পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্সকে কেন ইতিবাচক অর্ধ-নির্দিষ্ট হওয়া দরকার এবং ইতিবাচক অর্ধ-নির্দিষ্ট হওয়া বা হওয়া বা বোঝার অর্থ কী?

আমি পারস্পরিক সম্পর্ক বা কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের ইতিবাচক আধা-নির্দিষ্ট সম্পত্তিটির অর্থ নিয়ে গবেষণা করছি।

আমি কোন তথ্য খুঁজছি

ইতিবাচক অর্ধ-নির্দিষ্টকরণের সংজ্ঞা;
এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য, ব্যবহারিক প্রভাব;
নেতিবাচক নির্ধারক হওয়ার পরিণতি, মাল্টিভারিয়েট বিশ্লেষণে প্রভাব বা সিমুলেশন ফলাফল ইত্যাদি

আপনি বুঝতে কি আধা definiteness চাও হয় , অথবা আপনি কেন জানতে পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স চাও আবশ্যক আধা নির্দিষ্ট হতে পারে, অথবা আপনি কি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল এই সম্পত্তি প্রযোজ্য চাও?

— whuber

যদি পারস্পরিক সম্পর্কের ম্যাট্রিক হয় যেখানে আধা-ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট না হয় তবে আপনি বৈচিত্রগুলি নেতিবাচক পেতে পারেন।

আমি আপনার প্রশ্নটি কিছুটা সম্পাদনা করেছি, দয়া করে এটি পরীক্ষা করে দেখুন। এছাড়াও, দয়া করে নোট করুন যে একটি সংখ্যক নেতিবাচক ইগেনভ্যালু সহ একটি ম্যাট্রিক্সের এখনও ইতিবাচক নির্ধারক থাকবে।

— ttnphns

একটি covariance ম্যাট্রিক্স সবসময় পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স সমান হয় না! কোভেরিয়েন্স সাধারণকরণের পরিবর্তনশীল বিবেচনা করে যখন পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স না করে।

— মনোজ কুমার

সম্পর্কিত প্রশ্ন: প্রতিটি সমবায় ম্যাট্রিক্স কি ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট? কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের বিস্তৃত ক্ষেত্রে বিবেচনা করে, যার মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিকগুলি একটি বিশেষ কেস; এছাড়াও প্রতিটি পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্স ইতিবাচক আধা-নির্দিষ্ট? এবং প্রতিটি পারস্পরিক সম্পর্ক মেট্রিক্স কি ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট?

— সিলভারফিশ

উত্তর:

এলোমেলো ভেরিয়েবলের একটি ওজনযুক্ত যোগফলের যোগফল অবশ্যই বাস্তব সংখ্যা এর সমস্ত পছন্দের জন্য । যেহেতু বৈকল্পিকতাটি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে আমাদের কাছে রয়েছে যে ম্যাট্রিক্স অবশ্যই পজিটিভ হতে হবে (যাকে কখনও কখনও ননজিগেটভ সুনির্দিষ্ট বলা হয়)। পুনরাহ্বান যে একটি ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক semidefinite যদি এবং কেবল যদি বলা হয় $\sum_i a_i X_i$ $a_i$

var (\sum_{i} a_{i} X_{i}) = \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} Σ_{i, j},

$\operatorname{var}\left(\sum_i a_i X_i\right) = \sum_i \sum_j a_ia_j \operatorname{cov}(X_i,X_j) = \sum_i \sum_j a_ia_j \Sigma_{i,j},$

Σ = [Σ_{i, j}]

$\Sigma = [\Sigma_{i,j}]$

C

$C$

\sum_{i} \sum_{j} a_{i} a_{j} C_{i, j} \geq 0 \forall a_{i}, a_{j} \in R .

