বিটা বিতরণে কি পূর্বে কনজুগেট থাকে?

34

আমি জানি যে বিটা বিতরণ দ্বিপদী হিসাবে সংঘবদ্ধ। তবে বিটার আগে কনজুগেট কী? ধন্যবাদ.

beta-distribution conjugate-prior

25

দেখে মনে হচ্ছে আপনি ইতিমধ্যে বিবাহ বন্ধনেস ছেড়ে দিয়েছেন। কেবল রেকর্ডের জন্য, একটি জিনিস যা আমি মানুষকে করতে দেখেছি (তবে ঠিক কোথায় নেই, দুঃখিত মনে হয় না) এটি এর মতো পুনঃনির্মাণ is যদি শর্তসাপেক্ষে আইড হয়, প্রদত্ত , যেমন মনে রাখবেন যে এবং অতএব, আপনি সম্ভাবনাটিকে এবং ig পুনরায় পরিমার্জন করতে পারেন এবং পূর্বে হিসাবে ব্যবহার করতে পারেন $X_1,\dots,X_n$ $\alpha,\beta$ $X_i\mid\alpha,\beta\sim\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$

E [X_{i} ∣ α, β] = \frac{α}{α + β} =: μ

$\mathbb{E}[X_i\mid\alpha,\beta]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} =: \mu$

V a r [X_{i} ∣ α, β] = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)} =: σ^{2} .

$\mathbb{Var}[X_i\mid\alpha,\beta] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} =: \sigma^2 \, .$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2} ∣ μ \sim U [0, μ (1 - μ)] μ \sim U [0, 1] .

$\sigma^2\mid\mu \sim \mathrm{U}[0,\mu(1-\mu)] \qquad \qquad \mu\sim\mathrm{U}[0,1] \, .$ এখন আপনি পোস্টটিয়ারিয়র গণনা করতে প্রস্তুত এবং এটি আপনার প্রিয় গণনা পদ্ধতি দ্বারা অন্বেষণ করুন।

— জেন
সূত্র

4

না, এমসিএমসি এই জিনিস নয়! চতুর্দিকে এই জিনিস! মাত্র 2 পরামিতি - চতুর্ভুজটি সময় এবং যথার্থতার জন্য উভয়ই ছোট মাত্রিক পোস্টেরিয়ারগুলির জন্য "সোনার মান"।

— সম্ভাব্যতাব্লোগিক

3

আর একটি বিকল্প হ'ল যথার্থতার পরিমাপ হিসাবে বিবেচনা করুন এবং আবার mean an হিসাবে ব্যবহার করুন। এটি ডিরিচলেট প্রক্রিয়াগুলির সাথে সর্বদা করা হয়, এবং বিটা বিতরণ একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। সুতরাং সম্ভবত am এবং । তে একটি গামা বা লগ-নরমাল পূর্বে টস করতে পারেন ।

ψ = α + β

$\psi = \alpha + \beta$

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$

ψ

$\psi$

μ

$\mu$

— লোক

2

নিশ্চিত হওয়ার জন্য, এটি সংঘবদ্ধ নয়, সঠিক?

— লোক

3

অবশ্যই না!

— জেন

হাই @ জেন আমি এই মুহুর্তে এই সমস্যাটি মোকাবিলা করছি, তবে আমি বেয়েশিয়ায় নতুন এবং আমি ধারণাটি বুঝতে পারছি কিনা তা নিশ্চিত নই। আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে আপনি rac এবং তারপরে পুনঃনির্মাণ ব্যবহার করুন, তবে অবশ্যই তা ছিল না ধারণা। আপনি কি আমাকে বুঝতে সাহায্য করতে পারেন?

\int_{0}^{1} \frac{1}{μ (1 - μ} d μ

$\int_{0}^{1}{\frac{1}{\mu(1-\mu}}d\mu$

— রেড নয়েজ

23

হ্যাঁ, তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারে এটির আগে একটি সংযুক্তি রয়েছে। তিনটি প্যারামিটার পরিবার বিবেচনা করুন এর কয়েকটি মানগুলির জন্যএটি একীভূত, যদিও আমি বেশিরভাগই খুঁজে পাইনি যা (আমি বিশ্বাস করি যেএবংকাজ করা উচিত -স্বতন্ত্র তাত্পর্যপূর্ণ বিতরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ তাই) এটি অবশ্যই কাজ করে এবং কনজুগেট আপডেটে বর্ধিতকরণ জড়িত

π (α, β ∣ a, b, p) \propto {\frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)}}^{p} \exp (a α + b β) .

