পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য হিসাবে সম্পূর্ণ বৈকল্পিকতার আইন

ধরুন $X$ এবং $Y$ সীমাবদ্ধ দ্বিতীয় মুহূর্ত রয়েছে। দ্বিতীয় সসীম মুহূর্তে সঙ্গে র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিলবার্ট স্থান (এর ভেতরের পণ্যের সাথে $T_1,T_2$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত $E(T_1T_2)$ , $||T||^2=E(T^2)$ ), আমরা ব্যাখ্যা করা হতে পারে $E(Y|X)$ প্রজেকশন হিসাবে $Y$ এর ফাংশন স্থান সম্মুখের $X$ ।

আমরা আরও জানি যে মোট ভেরিয়েন্সের আইন

V a r (Y) = E (V a r (Y | X)) + V a r (E (Y | X))

$Var(Y)=E(Var(Y|X)) + Var(E(Y|X))$

উপরের জ্যামিতিক ছবির নিরিখে এই আইনটি ব্যাখ্যা করার কোনও উপায় আছে কি? আমাকে বলা হয়েছে যে আইন সাথে ডান-কোণযুক্ত ত্রিভুজটির জন্য পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সমান $Y, E(Y|X), Y-E(Y|X)$ । আমি বুঝতে পারি কেন ত্রিভুজটি সমকোণী, তবে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি কীভাবে সম্পূর্ণ ভেরিয়েন্সের আইন ক্যাপচার করছে।

variance conditional-expectation

— renrenthehamster
সূত্র

উত্তর:

আমি অনুমান আপনি যার অর্থ যেমন সমকোণী ত্রিভুজ সংক্রান্ত সঙ্গে আরামদায়ক $E[Y\mid X]$ এবং $Y - E[Y\mid X]$ হয় সম্পর্কহীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল। অমীমাংসিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি $A$ এবং $B$ ,

\begin{matrix} (1) & Var (একজন + + বি) = Var (একজন) + + Var (বি), \end{matrix}

$\operatorname{var}(A+B) = \operatorname{var}(A) + \operatorname{var}(B),\tag{1}$ এবং তাই যদি আমরা

সেট করি তবে

A = Y - E [Y ∣ X]

$A = Y - E[Y\mid X]$ এবং

B = E [Y ∣ X]

$B = E[Y\mid X]$ যাতে

A + B = Y

$A+B = Y$ , আমরা পাই যে

\begin{matrix} (2) & Var (ওয়াই) = Var (ওয়াই - ই [ওয়াই | এক্স]) + + Var (ই [ওয়াই | এক্স]) । \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y) = \operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) + \operatorname{var}(E[Y\mid X]).\tag{2}$ এটি যে

var (Y - E [Y ∣ X])

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X])$ হিসাবে একই

যাতে আমরা

কে

হিসাবে আবার জানাতে পারি যা মোট বৈকল্পিক সূত্র is

E [var (Y ∣ X)]

$E[\operatorname{var}(Y\mid X)]$

(2)

$(2)$

\begin{matrix} (3) & Var (ওয়াই) = ই [Var (ওয়াই | এক্স)] + + Var (ই [ওয়াই | এক্স]) \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y) = E[\operatorname{var}(Y\mid X)] + \operatorname{var}(E[Y\mid X])\tag{3}$

এটি সুপরিচিত যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল প্রত্যাশিত মান হ'ল , যা, । সুতরাং আমরা দেখতে পেয়েছি যে $E[Y\mid X]$ $E[Y]$ $E\biggr[E[Y\mid X]\biggr] = E[Y]$ যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে , অর্থাৎ, আসুন দৈব চলক বোঝাতে

ই [একজন] = ই [ওয়াই - ই [ওয়াই | এক্স]] = ই [ওয়াই] - ই [ই [ওয়াই | এক্স]] = 0,

$E[A] = E\biggr[Y - E[Y\mid X]\biggr] = E[Y] - E\biggr[E[Y\mid X]\biggr] = 0,$

var (A) = E [A^{2}]

$\operatorname{var}(A) = E[A^2]$

\begin{matrix} (4) & Var (ওয়াই - ই [ওয়াই | এক্স]) = ই [(ওয়াই - ই [ওয়াই | এক্স])^{2}] । \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) = E\left[(Y-E[Y\mid X])^2\right].\tag{4}$

C

$C$

(Y - E [Y ∣ X])^{2}

$(Y-E[Y\mid X])^2$ যাতে আমরা সেই

লিখতে পারি

কিন্তু

যেখানে

এখন, প্রদত্ত যে

\begin{matrix} (5) & Var (ওয়াই - ই [ওয়াই | এক্স]) = ই [সি] । \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) = E[C].\tag{5}$

E [C] = E [E [C ∣ X]]

$E[C] = E\biggr[E[C\mid X]\biggr]$

E [C ∣ X] = E [(Y - E [Y ∣ X])^{2} | X] .

