ভিন্ন ভিন্ন পরিমাপের ত্রুটি সহ এআর (1) প্রক্রিয়া

1. সমস্যা

আমার কিছু পরিবর্তনশীল পরিমাপ রয়েছে , যেখানে , যার জন্য আমার এমসিএমসি এর মাধ্যমে প্রাপ্ত , যা সরলতার জন্য আমি ধরে নেব গড়ের গাউসিয়ান এবং বৈকল্পিক । $y_t$ $t=1,2,..,n$ $f_{y_t}(y_t)$ $\mu_t$ $\sigma_t^2$

বলুন, আমার কাছে এই পর্যবেক্ষণগুলির জন্য একটি শারীরিক মডেল রয়েছে , তবে অবশিষ্টাংশগুলি সাথে সম্পর্কযুক্ত বলে মনে হচ্ছে; বিশেষত, আমার প্রক্রিয়াটি পারস্পরিক সম্পর্ক বিবেচনার জন্য যথেষ্ট বলে মনে করার শারীরিক কারণ রয়েছে এবং আমি এমসিসিএমির মাধ্যমে ফিটের সহগগুলি অর্জনের পরিকল্পনা করছি, যার জন্য আমার সম্ভাবনা প্রয়োজন । আমি মনে করি সমাধানটি বরং সহজ, তবে আমি যথেষ্ট নিশ্চিত নই (এটি এত সহজ বলে মনে হচ্ছে যে আমি কিছু অনুভব করছি)। $g(t)$ $r_t = \mu_t-g(t)$ $AR(1)$

2. সম্ভাবনা ডাইরিং

একটি শূন্য- প্রক্রিয়াটি লিখিত হতে পারে: যেখানে আমি ধরে নেব । অনুমিত হওয়ার মতো প্যারামিটারগুলি , (আমার ক্ষেত্রে, আমাকে মডেল এর পরামিতিগুলিও যুক্ত করতে হবে , তবে এটি সমস্যা নয়)। তবে আমি যা পর্যবেক্ষণ করব তা হল যেখানে আমি ধরে নিচ্ছি , এবং পরিচিত ( পরিমাপ ত্রুটি)। কারণ একটি গসিয়ান প্রক্রিয়া, বলে। বিশেষত, আমি এটি জানি $AR(1)$

X_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t}, (1)

$X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t,\ \ \ (1)$

ε_{t} \sim N (0, σ_{w}^{2})

$\varepsilon_t\sim N(0,\sigma_w^2)$

θ = {ϕ, σ_{w}^{2}}

$\theta = \{\phi,\sigma_w^2\}$

g (t)

$g(t)$

R_{t} = X_{t} + η_{t}, (2)

$R_t = X_t+\eta_t,\ \ \ (2)$

η_{t} \sim N (0, σ_{t}^{2})

$\eta_t\sim N(0,\sigma_t^2)$

σ_{t}^{2}

$\sigma_t^2$

X_{t}

$X_t$

R_{t}

$R_t$

X_{1} \sim N (0, σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}]),

$X_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]),$ অতএব, আর পরবর্তী চ্যালেঞ্জটি হল জন্য প্রাপ্ত করা । এই এলোমেলো ভেরিয়েবলের বিতরণ পেতে, eq ব্যবহার করে নোট করুন। আমি eq ব্যবহার করে লিখতে পারি। , এবং একা সংজ্ঞা ব্যবহার করে। , আমি লিখতে পারি, EQ ব্যবহার করে। এই শেষ প্রকাশে, তারপর আমি পেয়েছি, এভাবে,

R_{1} \sim N (0, σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}] + σ_{t}^{2}) .

$R_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2).$

R_{t} | R_{t - 1}

$R_t|R_{t-1}$

t \neq 1

$t\neq 1$

(2)

$(2)$

X_{t - 1} = R_{t - 1} - η_{t - 1} . (3)

$X_{t-1} = R_{t-1}-\eta_{t-1}.\ \ \ (3)$

(2)

$(2)$

(1)

$(1)$

R_{t} = X_{t} + η_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t} + η_{t} .

$R_{t} = X_t+\eta_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_{t}+\eta_t.$

(3)

$(3)$

R_{t} = ϕ (R_{t - 1} - η_{t - 1}) + ε_{t} + η_{t},

$R_{t} = \phi (R_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$

R_{t} | R_{t - 1} = ϕ (r_{t - 1} - η_{t - 1}) + ε_{t} + η_{t},

$R_t|R_{t-1} = \phi (r_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$ এবং, তাই, অবশেষে, আমি সম্ভাবনা ফাংশনটি যেখানে হল আমি কেবল সংজ্ঞায়িত ভেরিয়েবলগুলির বন্টন, .ie,

এবং

R_{t} | R_{t - 1} \sim N (ϕ r_{t - 1}, σ_{w}^{2} + σ_{t}^{2} - ϕ^{2} σ_{t - 1}^{2}) .

