ক্ষতিকারক ওজনযুক্ত চলমান skewness / কুর্তোসিস

Question

দ্রুততর ওজনযুক্ত চলমান গড় এবং কোনও প্রক্রিয়াটির স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি গণনা করার জন্য অন-লাইন সূত্র রয়েছে $(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$। গড় জন্য,

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

এবং বৈকল্পিক জন্য

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

যা থেকে আপনি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি গণনা করতে পারেন।

তাত্ক্ষণিক ওজনযুক্ত তৃতীয় এবং চতুর্থ-কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলিতে অন-লাইন গণনার জন্য কি একই সূত্র রয়েছে? আমার অন্তর্নিহিততা তাদের ফর্ম গ্রহণ করা উচিত

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

এবং

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

যেখান থেকে আপনি skewness এবং কুরটোসিস k_n = M_ {4, n} / \ sigma_n ^ 4 গণনা করতে পারেন তবে আমি সহজ, বন্ধ- ফ এবং এক্স ফাংশন জন্য ফর্ম এক্সপ্রেশন । কে এন = এম 4 , এন / σ 4 এন ফ $\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

---

সম্পাদনা করুন: আরও কিছু তথ্য। চলমান বৈকল্পিকের জন্য আপডেটকারী সূত্রটি সূচকগুলির অতিরিক্ত সূচকযুক্ত চলমান সমবায়নের একটি বিশেষ ক্ষেত্র, যার মাধ্যমে গণনা করা যায়

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

যেখানে এবং হল এবং এর সূচকীয় চলন্ত মাধ্যম । এবং মধ্যে অসম্পূর্ণতা , এবং যখন আপনি লক্ষ্য করেন যে । ˉ Y এনএক্সYএক্সYY- ˉ Y এন=(1-α)(Y- ˉ Y এন-1$\bar{x}_n$$\bar{y}_n$$x$$y$$x$$y$$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$

ভালো সূত্র একটি প্রত্যাশা যেমন কেন্দ্রীয় মুহূর্ত লিখে নির্ণিত করা যেতে পারে , যেখানে প্রত্যাশা মধ্যে ওজন সূচকীয় হতে বোঝা হয়, এবং সত্য ব্যবহার যে কোনো ফাংশন জন্য আমরা আছেf ( x $E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

এই সম্পর্কটি ব্যবহার করে গড় এবং বৈকল্পিকের জন্য আপডেট করার সূত্রগুলি পাওয়া সহজ তবে তৃতীয় এবং চতুর্থ কেন্দ্রীয় মুহুর্তের জন্য এটি আরও জটিল বলে প্রমাণিত হচ্ছে।

Answer 1

সূত্রগুলি সোজাসাপ্টা তবে সেগুলি প্রশ্নের মধ্যে অন্তর্নিহিত হিসাবে সহজ নয়।

যাক পূর্ববর্তী EWMA হতে হবে এবং দিন , যার মধ্যে স্বাধীন সম্ভাব্য হয় । দ্বারা সংজ্ঞা , নতুন ভরযুক্ত গড় একটি ধ্রুবক মান । নীতিগত সুবিধার জন্য, সেট । আসুন একটি এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের এবং সিডিএফ বোঝাতে বোঝাতে তার মুহূর্ত উৎপাদিত ফাংশন , যাতেX = x n Y Z = α X + ( 1 - α ) Y α β = 1 - α F $Y$$X = x_n$$Y$$Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$$\alpha$$\beta = 1-\alpha$$F$$\phi$

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

সঙ্গে কেন্ডাল ও স্টুয়ার্ট যাক আদেশের অ কেন্দ্রীয় মুহূর্ত বোঝাতে দৈব চলক জন্য ; যা, । বক্রতা এবং সূঁচালতা পরিপ্রেক্ষিতে ব্যক্ত করা যায় এমন হয় জন্য ; উদাহরণস্বরূপ, বক্রতা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানেকেজেড$\mu_k^{'}(Z)$$k$$Z$$\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$ট=1,2,3,4μ3/μ 3 / 2$\mu_k^{'}$$k = 1,2,3,4$$\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

যথাক্রমে তৃতীয় এবং দ্বিতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত।

মানক প্রাথমিক ফলাফল দ্বারা,

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

কাঙ্ক্ষিত অ-কেন্দ্রীয় মুহুর্তগুলি পাওয়ার জন্য, চতুর্থ ক্রমের মাধ্যমে পরবর্তী পাওয়ার সিরিজটিকে -এর সাথে গুণিত করুন এবং ফলাফল পদে শর্তাদির সাথে সমান করুন ।$t$$\phi_Z(t)$

Comments

আমার কিছু ফর্মুলা ভিজ্যুয়ালাইজেশন সমস্যা রয়েছে, সম্ভবত যখনই আই এবং ফায়ারফক্স উভয়ের সাথেই 'ব্যবহার করা হয়, আপনি কি দয়া করে পরীক্ষা করে দেখবেন? ধন্যবাদ!

— কোয়ার্টজ

@ কোয়ার্টজ মাথা উঁচু করার জন্য ধন্যবাদ। এটি সঠিকভাবে প্রদর্শন করতে ব্যবহৃত হত, সুতরাং স্পষ্টতই মার্কআপ প্রসেসিংয়ে কিছুটা পরিবর্তন হয়েছে । ধনুর্বন্ধনী মধ্যে সমস্ত একক উদ্ধৃতি আবদ্ধ করে আমি একটি workaround পেয়েছি। (এই পরিবর্তন সম্ভবত এই সাইটে কয়েক ডজন পোস্ট ভঙ্গ করেছে।)$\TeX$

— whuber

Answer 2

আমি মনে করি যে নিম্নলিখিত আপডেট করা সূত্রটি তৃতীয় মুহুর্তের জন্য কাজ করে, যদিও আমি এটি পরীক্ষা করে কেউ খুশি হব:

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

কার্টোসিসের জন্য আপডেট সূত্র এখনও খোলা আছে ...

Comments

কেন ... উপরের সূত্রে?

— ক্রিস

লাইন ধারাবাহিকতা।

— ক্রিস টেলর

আপনার সমীকরণ কি সঠিক প্রমাণিত হয়েছে? আমি আর। Stats.stackexchange.com/q/234460/70282

— ক্রিস

তৃতীয় মুহূর্তে আপনি এন দ্বারা বিভাগের জন্য অ্যাকাউন্ট করেছেন? স্কেকনেস তৃতীয় মুহুর্তের মান এবং প্রমিত বিচ্যুতি ^ 3 এর মতো অনুপাত: স্কেক = এম 3 / স্কোরিট (বৈকল্পিক) ^ 3 তৃতীয় মুহুর্তটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: এম 3 = যোগ ((এক্স-মিডিন) ^ 3) / এন

— ক্রিস