$\sum_i \sum_j a_ia_j C_{i,j} \geq 0 \;\; \forall a_i, a_j \in \mathbb R.$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

ধন্যবাদ, আমি আমার ডাউনভোটটি সরিয়ে ফেলেছি তবে আমি উঁচুতে পারি নি কারণ এটি ব্যবহারিক প্রভাব সম্পর্কে কোনও উত্তর দেয় না। বলুন আমার একটি ম্যাট্রিক্স রয়েছে যা ইতিবাচক নির্দিষ্ট নয় ('বিশেষজ্ঞ' দ্বারা সংশোধন করার উদাহরণ হিসাবে)। আমি যদি ডেটাটি ক্যালিবিট করতে এবং / অথবা সিমুলেট করতে ব্যবহার করি তবে কী হবে? বিশেষত, বড় অঙ্কের অধ্যয়ন করার চেষ্টা করার সময় এটি কি আসল সমস্যা এবং সেখানে কয়েকটি নেতিবাচক ইগন মান আছে? একটি ইতিবাচক আধা-নির্দিষ্ট পরস্পর সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সকে ইতিবাচক আধা-নির্দিষ্ট একটিতে রূপান্তর করতে একটি দক্ষ অ্যালগরিদম কী হবে? এই অ্যালগরিদমের প্রভাব কী হবে?

— lcrmorin

@ ওয়্যার_ক্যাট ডাউনভোটটি উল্টানোর জন্য ধন্যবাদ।

— দিলীপ সরোতে

আপনি কি প্রথম সমীকরণে প্রথম সমতাটি ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— বিবেক সুব্রহ্মণিয়াম

@ ভিভেকসুব্রামিয়ানিয়ান ভারিটিয়েন্সটি কোভেরিয়েন্স ফাংশনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে: অপেরাটর্নাম এবং কোভেরিয়েন্স ফাংশনটি বিলাইনার (যার অর্থ এটি প্রতিটি আর্গুমেন্টের সাথে সম্মতিযুক্ত একটি লিনিয়ার ফাংশন):

var (X) = cov (X, X)

$\operatorname{var}(X)=\operatorname{cov}(X,X)$

\begin{aligned} cov (\sum_{i} a_{i} X_{i}, Y) & = \sum_{i} a_{i} cov (X_{i}, Y) \\ cov (X, \sum_{i} b_{j} Y_{j},) & = \sum_{j} b_{j} cov (X, Y_{j}) \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}\left(\sum_i a_iX_i,Y\right)&=\sum_i a_i\operatorname{cov}(X_i,Y)\\ \operatorname{cov}\left(X, \sum_i b_jY_j,\right) &=\sum_j b_j \operatorname{cov}(X,Y_j)\end{align}$

— দিলিপ

উত্তরটা বেশ সাধারন.

পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

যাক হতে তথ্য ম্যাট্রিক্স: পর্যবেক্ষণ, ভেরিয়েবল। $X = [x_1, x_2, ..., x_n]$ $m\times n$ $m$ $n$

নির্ধারণ সাধারণ তথ্যের ম্যাট্রিক্স হিসাবে, 1 ভেরিয়েবল 1 এর জন্য 1, ভেরিয়েবল 2 ইত্যাদির জন্য 2, ইত্যাদি এবং ভেরিয়েবল 1 এর মানক বিচ্যুতি ইত্যাদি, এবং সকলের ভেক্টর 1s। $X_b= [\frac{(x_1-\mu_1 e)}{s_1}, \frac{(x_2-\mu_2 e)}{s_2}, \frac{(x_3-\mu_3 e)}{s_3}, ...]$ $\mu_1$ $\mu_2$ $s_1$ $e$

পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্স হয়

C = X_{b}^{'} X_{b}

$C=X_b' X_b$

একটি 'ম্যাট্রিক্স ' ইতিবাচক আধা-সুনির্দিষ্ট হয় যদি ভেক্টর যেমন । $A$ $z$ $z' A z <0$