$R_t|R_{t-1} \sim N(\phi r_{t-1},\sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}).$

L (θ) = f_{R_{1}} (R_{1} = r_{1}) \prod_{t = 2}^{n} f_{R_{t} | R_{t - 1}} (R_{t} = r_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}),

$L(\theta) = f_{R_1}(R_1=r_1) \prod_{t=2}^{n} f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1}),$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

σ^{' 2} = σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}] + σ_{t}^{2},

$\sigma'^2 = \sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2,$

f_{R_{1}} (R_{1} = r_{1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{' 2}}} exp (- \frac{r_{1}^{2}}{2 σ^{' 2}}),

$f_{R_1}(R_1=r_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma'^2}}\text{exp}\left(-\frac{r_1^2}{2\sigma'^2}\right),$

σ^{2} (t) = σ_{w}^{2} + σ_{t}^{2} - ϕ^{2} σ_{t - 1}^{2}

$\sigma^2(t) = \sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}$

f_{R_{t} | R_{t - 1}} (R_{t} = r_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2} (t)}} exp (- \frac{(r_{t} - ϕ r_{t - 1})^{2}}{2 σ^{2} (t)})

$f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(t)}}\text{exp}\left(-\frac{(r_t-\phi r_{t-1})^2}{2\sigma^2(t)}\right)$

3. প্রশ্ন

আমার ডেরাইভেশন ঠিক আছে? সিমুলেশন (যা সম্মত বলে মনে হচ্ছে) ছাড়া অন্য তুলনা করার আমার কাছে কোনও সংস্থান নেই এবং আমি কোনও পরিসংখ্যানবিদ নই!
প্রসেসেস বা প্রসেসেসের জন্য সাহিত্যে কি এই জাতীয় জিনিসগুলির কোনও উত্স রয়েছে? $MA(1)$ $ARMA(1,1)$ সাধারণভাবে প্রসেসগুলির জন্য একটি অধ্যয়ন যা এই ক্ষেত্রে সংক্ষিপ্ত বিবরণযুক্ত হতে পারে be $ARMA(p,q)$

— নেস্টর
সূত্র

আমার কাছে ঠিক আপনার কাছে সমাধান নেই। তবে, আমি মনে করি এটি এক ধরণের ত্রুটি-ইন ভেরিয়েবল সমস্যা। টমাস সার্জেন্ট (1980 এর বই) দ্বারা ম্যাক্রো অর্থনৈতিক তত্ত্বে এই জিনিসগুলি আমি দেখেছি। আপনি এটি দেখতে চাইতে পারেন।

— মেট্রিক্স

ইনপুটটির জন্য ধন্যবাদ, @ মেট্রিক্স। আমি বইটি পরীক্ষা করে দেখব!

— নস্টোর

উত্তর:

তুমি কি সঠিক পথে নেই তবে আপনাকে অবশ্যই বিতরণের আহরিত মধ্যে একটি ভুল করেছি দেওয়া : শর্তসাপেক্ষ গড় নয় । এটি , যেখানে আপনার পূর্ববর্তী সময়কালের সেরা অনুমান । মান সেইসাথে পূর্ববর্তী পর্যবেক্ষণ থেকে তথ্য রয়েছে । (এটি দেখতে, এমন একটি পরিস্থিতি বিবেচনা করুন যেখানে এবং নগণ্য, তাই আপনি কার্যকরভাবে একটি নির্দিষ্ট গড়ের অনুমান করছেন lots প্রচুর পর্যবেক্ষণের পরে, সম্পর্কে আপনার অনিশ্চয়তা এর চেয়ে অনেক ছোট হবে $R_t$ $R_{t-1}$ $\phi r_{t-1}$ $\phi \widehat{x}_{t-1}$ $\widehat{x}_{t-1}$ $X$ $\widehat{x}_{t-1}$ $r_{t-1}$ $\sigma_w$ $\phi$ $X$ $\sigma_{\eta}$ ।) এটি প্রথমে বিভ্রান্তিকর হতে পারে কারণ আপনি না দেখে লক্ষ্য করেন । এর অর্থ হ'ল আপনি একটি রাজ্য-স্থানের মডেল নিয়ে কাজ করছেন । $R$ $X$
হ্যাঁ, গোলমাল পর্যবেক্ষণ সহ রৈখিক-গাউসিয়ান মডেলগুলি ব্যবহারের জন্য খুব সাধারণ কাঠামো রয়েছে, যাকে কলম্যান ফিল্টার বলা হয় । এটি একটি আরিমা কাঠামো এবং আরও অনেক মডেল সহ যেকোনো কিছুতে প্রযোজ্য। কালমান -পরিবর্তিত ta এটা the কালম্যান ফিল্টারের জন্য ঠিক আছে, তবে এটি স্টোকাস্টিক না provided উদাহরণস্বরূপ, স্টোকাস্টিক অস্থিরতা সহ মডেলগুলির আরও সাধারণ পদ্ধতি প্রয়োজন। কলম্যান ফিল্টারটি কীভাবে উত্পাদিত হয়েছে তা দেখতে ডার্বিন-কোপম্যান বা হার্ভির ৩ য় অধ্যায়টি ব্যবহার করে দেখুন । হার্ভির স্বরলিপিতে, আপনার মডেলটিতে , , , , এবং । $\sigma_{\eta}$ $Z=1$ $d=c=0$ $H_t = \sigma_{\eta,t}^2$ $T=\phi$ $R=1$ $Q=\sigma^2_w$

