কেন স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সূত্রে নমুনা গণনা "এন" এর জন্য বর্গমূল নেওয়া হয়?

Question

আমি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির একটি খুব প্রাথমিক ধারণাটি বোঝার চেষ্টা করছি।

সূত্র থেকে $\sigma= \sqrt{ \dfrac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} N }$

আমি বুঝতে পারি না কেন আমাদের জনসংখ্যা "N" অর্ধেক করা উচিত অর্থাৎ আমরা কেন নিতে চাই $\sqrt{N}$ যখন আমরা করতাম না ${N^2}$? আমরা যে জনসংখ্যাকে বিবেচনা করছি তাতে কি এই ঝুঁকি নেই?

সূত্রটি হওয়া উচিত নয় $\sigma= \dfrac{ \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2} } {N}$

Answer 1

আপনি গড় থেকে একটি "সাধারণ" বিচ্যুতি সন্ধান করার চেষ্টা করছেন।

বৈকল্পিকটি "গড় থেকে গড় স্কোয়ার দূরত্ব"।

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হ'ল এর বর্গমূল।

এটি এটিকে গড় থেকে মূল-বর্গক্ষেত্রের বিচ্যুতি তৈরি করে।

1. কেন আমরা গড় স্কোয়ার বিচ্যুতি ব্যবহার করব? কী রূপটি আকর্ষণীয় করে তোলে? অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যে, বৈকল্পগুলির সম্পর্কে একটি মৌলিক সত্যের কারণে - যে অসামঞ্জস্যিত ভেরিয়েবলগুলির যোগফলের পৃথক পৃথক বৈকল্পিকগুলির যোগফল of (এটি ক্রসভিলেটেডে উদাহরণস্বরূপ এখানে বেশ কয়েকটি প্রশ্নের মধ্যে আচ্ছাদিত This
2. কেন এর বর্গমূল নিতে? কারণ তখন এটি মূল পর্যবেক্ষণগুলির মতো একই ইউনিটে। এটি গড় থেকে একটি নির্দিষ্ট ধরণের 'সাধারণ দূরত্ব' (যেমন উল্লিখিত হিসাবে, আরএমএস দূরত্ব) পরিমাপ করে - তবে উপরের বৈকল্পিক বৈশিষ্ট্যের কারণে - এতে কিছু সুন্দর বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

Answer 2

স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন বর্গমূল হয় ভ্যারিয়েন্স ।

বৈকল্পিক গড় থেকে ডেটার গড় স্কোয়ার দূরত্ব। যেহেতু গড়ের পরিমাণটি যোগফলের সংখ্যার দ্বারা বিভাজিত যোগ হয়, তাই পরিবর্তনের সূত্রটি হ'ল:

$$\text{Var}(X)=\text{E}[(X-\mu)^2] = \frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}$$ যেহেতু, আবার, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতিটি কেবল এটির বর্গমূল, তাই আদর্শ বিচ্যুতির সূত্রটি হ'ল:
$$\text{S.D.}(X)=\sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}{N}}$$ কিছুই যোগ অথবা অনুমানের বা ভ্যারিয়েন্স সম্পর্কে এখানে পরিবর্তন করা হয়েছে, কেবলমাত্র আমরা, অনৈক্য বর্গমূল নেন কারণ যে কি স্ট্যানডার্ড ডেভিয়েশন এর হয় ।

Comments

সম্ভবত এটি উল্লেখ করা উচিত যে এই বৈকল্পিক সূত্রটি কেবল ভিন্ন ইউনিফর্মের জন্যই সত্য। অন্যথায় এটি নমুনা এবং জনসংখ্যার বৈচিত্রের মধ্যে পার্থক্যকে বিভ্রান্ত করতে পারে

— টেলর

@ টেলর, আপনার অর্থ কী তা আমি জানি না। বৈকল্পিকের সূত্রটি বিতরণের সাথে সম্পর্কিত নয়।

— গুং - মনিকা পুনরায়

(নমুনা) বৈকল্পিকের সূত্রটি বিতরণের সাথে সম্পর্কিত নয় ( এন.ইউইকিপিডিয়া.আর / উইকি / অপ্রত্যাশিত_মূল্য# ডেফিনিশন )