ধরুন ধনাত্মক নির্দিষ্ট নয়। তারপরে এমন একটি ভেক্টর রয়েছে যা । $C$ $w' C w<0$

তবে , যেখানে , এবং এভাবে একটি বর্গের যোগফল এবং তাই শূন্যের চেয়ে কম হতে পারে না। $(w' C w)=(w' X_b' X_b w)=(X_b w)'(X_b w) = {z_1^2+z_2^2...}$ $z=X_b w$ $w' C w$

সুতরাং কেবল পারস্পরিক সম্পর্ক ম্যাট্রিক্সই নয় যে কোনও ম্যাট্রিক্স যা আকারে লেখা যেতে পারে তা ইতিবাচক আধা-নির্দিষ্ট। $U$ $V' V$

— গ্রেগর
সূত্র

এটি এখন পর্যন্ত সবচেয়ে স্পষ্টতম সংক্ষিপ্ত এবং দরকারী উত্তর। ধন্যবাদ!

— যোহন ওবাদিয়া

(যুক্তিযুক্ত সম্ভাবনা শিথিলতা আমার হবে I'm আমি গণিতবিদ নই: এটি একটি চিত্রণ, প্রমাণ নয় এবং এটি আমার সংখ্যাসূচক পরীক্ষা থেকে প্রাপ্ত, বই থেকে নয়।)

