তাত্পর্যপূর্ণ এলোমেলো ভেরিয়েবলের জন্য উপলব্ধ পারস্পরিক সম্পর্ক

এক্সটেনশিয়ালি ডিস্ট্রিবিউটেড এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এবং এর জুটির জন্য প্রাপ্য পারস্পরিক সম্পর্কের পরিসীমাটি কী , যেখানে রয়েছে হারের পরামিতি? $X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$ $X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$ $\lambda_1, \lambda_2 > 0$

correlation exponential

— QuantIbex
সূত্র

এই প্রশ্নটি এখানে একটি পার্শ্ব মন্তব্যের সাথে যুক্ত ।

— কোয়ান্টইবেেক্স

যাক (রেস্প। ) বোঝাতে LOWER (রেস্প। উপরের) মধ্যে লভ্য পারস্পরিক সম্পর্কের আবদ্ধ এবং । সীমা এবং পৌঁছে যখন এবং যথাক্রমে countermonotonic এবং comonotonic হয় (দেখুন এখানে )। $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$ $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$

নিম্ন সীমা
bound আমরা একটি জোড় কাউন্টারমনোটোনিক এক্সফোনেনিয়াল ভেরিয়েবলগুলি তৈরি করি এবং তাদের পারস্পরিক সম্পর্ককে গণনা করি। $\rho_{\min}$

এখানে উল্লিখিত প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত এবং সম্ভাব্যতা ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্মটি এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি এবং মতো নির্মাণের জন্য একটি সুবিধাজনক উপায় সরবরাহ করে যাতে এগুলি are স্মরণ করুন যে ক্ষতিকারক বিতরণ ফাংশনটি , সুতরাং কোয়ান্টাইল ফাংশনটি । $X_1$ $X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$ $F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

যাক একটি অবিশেষে বিতরণ র্যান্ডম ভেরিয়েবল তারপর হতে এছাড়াও অবিশেষে বিতরণ করা হয় এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল যথাক্রমে এবং হারের তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণ রয়েছে । , তারা এবং এবং , এবং এবং যথাক্রমে বৃদ্ধি এবং deacreasing হয়। $U\sim U(0, 1)$ $1-U$

X_{1} = - λ_{1}^{- 1} \log (1 - U), and X_{2} = - λ_{2}^{- 1} \log (U)

$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

X_{1} = h_{1} (U)

$X_1 = h_1(U)$

X_{2} = h_{2} (U)

$X_2 = h_2(U)$

h_{1} (x) = - λ_{1}^{- 1} \log (1 - x)

$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$

h_{2} (x) = - λ_{1}^{- 1} \log (x)

$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

এখন, এবং এর পারস্পরিক সম্পর্ক গণনা করা যাক । সূচকীয় বিতরণের বৈশিষ্ট্য অনুসারে আমাদের কাছে , , , এবং । এছাড়াও, আমরা যেখানে $X_1$ $X_2$ ${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$ ${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$ ${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$ ${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

\begin{aligned} E (X_{1} X_{2}) & = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} E {\log (1 - U) \log (U)} \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} \log (1 - u) \log (u) f_{U} (u) d u \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} \log (1 - u) \log (u) d u \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} (2 - \frac{π^{2}}{6}), \end{aligned}

$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$

f_{U} (u) \equiv 1

$f_U(u) \equiv 1$ মান ইউনিফর্ম বিতরণের ঘনত্ব ফাংশন। শেষ সমতার জন্য আমি ওল্ফ্রামআল্ফার উপর নির্ভর করেছি ।

সুতরাং, হারের উপর নির্ভর করে না লক্ষ্য করুন লোয়ার বাউন্ড করে এবং , এবং যে পারস্পরিক সম্পর্ক কখনোই ছুঁয়েছে , এমনকি যখন উভয় মার্জিন সমান (অর্থাত, যখন )।

\begin{aligned} ρ_{min} & = c o r r (X_{1}, X_{2}) \\ = \frac{λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} (2 - π^{2} / 6) - λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}}{\sqrt{λ_{1}^{- 2} λ_{2}^{- 2}}} \\ = 1 - π^{2} / 6 \approx - 0.645. \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

- 1

$-1$

λ_{1} = λ_{2}

$\lambda_1 = \lambda_2$

উচ্চ আবদ্ধ
উপরের আবদ্ধ এর নির্ধারণ আমরা comonotonic সূচকীয় ভেরিয়েবল একজোড়া সঙ্গে একটি অনুরূপ পদ্ধতির অনুসরণ করুন। এখন, এবং যেখানে এবং , যা উভয়ই ক্রমবর্ধমান ফাংশন। সুতরাং, এই এলোমেলো ভেরিয়েবলগুলি কমোনোটোনিক এবং উভয় rates এবং হারের সাথে বিতরণ করা হয় । $\rho_{\max}$ $X_1 = g_1(U)$ $X_2 = g_2(U)$ $g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$ $g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$ $\lambda_1$ $\lambda_2$

আমাদের কাছে এবং এইভাবে, হারের উপর একইভাবে আবদ্ধ লোয়ার, উপরের আবদ্ধ নির্ভর করে না এবং ।

\begin{aligned} E (X_{1} X_{2}) & = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} E {\log (1 - U) \log (1 - U)} \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} {\log (1 - u)}^{2} d u \\ = 2 λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}, \end{aligned}

$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$

\begin{aligned} ρ_{max} & = c o r r (X_{1}, X_{2}) \\ = \frac{2 λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} - λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}}{\sqrt{λ_{1}^{- 2} λ_{2}^{- 2}}} \\ = 1 . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

— QuantIbex
সূত্র

আপনার গণনার জন্য ধন্যবাদ। আমি কেবল যুক্ত করতে চেয়েছিলাম যে তত্ক্ষণাত্ সন্ধান করা যেতে পারে, তা দেখে যে এবং একই ধরণের: এর বিতরণ রয়েছে , অর্থাৎ 2 এর একই বিতরণ ।

ρ_{m a x} = 1

$\rho_{max}=1$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

\frac{λ_{1}}{λ_{2}} X_{1}

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}X_1$

E x p (λ_{2})

$Exp(\lambda_2)$

X_{2}

$X_2$

— ব্যবহারকারীর 48713

(+1 টি)। নোট করুন যে দুটি স্কোনিশিয়াল ভেরিয়েবল পর্যবেক্ষণ করার সময় উপরের সীমানাটি স্পষ্ট হয় কেবলমাত্র একটি স্কেল ফ্যাক্টর দ্বারা পৃথক। এটি সমানভাবে স্পষ্ট যে নীচের অর্জন করতে পারে না যখন (অন্যথায় শূন্য হবে)।

- 1

$-1$

λ_{1} \neq λ_{2}

$\lambda_1\ne\lambda_2$

— হোবার