আমি অনুমান আপনি যার অর্থ যেমন সমকোণী ত্রিভুজ সংক্রান্ত সঙ্গে আরামদায়ক ই[ ওয়াই। এক্স] এবং ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] হয় সম্পর্কহীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল। অমীমাংসিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি একজন এবং বি ,
Var( A + B ) = var( ক ) + ভ্যার( খ ) ,(1)
এবং তাই যদি আমরা
A = সেট করি তবে
এ = ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] এবং
খ = ই[ ওয়াই। এক্স] যাতে
এ + বি = ওয়াই , আমরা পাই যে
Var( ওয়াই) = var( ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] ) + var( ঙ)[ ওয়াই। এক্স] ) ।(2)
এটি যে
Var( ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] ) হিসাবে একই
এর ] যাতে আমরা
( 2 ) কে
ভার ( Y ) = E [ var ( Y ∣ X ) ] + var ( E [ Y ∣ X ] ) হিসাবে
আবার জানাতে পারি
যা মোট বৈকল্পিক সূত্র is
ই[ বর্ণ( ওয়াই। এক্স) ]( 2 )Var( ওয়াই) = ই[ বর্ণ( ওয়াই। এক্স) ] + var( ঙ)[ ওয়াই। এক্স] )(3)
এটি সুপরিচিত যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এর প্রত্যাশিত মান হ'ল E [ Y ] , যা, E [ E [ Y ∣ X ] ] = E [ Y ] । সুতরাং আমরা দেখতে পেয়েছি যে
E [ A ] = E [ Y - E [ Y ∣ X ] ] = ই [ ওয়াই ] - ই [ ই [ই[ ওয়াই। এক্স]ই[ ওয়াই]ই[ ই[ ওয়াই। এক্স] ] = ই[ ওয়াই] - ই [ ওয়াই
যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে var ( A ) = E [ A 2 ] , অর্থাৎ,
var ( Y - E [ Y ∣ X ] ) = E [ ( Y - E [ Y ∣ X ] ) 2 ] ।
আসুন সি দৈব চলক বোঝাতে ( ওয়াই | এক্স ] ) 2
ই[ এ ] = ই[ ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] ] = ই[ ওয়াই] - ই[ ই[ ওয়াই। এক্স] ] = 0 ,
Var( ক ) = ই[ ক2]Var( ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] ) = ই[ ( ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] )2] ।(4)
সি( ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] )2যাতে আমরা সেই
লিখতে পারি
।
কিন্তু
ই [ সি ] = ই [ ই [ সি | এক্স ] ] যেখানে
ই [ সি | এক্স ] = ই [ ( ওয়াই - ই [ ওয়াই 2 | এক্স ] ।
এখন,
প্রদত্ত যে
Var( ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] ) = ই[C] ।(5)
ই[C] = ই[E[C|X] ]ই[ সি। এক্স] = ই[ ( ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] )2||এক্স] । , এর শর্তাধীন বিতরণ
ওয়াই গড় রয়েছে
ই [ ওয়াই | এক্স = এক্স ]
এবং তাই
ই [ ( ওয়াই - ই [ ওয়াই | এক্স = এক্স ] ) 2 | এক্স = এক্স ] = ভার ( ওয়াই ∣ এক্স = এক্স ) ।
অন্য কথায়,
ইএক্স= এক্সওয়াইই[ ওয়াই। এক্স= এক্স ]ই[ ( ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স= এক্স ] )2||এক্স= এক্স ] = ভ্যার( ওয়াই। এক্স= এক্স ) ।
] , যাতে
এলোমেলো পরিবর্তনশীল E [ C ∣ X ] কেবলমাত্র
var ( Y ∣ X ) । সুতরাং,
E [ C ] = E [ E [ C ∣ X ] ] = E [ var ( Y ∣ X )
যা প্রতিস্থাপনের পরে
( 5 ) দেখায় যে
var ( Y - E [ Y ∣)ই[ সি। এক্স= এক্স ] = ভ্যার( ওয়াই। এক্স= এক্স ) ই[ সি। এক্স]Var( ওয়াই। এক্স)ই[ সি] = ই[ ই[ সি। এক্স] ] = ই[ বর্ণ( ওয়াই। এক্স) ] ,(6)
( 5 )
এটিআমাদের প্রয়োজন ঠিক
( 2 ) এর ডান দিকটি করেএবং তাই আমরা মোট বৈকল্পিক সূত্র প্রমাণ করেছি
( 3 ) ।
Var( ওয়াই- ই[ ওয়াই। এক্স] ) = ই[ বর্ণ( ওয়াই। এক্স) ] ।
( 2 )( 3 )