একটি পজিটিভ সেমিাইডাইফিনেট (পিএসডি) ম্যাট্রিক্স, যাকে গ্র্যামিয়ান ম্যাট্রিক্সও বলা হয়, এমন একটি ম্যাট্রিক্স যা কোনও নেতিবাচক ইগেনভ্যালুস নয়। নেতিবাচক ইগেনভ্যালুগুলি সহ ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক অর্ধবৃত্তিমূলক বা অ-গ্রামিয়ান নয়। এগুলি উভয়ই সুনির্দিষ্ট (কোনও শূন্য ইগেনভ্যালু নয়) বা একক (কমপক্ষে এক শূন্য ইগেনুয়ালু সহ) হতে পারে। ["গ্রামিয়ান" শব্দটি গণিতে বিভিন্ন অর্থ ব্যবহৃত হয়েছে, তাই সম্ভবত এড়ানো উচিত]]
পরিসংখ্যানগুলিতে, আমরা সাধারণত এসএসসিপি-টাইপ ম্যাট্রিক্সে এই শর্তাদি প্রয়োগ করি, একে স্কেলার পণ্য ম্যাট্রিক্সও বলা হয়। সম্পর্ক বা কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্সগুলি এই জাতীয় ম্যাট্রিক্সের বিশেষ ক্ষেত্রে ।
যে কোনও স্কেলারের পণ্য ম্যাট্রিক্স হ'ল কিছু মাল্টিভিয়ারেট ডেটার (একটি মেঘ) এর সংক্ষিপ্ত বৈশিষ্ট্য। উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত কেস এক্স ভেরিয়েবল ডেটা, আমরা ভেরিয়েবল বা এক্স মধ্যে এক্স কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা করতে পারি $n$ $p$ $p$ $p$ $n$ $n$ মামলাগুলির মধ্যে কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স। আপনি যখন এটি বাস্তব তথ্য থেকে গণনা করেন, ম্যাট্রিক্স সর্বদা গ্রামিয়ান হবে। আপনি নন-গ্রামিয়ান (নন-পিএসডি) ম্যাট্রিক্স পেতে পারেন যদি (1) এটি মিলের ম্যাট্রিক্স সরাসরি পরিমাপ করা হয় (অর্থাত্ ডেটা থেকে গণনা করা হয় না) বা মিলটি পরিমাপ এসএসসিপি-টাইপ নয়; (২) ম্যাট্রিক্স মানগুলি ভুলভাবে প্রবেশ করানো হয়েছিল; (৩) ম্যাট্রিক্স আসলে গ্র্যামিয়ান তবে এটি একা একা (বা এত নিকটবর্তী) যে কখনও কখনও ইগেনভ্যালুগুলি গণনার বর্ণালী পদ্ধতিতে সত্য শূন্য বা ক্ষুদ্র ধনাত্মকগুলির পরিবর্তে ক্ষুদ্র negativeণাত্মক সৃষ্টি করে।
মেঘের জন্য একটি বিকল্প এবং সমমানের সংক্ষিপ্তসার হল ইউক্লিডিয়ান দূরত্বের ম্যাট্রিক্স। এক জোড়া আইটেমের মধ্যে একটি স্কেলার পণ্য (যেমন কোভারিয়েন্স) এবং তাদের মধ্যে সম্পর্কিত স্কোয়ার্ড ইউক্যালিডিয়ান দূরত্ব কোসাইনের আইন দ্বারা বেঁধে রাখা হয় ( কোসাইন উপপাদ্য , সেখানে চিত্রটি দেখুন): , যেখানে স্কেলার পণ্য এবং দুটি উত্স থেকেই দূরত্ব origin ভেরিয়েবল মধ্যে সহভেদাংক ম্যাট্রিক্স ক্ষেত্রে এবং এই সূত্র হচ্ছে । $d_{12}^2 = h_1^2+h_2^2-2s_{12}$ $s$ $h$ $X$ $Y$ $d_{xy}^2 = \sigma_x^2+\sigma_y^2-2cov_{xy}$
অন্তর্বর্তীকালীন উপসংহার হিসাবে: কিছু আইটেমগুলির মধ্যে একটি কোভেরিয়েন্স (বা পারস্পরিক সম্পর্ক বা অন্যান্য স্কেলার পণ্য) ম্যাট্রিক্স হল ইউক্লিডিয়ান স্পেসে এমবেড করা পয়েন্টগুলির একটি কনফিগারেশন, সুতরাং ইউক্লিডিয়ান দূরত্বগুলি এই সমস্ত পয়েন্টগুলির মধ্যে সংজ্ঞায়িত করা হয় । $m$ $m$
এখন, যদি [পয়েন্ট 5] হুবহু ধরে থাকে তবে পয়েন্টগুলির কনফিগারেশনটি সত্যই ইউক্লিডিয়ান কনফিগারেশন যা হ'ল স্কেলার প্রোডাক্ট ম্যাট্রিক্স (যেমন কোভেরিয়েন্স এক) গ্র্যামিয়ান। অন্যথায় এটি অ-গ্রামিয়ান। সুতরাং, " এক্স কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটি ইতিবাচক অর্ধ-নির্দিষ্ট" বলতে বলতে " পয়েন্ট প্লাস অরিজিনাল ইউক্যালিডিয়ান স্পেসে পুরোপুরি ফিট করে " to $m$ $m$ $m$
নন-গ্রামিয়ান (নন-ইউক্লিডিয়ান) কনফিগারেশনের সম্ভাব্য কারণ বা সংস্করণগুলি কী কী? উত্তরগুলি বিবেচনা করার পরে অনুসরণ করে [পয়েন্ট 4]।
- কারণ ১. দুষ্টতা নিজেই পয়েন্টগুলির মধ্যে রয়েছে: এক্স দূরত্বের ম্যাট্রিক্স পুরোপুরি ইউক্লিডিয়ান নয়। Pairwise দূরত্বের কিছু যেমন যে তারা ইউক্লিডিয় স্থান পয়েন্ট বাকি সঙ্গে একমত হতে পারছি না হয়। চিত্র 1 দেখুন । $m$ $m$ $d$
- কারণ 2. এবং এর মধ্যে সাধারণ (ম্যাট্রিক্স-স্তর) অমিল রয়েছে । উদাহরণস্বরূপ, ফিক্সড 'র এবং কিছু দেওয়া সহ, ইউক্লিডিয়ান স্পেসের সাথে সম্মতিতে থাকার জন্য অন্য এর কয়েকটি মাত্রার মধ্যেই পরিবর্তিত হতে হবে। চিত্র 2 দেখুন । $h$ $d$ $d$ $h$ $h$
- কারণ 3. সেখানে অনূদিত হয় (যুগল-স্তরের) এত অমিল এবং সংশ্লিষ্ট জোড়া 'ঐ দুই পয়েন্ট সংযুক্ত s। যথা, ত্রিভুজাকার বৈষম্যের নিয়ম লঙ্ঘন করা হয়; এই নিয়মটি। চিত্র 3 দেখুন । $d$ $h$ $h_1+h_2 \ge d_{12} \ge |h_1-h_2|$
কারণ নির্ণয় করার জন্য, কোসাইনের উপরের আইনটি ব্যবহার করে অ-গ্রামিয়ান কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে দূরত্বের ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করুন। কি ডাবল কেন্দ্র করে এটি। যদি ফলাফল ম্যাট্রিক্সের নেতিবাচক ইগেনভ্যালু থাকে তবে কারণ 1 উপস্থিত রয়েছে। অন্যথায় যদি , কারণ 3 উপস্থিত রয়েছে। অন্য কারণ 2 উপস্থিত। কখনও কখনও একাধিক কারণ এক ম্যাট্রিক্সে পেতে পারে। $|cov_{ij}| \gt \sigma_i \sigma_j$