— জেমি হল
সূত্র

হাই জেমি, আপনার ইনপুট জন্য ধন্যবাদ। বেশ কয়েকটি মন্তব্য: ১. আমি সে সম্পর্কে নিশ্চিত নই। এটি আসলে সমাধান হিসাবে আমার প্রথম প্রয়াস ছিল কিন্তু আমার অন্তর্দৃষ্টি এবং অনুকরণ উভয়ই এর সাথে একমত নয়। জিনিসটি হ'ল আমি আসলে পালন করি না , আমি observe পর্যবেক্ষণ করি ; এছাড়াও, আপনি প্রমাণ করতে পারবেন (গাণিতিকভাবে) যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের শর্তসাপেক্ষ গড় (দ্রষ্টব্য যে এটি ) আসলে ? ২. আপনি এই বিশেষ সমস্যাটির জন্য কলম্যান ফিল্টার প্রয়োগ সম্পর্কে বিস্তারিত বলতে পারেন?

X_{t}

$X_t$

R_{t}

$R_{t}$

R_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}

$R_{t}|R_{t-1}=r_{t-1}$

R_{t} | X_{t - 1} = x_{t - 1}

$R_{t}|X_{t-1}=x_{t-1}$

ϕ {\hat{x}}_{t - 1}

$\phi \hat{x}_{t-1}$

— নস্টর

হাই নেস্টর, আমি আপনার মন্তব্যের জবাব দেওয়ার জন্য সম্পাদনা করেছি। আশা করি এইটি কাজ করবে.

— জেমি হল

হাই জেমি: দ্বিতীয় পয়েন্ট সম্পর্কে, ঠিক আছে, ধন্যবাদ :-)! তবে আমি এখনও আপনার প্রথম পয়েন্টটি দেখতে পাচ্ছি না। আপনি কি আমাকে একটি আনুষ্ঠানিক উত্সের দিকে নির্দেশ করতে পারেন? বিশেষত, আমি জানতে চাই যে আমার যুক্তির কোন অংশটি ভুল (এবং কেন)!

— নস্টোর

আপনি একটি পদক্ষেপ এড়িয়ে : প্রদত্ত বিতরণ । এটি , যেখানে হয় ভ্যারিয়েন্স আপনাকে প্রথমে ধাপে গণনা করা, এবং দ্বিগুণ সুরেলা গড় এবং । (এটি ঠিক দুটি গাউসিয়ান পিডিএফ নিয়ে বায়েশিয়ান আপডেট করার মতো।) আপনার সমীকরণ (3) আনুষ্ঠানিকভাবে সঠিক তবে আপনি পরিবর্তে তথ্যটি ফেলে দিচ্ছেন ।

X_{1}

$X_1$

R_{1}

$R_1$

N (\frac{σ_{x, 1}^{2}}{(σ_{x, 1}^{2} + σ_{η, 1}^{2})} r_{1}, σ_{x, 2}^{2})

$N(\frac{\sigma^2_{x,1}}{(\sigma^2_{x,1}+\sigma^2_{\eta,1})} r_1, \sigma^2_{x,2})$

σ_{x, 1}^{2}

$\sigma_{x,1}^2$

σ_{x, 2}^{2}

$\sigma_{x,2}^2$

σ_{x, 1}^{2}

$\sigma_{x,1}^2$

σ_{η, 1}^{2}

$\sigma_{\eta,1}^2$

p (X_{t - 1} | R_{1 : t - 1})

$p(X_{t-1} | R_{1:t-1})$

— জেমি হল

-1

সত্যিই, আপনার এটি বিজিজি বা স্ট্যানে কোড করা উচিত এবং সেখান থেকে এটি নিয়ে চিন্তা করা উচিত নয়। এটি তাত্ত্বিক প্রশ্ন না থাকলে।

— DavidShor
সূত্র

(-1) এই প্রতিক্রিয়া; এটি স্পষ্টতই একটি তাত্ত্বিক প্রশ্ন ;-)। উন্নতি বিবেচনা করুন আপনি কেন মনে করেন আমাকে এটি BUGs বা STAN এ কোড করা উচিত এবং এর মূল প্রশ্নের সাথে কী করার আছে?

— নস্টোর