— টেলর

@ টেলর, আপনার অর্থ কী তা আমি এখনও জানি না। বৈকল্পিকের সূত্রটি বিতরণের সাথে সম্পর্কিত নয়। উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা থেকে উদ্ধৃত করার জন্য, "একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, এক্স এর প্রকরণটি এক্স এর মধ্য থেকে স্কোয়ার বিচ্যুতির প্রত্যাশিত মান ...$\operatorname{Var}( X ) = E⁡[(X − μ)^2]$। এই সংজ্ঞা র্যান্ডম ভেরিয়েবল যে প্রক্রিয়া, বিযুক্ত একটানা, তন্ন তন্ন, বা মিশ্র দ্বারা উত্পন্ন হয় বোঝায় "সূত্র শুধুমাত্র বিযুক্ত অভিন্ন জন্য রাখা হয়

— পুনর্বহাল মনিকা - gung

হ্যাঁ, ঠিক আছে, যদি আপনি নেন $\mu = EX$, কিন্তু $E[(X-\mu)^2]$ কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য অগত্যা সমান হয় না $X$, $\frac{1}{N}\sum_i(x_i - \mu)^2$। একটির জন্য, প্রথমটি একটি ধ্রুবক এবং দ্বিতীয়টি এলোমেলো। প্রকৃতপক্ষে এটি পরিষ্কার হয় না যে যোগফলটির সমর্থনের চেয়ে বেশি চলে$X$বা নমুনার সংখ্যা। যদি এটি পরে থাকে তবে আপনি জানেন যে এটি অদ্ভুত$\mu$যা বাস্তবে বিরল। যদি প্রাক্তন হয়, তবে হ্যাঁ, এটি কেবল বিচ্ছিন্ন (কারণ এটি একটি যোগফল) ইউনিফর্মের জন্য সত্য (কারণ ওজনগুলি সমস্ত অভিন্ন।

— টেলর

Answer 3

প্রথমে বুঝতে হবে যে স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (স্ট্যান্ড) গড় পরম বিচ্যুতির চেয়ে আলাদা । এই দুটি তথ্য সম্পর্কিত বিভিন্ন গাণিতিক সম্পত্তি সংজ্ঞায়িত করে।

গড় নিরঙ্কুশ বিচ্যুতির বিপরীতে, স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (স্ট্যান্ড) এর মানগুলি যেগুলি দূরত্ব থেকে দূরে থাকে তার চেয়ে বেশি ওজন করে, যা পার্থক্যের মানগুলি স্কোয়ার করে করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, চারটি ডাটা পয়েন্ট অনুসরণ করার জন্য:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline Data (x)& |x - mean| & (x-mean)^2 \\ \hline 2 & 2 & 4\\ \hline -2 &2 &4\\ \hline -6 &6 &36\\ \hline 6 &6 &36\\ \hline \sum x =0 & \sum (|x-mean|) = 16 & \sum (x-mean)^2 = 80 \end{array}$$

গড় পরম বিচ্যুতি (এড) $= 16/4 = 4.0$, এবং

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি (স্ট্যান্ড) = $\sqrt{80/4} = \sqrt 20 = 4.47$

তথ্যগুলিতে, দুটি পয়েন্ট রয়েছে যা গড় থেকে 6 দূরে এবং দুটি পয়েন্ট যা গড় থেকে 2 দূরে দূরে। সুতরাং, 4.47 এর বিচ্যুতি 4 এর চেয়ে বেশি বোঝায়।

যেহেতু মোট পর্যবেক্ষণ সর্বদা হয় are $N$, এসটিডি কম্পিউটিংয়ের জন্য আমরা ডাইভিং করছি না $\sqrt N$পরিবর্তে, আমরা মোট বৈকল্পিক দ্বারা বিভক্ত $N$, এবং এটির বর্গমূলটি আসল তথ্য হিসাবে একই ইউনিটে আনতে।

Answer 4

@Mahesh Subramaniya - এই শুধু গাণিতিক সুতা । যখন আমাদের মতো মূল মান থাকে$a/b = (-)d$। এই দুটি সমীকরণ ব্যবহার করে আমরা একই মান পেতে পারি${a}^2\diagup{b}=c$ এবং $\sqrt{c\diagup{b}}=d$।

যেমন শুধু এটি দিয়ে ${-5}\diagup{2}$ = $-2.5$। তবে, আমরা কেবল মানটি বিয়োগের চেয়ে চাই।

এখন, ${-5}^2\diagup{2}=12.5$। এবং ,$\sqrt{12.5\diagup{2}}=2.5$