ডুমুর। 1.

ডুমুর। 1

Fig2।

Fig2

Fig3।

Fig3

— ttnphns
সূত্র

পয়েন্ট 6 চাহিদা বিক্ষোভের: আপনি দেখা গেছে একটি ম্যাট্রিক্স স্কোয়ারড ইউক্লিডিয় দুরুত্ব PD হয়, কিন্তু আপনি প্রতিটি পি ডি ম্যাট্রিক্স অনুরূপ একটি ইউক্লিডিয় পয়েন্ট কনফিগারেশন যে প্রমানহীন জাহির। এছাড়াও আপনি পিডির সংজ্ঞাটি ("কোনও নেতিবাচক ইগেনভ্যালুগুলি") আপনার পরবর্তী কোনও বৈশিষ্ট্যের সাথে সংযুক্ত করেননি। মূল ধারণাটি শেষে আসে (পয়েন্ট 8): একটি পিডি ম্যাট্রিক্স একটি দূরত্ব নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। যৌক্তিকভাবে, এখানে থেকেই আপনার বিশ্লেষণ শুরু করা উচিত ।

— whuber

@ শুভ: সমালোচনামূলক মূল্যায়নের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি ভয় করি, যখন গাণিতিকভাবে কিছু প্রমাণ করার কথা আসে তখন আমি ডুবে যাই। আমি আমার ব্যবহারিক অভিজ্ঞতার একটি অংশ রিপোর্ট করেছি (আমি এটি বলেছিলাম); উত্তরটি আসলে একটি বিশ্লেষণাত্মক ক্রম ছিল না। আপনি কি নিজের উত্তর যুক্ত করতে চান না যা খনিকে সঠিক / উন্নত করতে পারে? এটি একটি মূল্যবান সাহায্য চালু হতে পারে। অথবা, আপনি যদি আমার লেখাকে নিরর্থক মনে করেন না তবে এটির উন্নতি করতে আপনি আমার লেখায় কাজ করতে নির্দ্বিধায় রয়েছেন।

— ttnphns

পিএস আমার পয়েন্ট 8 ইঙ্গিত দেয় যেহেতু ডাবল সেন্টারিং অ্যাঙ্করগুলি তার সেন্ট্রয়েডের সাথে বিন্দুগুলির কনফিগারেশন তৈরি করে, এই অপারেশনটি নিজেই অ-ইউক্যালিটিটি প্রবর্তন করে না (এটি কেবলমাত্র এককত্বের পরিচয় দেয় কারণ নতুন পয়েন্ট, কেন্দ্র একই স্থানের সাথে সম্পর্কিত)। সেখান থেকে আমরা প্রাথমিক কনফিগারেশনটি ইউক্লিডিয়ান ছিল কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি। এটা কি সঠিক নয়?

— ttnphns