$E[C\mid X] = E\biggr[(Y-E[Y\mid X])^2{\bigr\vert} X\biggr].$

, এর শর্তাধীন বিতরণ

গড় রয়েছে

এবং তাই

অন্য কথায়,

X = x

$X = x$

Y

$Y$

E [Y ∣ X = x]

$E[Y\mid X=x]$

ই [(ওয়াই - ই [ওয়াই | এক্স = এক্স])^{2} | এক্স = এক্স] = Var (ওয়াই | এক্স = এক্স) ।

$E\biggr[(Y-E[Y\mid X=x])^2{\bigr\vert} X=x\biggr] = \operatorname{var}(Y\mid X = x).$

যাতেএলোমেলো পরিবর্তনশীল

কেবলমাত্র

। সুতরাং,

যা প্রতিস্থাপনের পরে

দেখায় যে

E [C ∣ X = x] = var (Y ∣ X = x)

$E[C\mid X = x] = \operatorname{var}(Y\mid X = x)$

E [C ∣ X]

$E[C\mid X]$

var (Y ∣ X)

$\operatorname{var}(Y\mid X)$

\begin{matrix} (6) & ই [সি] = ই [ই [সি | এক্স]] = ই [Var (ওয়াই | এক্স)], \end{matrix}

$E[C] = E\biggr[E[C\mid X]\biggr] = E[\operatorname{var}(Y\mid X)], \tag{6}$

(5)

$(5)$

এটিআমাদের প্রয়োজন ঠিক

এর ডান দিকটি করেএবং তাই আমরা মোট বৈকল্পিক সূত্র প্রমাণ করেছি

।

Var (ওয়াই - ই [ওয়াই | এক্স]) = ই [Var (ওয়াই | এক্স)] ।

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) = E[\operatorname{var}(Y\mid X)].$

(2)

$(2)$

(3)

$(3)$

— দিলীপ সরওয়াতে
সূত্র

Y - E (Y | X)

$Y-E(Y|X)$

v a r (Y - E (Y | X)) = E [Y - E (Y | X)]^{2}

$var(Y-E(Y|X))=E[Y-E(Y|X)]^2$

E v a r (Y | X) = E [E ((Y - E (Y | X))^{2} | X)] = E [Y - E (Y | X)]^{2}

$Evar(Y|X)=E[E((Y-E(Y|X))^2|X)]=E[Y-E(Y|X)]^2$

E [(Y - E [Y | X])^{2}]

$E\bigr[(Y-E[Y|X])^2\bigr ]$

দিলীপ, অনেক সম্ভাব্যবাদীরা @ এমপিক্টাসের সমীকরণকে লিখিত হিসাবে সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করবেন; অতিরিক্ত বন্ধনীগুলির সেটটি প্রায়শই বাদ দেওয়া হয়। সম্ভবত আমার চোখ আমাকে ধোঁকা দিচ্ছে, তবে আমি মনে করি যে তাঁর স্বরলিপিটি সর্বদা সামঞ্জস্যপূর্ণ। আমি চাইলে জিনিস ঠিক করতে সহায়তা করে খুশি though :-)

— কার্ডিনাল

@ কার্ডিনাল আমি এমপিক্টাসের লেখার ভুল ব্যাখ্যা করিনি, এবং তিনি কী বলছিলেন তা পুরোপুরি বুঝতে পেরেছিলাম। যদিও আমি ব্যাখ্যা করতে অভ্যস্ত

