_{i}) (\sum_{j} y_{j})

$\left(\sum_i x_i\right)\left(\sum_j y_j\right)$ । এটি তাত্ক্ষণিকভাবে ব্যাখ্যা করে যে আপনার ত্রিভুজ চার্টে কোনও পর্যাপ্ত বৃহত্তর মূল মানগুলি কেন প্রদর্শিত হচ্ছে না - এবং জোর করে তা প্রদর্শন করে

S

$S$ "এলোমেলো হাঁটা" (স্কেলড দ্বিপদী) বিতরণ থাকতে পারে না।

— whuber

এর পরিবর্তে আপনি দ্রুত সঠিক উত্তর (জন্য পেতে পারেন simulating এর aএবং bউভয় 1000 কম, যাহাই হউক না কেন) হিসেবে

rademacher[a_] := Transpose[{Range[-a, a, 2], Array[Binomial[a, #] &, a + 1, 0] /2^a}]; s[a_, b_] := {#[[1, 1]], Total[#[[;; , 2]]]} & /@ GatherBy[Flatten[Outer[Times, rademacher[a], rademacher[b], 1], 1], First]; ListLogPlot[s[5, 7]]

সঙ্গে, বলে এটি ব্যবহার করে দেখুন, s[100,211]।

— whuber

@ শুভর প্রথম মন্তব্য - আপনার অনুষঙ্গ সুপার ঝরঝরে! :) আমার ম্যাকে, ব্যবহার করে: ......... WHuberSumAB[a_, b_] := Total[RandomChoice[{-1, 1}, a]] * Total[RandomChoice[{-1, 1}, b]]... এটি Outerপদ্ধতির দ্বিগুণ দ্রুত । আপনি কোন কোডটি ব্যবহার করছেন তা জানতে আগ্রহী? [উভয় পন্থা অবশ্যই ParallelTable, ইত্যাদি ব্যবহার করে দ্রুত তৈরি করা যেতে পারে ]

— নেকড়েরা

এই চেষ্টা করুন:

sum[n_, a_, b_] := Block[{w, p},   w[x_] := Array[Binomial[x, #] &, x + 1, 0] /2^x;   p[x_] := RandomChoice[w[x] -> Range[-x, x, 2], n];   p[a] p[b]]

। তারপর সময় Tally[sum[500000, 5, 7]]। জন্য Raficianodos নিম্নলিখিত একই জিনিস আছে এবং চেয়ে দীর্ঘতর শুধুমাত্র 50% লাগে ম্যাথামেটিকাল :

s <- function(n, a, b) (2 * rbinom(n, a, 1/2) - a)*(2 * rbinom(n, b, 1/2) - b); system.time(x <- table(s(5*10^5, 5, 7))); plot(log(x), col="#00000020")

।

— whuber

@ শুভ - পুনরায় মন্তব্য 2 - ঠিক বিকাল ৪ টা: তাই আপনার আছে

S = (\sum_{i}^{} X_{i}) (\sum_{j}^{} Y_{j})

$S = (\sum_{i}^{}X_i)(\sum_{j}^{}Y_j)$ , যেখানে র‌্যাডম্যাচারের প্রতিটি যোগফল দ্বিপদী হয়, এবং তাই আমাদের কাছে 2 টি বাইনোমিয়ালের পণ্য রয়েছে। উত্তর হিসাবে কেন এটি লিখছেন না?! - এটি সুন্দর, ঝরঝরে, মার্জিত এবং দরকারী ...

— নেকড়েরা

র‌্যাডম্যাচার র‌্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল

এর বিতরণ গণনা করার জন্য কোডএসএসS

এর বিতরণ গণনা করার জন্য কোড $S$