$\pi(\alpha, \beta \mid a, b, p) \propto \left\{\frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\right\}^p \exp\left(a\alpha + b\beta \right).$

(a, b, p)

$(a, b, p)$

p \geq 0

$p \ge 0$

a < 0, b < 0

$a < 0, b < 0$

p = 0

$p = 0$

এই তাই সুপারিশ

পাশাপাশি কাজ)।

p

$p$

p > 0

$p > 0$

সমস্যা এবং কমপক্ষে কেউ কেউ এটি ব্যবহার না করার কারণটি হ'ল এটি অর্থাত্ স্বাভাবিককরণের ধ্রুবকের কোনও ক্লোড ফর্ম নেই।

\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} {\frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)}}^{p} \exp (a α + b β) = ?

$\int_0^\infty \int_0^\infty \left\{\frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\right\}^p \exp\left(a\alpha + b\beta \right) = ?$

— লোক
সূত্র

আহ। সমস্যাযুক্ত। আমি আগে যাইহোক কনজুগেটের একটি অপ্রয়োজনীয় সংস্করণ সন্ধান করতে যাচ্ছিলাম, সুতরাং দেখে মনে হচ্ছে যে আমি দুটি পরামিতিগুলিতে ইউনিফর্ম প্রিয়ারগুলি দিয়ে শুরু করতে পারি। ধন্যবাদ।

— ব্রাশ ভারসাম্য

আপনি যদি কেবল সম্ভাবনার তুলনা করে থাকেন তবে আপনার এটিকে স্বাভাবিক করার দরকার নেই ...

— নীল জি

আমার মনে হয় আপনি কর্ম অনুপস্থিত থাকতে পারে

আপনার

পাশাপাশি পরিভাষা। এটা সম্ভবত হওয়া উচিত

ইত্যাদি

p

$p$

\exp

$\exp$

p a α

$pa\alpha$

— নিল জি

@NeilG

হয়

, আপনি শুধু পরিপ্রেক্ষিতে কিছু প্রকাশ করার আছে

পরিবর্তে

। এরকম

শুধু একটি reparmetrization, এটা কিছুই পরিবর্তন। আপনি "সম্ভাবনার তুলনা কেবল" এর অর্থ কী তা নিশ্চিত নয়। শর্তাধীন কনজুগেসির সুবিধা হ্রাসকারী মেট্রোপলিসের মতো কিছু ব্যবহার না করে আপনি এই পূর্বের সাথে একটি গীবস স্যাম্পেলার প্রয়োগ করতে পারবেন না, স্বাভাবিককরণের ধ্রুবকটি

এবং

উপর নির্ভর করে যা তাদের উপর অগ্রাধিকার স্থাপন করে বা সম্ভাবনা পদ্ধতি ইত্যাদি দ্বারা তাদের অনুমান করে ting ।

p

$p$

\exp

$\exp$

\log Γ (\dots)

$\log \Gamma(\cdots)$

Γ (\dots)

$\Gamma(\cdots)$

p a α

$pa\alpha$

a

$a$

b

$b$

— লোক

2

@NeilG অবিচ্ছেদ্য শেষ হয়ে গেছে

এবং

যেহেতু ঐ র্যান্ডম ভেরিয়েবল।

α

$\alpha$

β

$\beta$

— লোক

9

ইন তত্ত্ব বিটা বিতরণের জন্য একটি অনুবন্ধী পূর্বে সেখানে উচিত। এই কারণ

বিটা বিতরণ তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারের বিতরণগুলির মধ্যে একটি এবং
তত্ত্বগতভাবে এটির পূর্বের উত্পন্ন করা উচিত। যেমন, উইকিপিডিয়া , ডি ব্লাইয়ের ঘাতক পরিবারগুলির বক্তৃতা দেখুন ।

তবে ডাইরাইভেশনটি কঠিন দেখায় এবং একটি বোচার্ড- কোটের এক্সপেনশনাল ফ্যামিলি এবং কনজুগেট প্রিয়ারসকে উদ্ধৃত করা

একটি গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণটি হ'ল এই রেসিপিটি সর্বদা সংখ্যামূলকভাবে ট্র্যাকটেবলের পূর্বে একটি সংযুক্তি দেয় না।