E X

$EX$ অথবা

E X

$\mathbb EX$ এর প্রত্যাশিত মান হিসাবে

X

$X$ , আমার সম্পর্কে সবসময় আমার সন্দেহ থাকে

E X^{2}

$EX^2$ , বিশেষত যেহেতু পেমডাস এ সম্পর্কে কিছুই বলে না। প্রত্যাশা ক্ষয়ক্ষতির চেয়ে অগ্রাধিকার আছে কি না? আমি অনুমান করি বর্গাকার বন্ধনীগুলির ভিতরে সমস্ত কিছু প্রয়োগ করার জন্য আমি কেবল প্রত্যাশা অপারেটরের অভ্যস্ত। দয়া করে মি [ইকতাসের মন্তব্য সম্পাদনা করবেন না, তবে আপনি যদি আমার পূর্ববর্তী মন্তব্যে "ঘটনাচক্রে" থেকে এই থ্রেডের সমস্ত কিছু মুছতে চান তবে দয়া করে এগিয়ে যান।

— দিলীপ সরোতে

আমি দুঃখিত, @ দিলিপ আমার উদ্দেশ্য আপনি বোঝেননি এমন পরামর্শ দেওয়ার জন্য নয়; আমি জানতাম তোমার ছিল! আমি এও স্বীকার করি যে স্বরলিপিটি অস্পষ্টতাকে leণ দিতে পারে এবং যখন তারা উত্থাপিত হয় তখন এগুলি চিহ্নিত করা ভাল! আমার অর্থ হ'ল আমি মন্তব্যে দ্বিতীয় সমীকরণ ভেবেছিলাম (যেমন,

v a r \dots

$var\ldots$ ) এখন থেকে ব্যবহৃত কনভেনশনটি পরিষ্কার করে দিয়েছিল। :-)

— কার্ডিনাল

বিবৃতি:

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য যে কোনও উপাদানগুলির জন্য বলে $T_1$ এবং $T_2$ সীমাবদ্ধ আদর্শের সাথে একটি অভ্যন্তরীণ-পণ্য স্পেস $\langle T_1,T_2\rangle = 0$ ,

\begin{matrix} (1) & | | {টি}_{1} + + {টি}_{2} | |^{2} = | | {টি}_{1} | |^{2} + + | | {টি}_{2} | |^{2} । \end{matrix}

$||T_1+T_2||^2 = ||T_1||^2 + ||T_2||^2 \tag{1}.$ বা অন্য কথায়, অর্থোথোনাল ভেক্টরগুলির জন্য, যোগফলের বর্গাকার দৈর্ঘ্য হল বর্গাকার দৈর্ঘ্যের সমষ্টি।

আমাদের কেস:

আমাদের ক্ষেত্রে $T_1 = E(Y|X)$ এবং $T_2 = Y - E[Y|X]$ এলোমেলো ভেরিয়েবল, বর্গক্ষেত্রের আদর্শ $||T_i||^2 = E[T_i^2]$ এবং অভ্যন্তরীণ পণ্য $\langle T_1,T_2\rangle = E[T_1T_2]$ । অনুবাদক $(1)$ পরিসংখ্যান ভাষায় আমাদের দেয়:

\begin{matrix} (2) & ই [{ওয়াই}^{2}] = ই [{ই (ওয়াই | এক্স)}^{2}] + + ই [(ওয়াই - ই [ওয়াই | এক্স])^{2}], \end{matrix}

$E[Y^2] = E[\{E(Y|X)\}^2] + E[(Y - E[Y|X])^2] \tag{2},$ কারণ

E [T_{1} T_{2}] = Cov (T_{1}, T_{2}) = 0

$E[T_1T_2] = \operatorname{Cov}(T_1,T_2) = 0$ । যদি আমরা পরিবর্তন করি তবে আমরা এটিকে আপনার সম্পূর্ণ বৈচিত্র্যের বর্ণিত আইনের মতো করে তুলতে পারি

(2)

$(2)$ দ্বারা...

বিয়োগ করা $(E[Y])^2$ উভয় পক্ষ থেকে, বাম হাত পাশ করা $\operatorname{Var}[Y]$ ,
ডানদিকে যে লক্ষ করা $E[\{E(Y|X)\}^2] - (E[Y])^2 = \operatorname{Var}(E[Y|X])$ ,
ঐ রকম কিছ না $E[(Y - E[Y|X])^2] = E[E\{(Y - E[Y|X])^2\}|X] = E[\operatorname{Var}(Y|X)]$ ।

এই তিনটি বুলেট পয়েন্ট সম্পর্কিত তথ্যের জন্য @ দিলীপ সরওয়াতে পোস্টটি দেখুন। তিনি আমার চেয়ে অনেক বেশি বিস্তারিত এই সমস্ত ব্যাখ্যা।

— টেলর
সূত্র