এখানে আপনি যান - তিনটি উদাহরণ। যুক্তিটি আরও পরিষ্কার করার জন্য কোডটি বাস্তব প্রয়োগের চেয়ে অনেক কম দক্ষ করে তুলেছি (আশা করি।)
# We'll assume estimation of a Poisson mean as a function of x
x <- runif(100)
y <- rpois(100,5*x) # beta = 5 where mean(y[i]) = beta*x[i]
# Prior distribution on log(beta): t(5) with mean 2
# (Very spread out on original scale; median = 7.4, roughly)
log_prior <- function(log_beta) dt(log_beta-2, 5, log=TRUE)
# Log likelihood
log_lik <- function(log_beta, y, x) sum(dpois(y, exp(log_beta)*x, log=TRUE))
# Random Walk Metropolis-Hastings
# Proposal is centered at the current value of the parameter
rw_proposal <- function(current) rnorm(1, current, 0.25)
rw_p_proposal_given_current <- function(proposal, current) dnorm(proposal, current, 0.25, log=TRUE)
rw_p_current_given_proposal <- function(current, proposal) dnorm(current, proposal, 0.25, log=TRUE)
rw_alpha <- function(proposal, current) {
# Due to the structure of the rw proposal distribution, the rw_p_proposal_given_current and
# rw_p_current_given_proposal terms cancel out, so we don't need to include them - although
# logically they are still there: p(prop|curr) = p(curr|prop) for all curr, prop
exp(log_lik(proposal, y, x) + log_prior(proposal) - log_lik(current, y, x) - log_prior(current))
}
# Independent Metropolis-Hastings
# Note: the proposal is independent of the current value (hence the name), but I maintain the
# parameterization of the functions anyway. The proposal is not ignorable any more
# when calculation the acceptance probability, as p(curr|prop) != p(prop|curr) in general.
ind_proposal <- function(current) rnorm(1, 2, 1)
ind_p_proposal_given_current <- function(proposal, current) dnorm(proposal, 2, 1, log=TRUE)
ind_p_current_given_proposal <- function(current, proposal) dnorm(current, 2, 1, log=TRUE)
ind_alpha <- function(proposal, current) {
exp(log_lik(proposal, y, x) + log_prior(proposal) + ind_p_current_given_proposal(current, proposal)
- log_lik(current, y, x) - log_prior(current) - ind_p_proposal_given_current(proposal, current))
}
# Vanilla Metropolis-Hastings - the independence sampler would do here, but I'll add something
# else for the proposal distribution; a Normal(current, 0.1+abs(current)/5) - symmetric but with a different
# scale depending upon location, so can't ignore the proposal distribution when calculating alpha as
# p(prop|curr) != p(curr|prop) in general
van_proposal <- function(current) rnorm(1, current, 0.1+abs(current)/5)
van_p_proposal_given_current <- function(proposal, current) dnorm(proposal, current, 0.1+abs(current)/5, log=TRUE)
van_p_current_given_proposal <- function(current, proposal) dnorm(current, proposal, 0.1+abs(proposal)/5, log=TRUE)
van_alpha <- function(proposal, current) {
exp(log_lik(proposal, y, x) + log_prior(proposal) + ind_p_current_given_proposal(current, proposal)
- log_lik(current, y, x) - log_prior(current) - ind_p_proposal_given_current(proposal, current))
}
# Generate the chain
values <- rep(0, 10000)
u <- runif(length(values))
naccept <- 0
current <- 1 # Initial value
propfunc <- van_proposal # Substitute ind_proposal or rw_proposal here
alphafunc <- van_alpha # Substitute ind_alpha or rw_alpha here
for (i in 1:length(values)) {
proposal <- propfunc(current)
alpha <- alphafunc(proposal, current)
if (u[i] < alpha) {
values[i] <- exp(proposal)
current <- proposal
naccept <- naccept + 1
} else {
values[i] <- exp(current)
}
}
naccept / length(values)
summary(values)
ভ্যানিলা স্যাম্পলারের জন্য, আমরা পাই:
> naccept / length(values)
[1] 0.1737
> summary(values)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2.843 5.153 5.388 5.378 5.594 6.628
যা স্বীকৃতি স্বল্পতার সম্ভাবনা, তবুও ... প্রস্তাবটি টিউন করা এখানে সহায়তা করবে বা অন্য একটি গ্রহণ করবে। এখানে এলোমেলো পদক্ষেপ প্রস্তাবের ফলাফল:
> naccept / length(values)
[1] 0.2902
> summary(values)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2.718 5.147 5.369 5.370 5.584 6.781
অনুরূপ ফলাফল, যেমনটি আশা করা যায় এবং আরও ভাল গ্রহণযোগ্যতার সম্ভাবনা (একটি প্যারামিটার সহ ~ 50% লক্ষ্য করে))
এবং, সম্পূর্ণতার জন্য, স্বাধীনতার নমুনা:
> naccept / length(values)
[1] 0.0684
> summary(values)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
3.990 5.162 5.391 5.380 5.577 8.802
যেহেতু এটি উত্তরোত্তর আকারের সাথে "অভিযোজিত" হয় না, এটির দরিদ্রতম গ্রহণযোগ্যতা সম্ভাবনা থাকে এবং এই সমস্যার জন্য ভালভাবে কাজ করা সবচেয়ে কঠিন।
নোট করুন যে সাধারণভাবে বলতে গেলে আমরা ফ্যাট লেজযুক্ত প্রস্তাবগুলি পছন্দ করি, তবে এটি সম্পূর্ণ অন্য বিষয়।