বিশদ ভারসাম্য পূরণকারী কোনও এমসিসিএম কি স্থির বন্টন দেয়?

Question

আমি অনুমান করি যে আমি বিশদ ভারসাম্য শর্তের সমীকরণ বুঝতে পেরেছি, যা উল্লেখ করেছে যে রূপান্তর সম্ভাবনা এবং স্থিতিশীল বিতরণ , একটি মার্কোভ চেইন বিশদ ব্যালান্সকে সন্তুষ্ট করে যদিπ q ( x | y ) π ( y ) = q ( y | x ) π ( x ) $q$$\pi$

$$q(x|y)\pi(y)=q(y|x)\pi(x),$$

আমি যদি এটিকে পুনরায় সেট করি তবে এটি আমার কাছে আরও অর্থবোধ করে:

$$\frac{q(x|y)}{q(y|x)}= \frac{\pi(x)}{\pi(y)}.$$

মূলত, রাজ্য থেকে রাজ্য তে পরিবর্তনের সম্ভাবনা তাদের সম্ভাব্যতা ঘনত্বের অনুপাতের সমানুপাতিক হওয়া উচিত।$x$$y$

Answer 1

এটি সত্য নয় যে এমসিএমসি বিস্তারিত ব্যালান্স পূরণ করে সর্বদা स्थिर বিতরণ দেয়। আপনার প্রক্রিয়াটিও ergodic হওয়ার দরকার । আসুন দেখুন কেন:

বিবেচনা করুন সেট সব সম্ভব রাজ্যের একটি রাষ্ট্র হতে, এবং সূচক দ্বারা এটি চিহ্নিত । একটি মার্কভ প্রক্রিয়াতে, একটি বিতরণ অনুসারে বিকশিত হয়i p t ( i $x$$i$$p_t(i)$

$$p_t(i) = \sum_{j} \Omega_{j \rightarrow i} p_{t-1}(j)$$

যেখানে the হ'ল ম্যাট্রিক্স হ'ল রূপান্তর সম্ভাবনা (আপনার ) বোঝায় ।$\Omega_{j \rightarrow i}$$q(x|y)$

সুতরাং, আমরা যে আছে

$$p_t(i) = \sum_{j} (\Omega_{j \rightarrow i})^t p_{0}(j)$$

সত্য যে একটি রূপান্তর সম্ভাবনা যে বোঝা তার eigenvalues ব্যবধান [0,1] অন্তর্গত হবে।$\Omega_{j \rightarrow i}$

যে কোনও প্রাথমিক বিতরণ অ্যাসিম্পটোটিকটিতে রূপান্তরিত করে তা নিশ্চিত করতে আপনাকে অবশ্যই তা নিশ্চিত করতে হবে$p_{0}(j)$

• 1 মান 1 সহ একটি মাত্র ইগন্যালু রয়েছে এবং এর একটি অনন্য-শূন্য ইগেনভেেক্টর রয়েছে।$\Omega$

তা নিশ্চিত করতে মধ্যে asymptotic বন্টন হয়, তাহলে আপনি তা নিশ্চিত করার জন্য প্রয়োজন$\pi$

• 2 ইগেনভালেক্টর 1 এর সাথে যুক্ত ইগেনভেেক্টরটি হ'ল । ।$\pi$

এরগোডিসিটিটি বোঝায় 1., বিশদ ভারসাম্যটি বোঝায় 2., এবং এ কারণেই উভয়ই অ্যাসিপটোটিক সংমিশ্রণের প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত গঠন করে।

বিস্তারিত ভারসাম্য কেন 2 বোঝায়:

থেকে শুরু করে

$$p(i)\Omega_{ij} = \Omega_{ji} p(j)$$

এবং উভয় পক্ষের উপর , আমরা প্রাপ্ত$j$

$$p(i) = \sum_{j}\Omega_{ji} p(j)$$

কারণ আপনি সর্বদা কোথাও কোথাও ট্রানজিট করে ।$\sum_{j} \Omega_{ij} = 1$

উপরের সমীকরণটি ইগেনভ্যালু 1 এর সংজ্ঞা, (আপনি এটি ভেক্টর আকারে লিখেন কিনা তা দেখতে আরও সহজ :)

$$1.v = \Omega\cdot v$$

Comments

ওপি এটি অনন্য কিনা তা জিজ্ঞাসা করে না, তিনি কীভাবে বিশদ ভারসাম্য সহ এমসিসিএম কীভাবে আক্রমণকারী সম্ভাবনার ঘনত্ব অর্জনের পক্ষে যথেষ্ট তা জিজ্ঞাসা করেন না।

— gatsu

এই উত্তরের প্রথম বাক্যটি হ'ল "এটি সত্য নয় যে এমসিএমসি বিস্তারিত ব্যালান্স পূরণ করে সর্বদা स्थिर বিতরণ দেয়।" সুতরাং, না, বিস্তারিত ভারসাম্য উত্সাহ এবং অদম্য ঘনত্বের পক্ষে যথেষ্ট নয় ... এটি কীভাবে প্রশ্নের উত্তর দেয় না?

— জোর্হে লিটাও

Answer 2

আমি মনে করি এটি হয়, কারণ অদম্য এমসির জন্য যদি বিশদ ভারসাম্য সন্তুষ্ট হয় তবে এটির একটি অনন্য স্টেশনারি বিতরণ রয়েছে, তবে প্রাথমিক বিতরণ থেকে স্বতন্ত্র হওয়ার জন্য এটি এপিওরওডিকও হতে হবে।

MCMC এর ক্ষেত্রে আমরা একটি ডেটা পয়েন্ট থেকে শুরু করি এবং তারপরে একটি নতুন পয়েন্ট প্রস্তাব করি। আমরা প্রস্তাবিত বিন্দুতে যেতে বা না পারাতে পারি অর্থাৎ আমাদের একটি স্ব-লুপ রয়েছে যা একটি অদম্য এমসিকে এপিওরিওডিক করে তোলে।

ডিবি সন্তুষ্ট করার কারণে এটিতে ইতিবাচক পুনরাবৃত্ত রাষ্ট্রগুলিও রয়েছে, অর্থাত্ রাজ্যগুলিতে প্রত্যাবর্তনের সময় সীমাবদ্ধ। সুতরাং আমরা MCMC তে যে শৃঙ্খলা তৈরি করি তা অদম্য, অপেরোডিক এবং ধনাত্মক পুনরাবৃত্তি, যার অর্থ এটি একটি ইরগোডিক চেইন।

আমরা জানি যে অদম্য ইরগোডিক চেইনের জন্য একটি স্থির বন্টন বিদ্যমান যা প্রাথমিক বন্টনের থেকে স্বতন্ত্র এবং স্বতন্ত্র।