এটির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, ডি ফিংকের কনজুগেট প্রাইজার্স এর কম্পেন্ডিয়ামে বিটা বিতরণের কোনও পূর্ব নেই ।

— TooTone
সূত্র

3

ডেরাইভেশনটি কঠিন নয় - আমার উত্তর দেখুন: mathoverflow.net/questions/63496/…

— নীল জি

3

আমি বিশ্বাস করি না যে এখানে একটি "স্ট্যান্ডার্ড" (অর্থাত্ এক্সফোনশিয়াল ফ্যামিলি) বিতরণ রয়েছে যা বিটা বিতরণের আগে সম্মিলিত। যাইহোক, যদি কোনওটির উপস্থিতি থাকে তবে এটি দ্বিখণ্ডিত বিতরণ হতে হবে।

এই প্রশ্নটি সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা নেই তবে আমি এই উত্তরসূরী

— Justin Bozonier

কনজুগেট পূর্বেরটি তাত্পর্যপূর্ণ পরিবারে এবং তিনটি প্যারামিটার রয়েছে - দুটি নয়।

— নীল জি

1

@ নীল, আপনি অবশ্যই ঠিক আছেন আমার ধারণা আমার এটি বলা উচিত ছিল কমপক্ষে দুটি পরামিতি থাকতে হবে to

-১: এই উত্তরটি এই দাবিতে স্পষ্টতই ভুল যে "

— ঘনিষ্ঠ পরিবারে পূর্বের সংঘবদ্ধতা

3

রবার্ট এবং কেসেলা (আরসি) তাদের বইয়ের বিটা ডিস্ট্রিবিউশন এর কনজিগেট প্রিয়ারদের পরিবারের বর্ণনা দিয়েছেন, আর , স্প্রিংজার, ২০১০- তে মন্টি কার্লো পদ্ধতিগুলি উপস্থাপন করছেন । তবে তারা উদ্ধৃত না করেই ফলাফলটি উদ্ধৃত করেছেন উৎস.

বিশদের জন্য গুংয়ের অনুরোধের জবাবে যুক্ত করা হয়েছে। রেসিন বলে যে বিতরণের জন্য , অনুবন্ধী পূর্বে হয় "... ফর্মের $B(\alpha, \beta)$

π (α, β) \propto {\frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)}}^{λ} x_{0}^{α} y_{0}^{β}

$\pi(\alpha,\beta) \propto \Big\{ \frac{\Gamma(\alpha+\beta)} {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \Big\} ^{\lambda} x_0^{\alpha} y_0^{\beta}$

যেখানে hyperparameters হয়, তারপর থেকে অবর হয় সমান $\{\lambda, x_0, y_0\}$

π (α, β | x) \propto {\frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)}}^{λ} (x x_{0})^{α} ((1 - x) y_{0})^{β} . "

$\pi(\alpha,\beta \vert x) \propto \Big\{ \frac{\Gamma(\alpha+\beta)} {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \Big\} ^{\lambda} (xx_0)^{\alpha} ((1-x)y_0)^{\beta}."$

উদাহরণস্বরূপ উদ্বেগ গুরুত্ব থেকে স্যাম্পলিং বাকি আদেশের প্রান্তিক সম্ভাবনা গনা মধ্যে । $\pi(\alpha,\beta \vert x)$ $x$

— user37239
সূত্র

2

আমার কাছে রবার্টের বই উপলভ্য নয় তবে পোস্টারিয়রটি

। রবার্ট এখানে এইবিষয়টিতে mathoverflow.net/ quotations

π (α, β) \propto {(\frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)})}^{λ + 1} (x x_{0})^{α - 1} {(y_{0} (1 - x))}^{β - 1}

$\pi(\alpha, \beta) \propto \left( \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \right)^{\lambda +1} (x x_0)^{\alpha-1} \left(y_0 (1-x) \right)^{\beta-1}$

— ফ্রেড শোয়েন

1

ফ্রেড শোয়ের মন্তব্যে (যা সহজেই যাচাই করা হয়ে থাকে) প্রতি পাঠ্যপুস্তকে দেওয়া পোস্টটি ভুল ছিল কিনা তা বোঝাতে মূল পোস্টারটি আমি বিনীতভাবে সুপারিশ করি।

— RMurphy