কঠোর ভন নিউমন অসম্পূর্ণতার উদাহরণ

যাক একটি মূল্নির্ধারক এর বায়েসের ঝুঁকি বোঝাতে পূর্বাধিকার থেকে সম্মান সঙ্গে যাক প্যারামিটার স্থান সব গতকাল দেশের সর্বোচ্চ তাপমাত্রা সেট বোঝাতে , এবং দিন সব সেট বোঝাতে (সম্ভবত এলোমেলোভাবে) সিদ্ধান্ত বিধি। $r(\pi, \delta)$ $\delta$ $\pi$ $\Pi$ $\Theta$ $\Delta$

জন ফন নিউম্যানের মিনিম্যাক্স অসমতার পরিসংখ্যানগত ব্যাখ্যা এটি বলেছে

sup_{π \in Π} inf_{δ \in Δ} r (π, δ) \leq inf_{δ \in Δ} sup_{π \in Π} r (π, δ),

$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$

কিছু এবং যখন strict এবং উভয়ই সসীম হয়ে থাকে তখন তার জন্য কঠোর সমতার গ্যারান্টিযুক্ত । $\delta'$ $\pi'$ $\Theta$ $\Delta$

বৈষম্য কঠোর যেখানে কেউ কোনও দৃ someone় উদাহরণ দিতে পারেন ?

bayesian decision-theory risk

— শুভক্ষণ
সূত্র

নেই গণিত ফোরামে একটি বিশুদ্ধরূপে গাণিতিক উদাহরণ ।

— শি'আন

কঠোর ভন নিউমান অসমতার উদাহরণ দেখা যায় যখন ঝুঁকি ফাংশন কিছু মানগুলির জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে (যেখানে পূর্বের মানটি "কম" এবং পরে "উচ্চ" থাকে): $r$ $r_0 < r_1$

\begin{matrix} \forall π \in Π, \exists δ \in Δ : & r (π, δ) = r_{0}, & (1) \\ \forall δ \in Δ, \exists π \in Π : & r (π, δ) = r_{1} . & (2) \end{matrix}

$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$

প্রথম শর্তটি বলে যে পূর্ব নির্বিশেষে, সর্বদা কম নিয়ে একটি সিদ্ধান্তের নিয়ম থাকে , যা , দেয় । দ্বিতীয় শর্তটি বলে যে সিদ্ধান্তের নিয়ম নির্বিশেষে সর্বদা উচ্চ ঝুঁকিকে দেওয়ার আগে কিছুটা থাকে , যা দেয় । $r_0$ $\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$ $r_1$ $\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

এই পরিস্থিতিটি বলার আর একটি উপায় হ'ল কোনও সিদ্ধান্তের নিয়ম নেই (পূর্বের দেখার আগে বেছে নেওয়া হয়েছে) যা প্রতিটি পূর্বের জন্য কম ঝুঁকির গ্যারান্টি দেয় (কখনও কখনও এটির উচ্চ ঝুঁকিও থাকবে) তবে প্রতিটি পূর্বের জন্য কিছু সিদ্ধান্তের নিয়ম রয়েছে (দেখার পরে বেছে নেওয়া হয়েছে) পূর্ব) যা কম ঝুঁকির গ্যারান্টি দেয়। অন্য কথায়, ঝুঁকির উপর কম চাপ দেওয়ার জন্য আমাদের আমাদের সিদ্ধান্তের নিয়মটি পূর্বের সাথে খাপ খাইয়ে নিতে হবে ।

উদাহরণ: এই ধরণের পরিস্থিতিটির একটি সহজ উদাহরণ তখনই পাওয়া যায় যখন আপনার কাছে অনুমতিযোগ্য প্রিয়ার এবং অনুমতিযোগ্য সিদ্ধান্তের নিয়ম সাথে ঝুঁকিপূর্ণ ম্যাট্রিক্স থাকে: $\pi_0, \pi_1$ $\delta_0, \delta_1$

\begin{array}{ll} r (π_{0}, δ_{0}) = r_{0} & r (π_{1}, δ_{0}) = r_{1}, \\ r (π_{0}, δ_{1}) = r_{1} & r (π_{1}, δ_{1}) = r_{0} . \end{array}

$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$

এক্ষেত্রে এমন কোনও সিদ্ধান্তের নিয়ম নেই যা উভয় প্রিদ্ধের চেয়ে কম ঝুঁকির নিশ্চয়তা দেয়, তবে প্রতিটি পূর্বের জন্য একটি সিদ্ধান্তের নিয়ম রয়েছে যার ঝুঁকি কম থাকে has এই পরিস্থিতি উপরোক্ত শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে যা ভ্যান নিউমানের অসমতাতে কঠোর বৈষম্য দেয়।

— বেন - মনিকা পুনরায় স্থাপন করুন
সূত্র